L'objet de ce travail est l'estimation des moments spectraux d'échos Doppler. Dans le cas d'échos proches, les algorithmes classiques basés sur la transformée de Fourier donnent de mauvais résultats du fait de leur manque de résolution. Nous proposons et comparons l'utilisation des méthodes du maximum de vraisemblance stochastique et de sous-espaces (algorithme Weighted Pseudo-Subspace Fitting : WPSF) pour une estimation conjointe des moments spectraux. Les performances statistiques (théorique et empirique par simulations de Monte Carlo) des estimateurs sont comparées à la borne de Cramér-Rao. Les résultats des tests effectués sur les données réelles obtenues lors de la campagne d'étude d'orages, à Arecibo, en Septembre et Octobre 1998 confirment l'intérêt de l'approche proposée

ADNET, Claude

BOYER, Eric

LARZABAL, Pascal

PETITDIDIER, Monique

I-Revues

  
Estimation conjointe de moments spectraux d’échos Doppler. 
Application au cyclone ‘Georges’ 
 
Eric BOYER1, Claude ADNET2,  Pascal LARZABAL1 3 et Monique PETITDIDIER4 
1 LESiR/ENS Cachan, UPRESA 8029, 61 avenue du président Wilson, 94235 Cachan Cedex France. 
2THALES Air Défense, 7-9 rue des Mathurins, Bagneux France. 
3 IUT de Cachan, C.R.I.I.P, Université Paris Sud, BP140, 9 avenue de la division Leclerc, 94234 Cachan Cedex, France. 
4 CETP 10-12 Avenue de l'Europe, 78140 Vélizy  France. 
eric.boyer@wanadoo.fr 
 
Résumé – L’objet de ce travail est l’estimation des moments spectraux d’échos Doppler. Dans le cas d’échos proches, les algorithmes 
classiques basés sur la transformée de Fourier donnent de mauvais résultats du fait de leur manque de résolution. Nous proposons et 
comparons l’utilisation des méthodes du maximum de vraisemblance stochastique et de sous-espaces (algorithme Weighted Pseudo-Subspace 
Fitting : WPSF) pour une estimation conjointe des moments spectraux. Les performances statistiques (théorique et empirique par simulations 
de Monte Carlo) des estimateurs sont comparées à la borne de Cramér-Rao. Les résultats des tests effectués sur les données réelles obtenues 
lors de la campagne d’étude d’orages, à Arecibo, en Septembre et Octobre 1998 confirment l’intérêt de l’approche proposée. 
  
Abstract – The purpose of this work is the estimation of Doppler echoes spectral moments. In case of strong overlapping, Fourier like 
techniques provide poor results because of the lack of resolution. We propose the use of stochastic maximum likelihood and subspace-based 
methods (WPSF algorithm) for a joint estimation  of spectral moments. The statistical performances (theoretical and empirical by Monte Carlo 
simulations) of estimators are compared with the Cramér-Rao lower bound. The results of tests performed on VHF times series obtained 
during Thunderstorm, Arecibo, PR during September and October 1998 confirm the interest of the proposed approach. 
 
 
 
1. Introduction 
L’objet de ce travail est l’estimation des moments 
spectraux d’échos Doppler proches. Avec des radars Doppler 
VHF, cela peut être le cas lorsque l’écho rétrodiffusé se 
superpose à un écho de sol ou à d’autres échos dus à des 
hydrométéores (fortes pluies...). La puissance de chaque écho 
(moment d’ordre zéro) donne une estimation de l’intensité de 
la turbulence ou des caractéristiques des hydrométéores 
(nombre et taille) présents dans le volume de résolution; la 
fréquence moyenne due à l’effet Doppler (moment d’ordre 1) 
renseigne sur la valeur et le sens du vent radial ou du 
mouvement des hydrométéores; l’écart type de chaque écho 
(moment d’ordre 2) mesure la dispersion des vitesses par 
rapport à la vitesse moyenne [1]. Dans des cas de fort 
chevauchement, les algorithmes classiques basés sur la 
transformée de Fourier donnent de mauvais résultats du fait 
de leur manque de résolution. Nous proposons l’utilisation 
des méthodes de sous-espaces vectoriels (algorithme WPSF 
[3]) pour une estimation conjointe des moments spectraux. 
Cet article étend les résultats de [4], en présentant notamment 
une comparaison des variances théorique et expérimentale de 
l'estimateur WPSF ainsi qu’une comparaison avec la borne de 
Cramér-Rao. Les performances statistiques de l’estimateur 
WPSF sont de plus comparées à celles de l’estimateur du 
maximum de vraisemblance stochastique (MVS). Nous 
présentons au paragraphe 2 une modélisation paramétrique 
originale de la matrice de covariance des signaux reçus. Au 
paragraphe 3, nous présentons les algorithmes utilisés. Le 
paragraphe 4 donne les résultats de l’étude statistique des 
estimateurs. Enfin, au paragraphe 5 l’algorithme WPSF est 
validé sur les données réelles obtenues lors de la campagne 
d’étude d’orages, à Arecibo, en Septembre et Octobre 1998. 
2. Modélisation paramétrique de la 
matrice de covariance des signaux reçus 
D’après [1] et [2], les échos contenus dans le spectre de 
puissance P f( )  des séries temporelles sont supposés 
gaussiens, soit pour un écho 
( )P f S f b( ) ( ) .= +σ β2 2  
avec          S f
P f f
( )
.
.exp= −
−









0
0
0
0
2
2
1
2π σ σ
 
où σ b
2  est une puissance de bruit additive, où β
variable aléatoire gaussienne, de variance unité et où
σ0 sont les trois moments spectraux de l’écho gauss
la fréquence Doppler, reliée au vent radial moye
relation f
vr
0
2
= − λ , avec λ = c T. 0  la longueur d
l’onde émise par le radar. De l’éq. (1), l’auto-corréla
série temporelle x(t) du signal s’écrit : 
( )[ ]γ π σ π σ δ( ) . exp . . . (t P t j f t b= − + +0 2 02 2 0 22 2
Notons x  les snapshots, de dimension m ×
directement de la série temporelle { }x t t( ),0 ≤ ≤ τ   : 
x y n= +                        
où y  est  un vecteur aléatoire gaussien centré et 
bruit blanc complexe et gaussien indépendant de y , 
[ ]E b i jn n Ii j∗ = σ δ2 ,                 
où ( ). ∗ représente l’opérateur transposé conjugué. 
 (1) est une 
 P0,  f0 et 
ien. f0 est 
n par la 
’onde de 
tion de la 
)t       (2) 
1, tirés 
 
        (3) 
n  est un 
vérifiant 
          (4) 
  
Avec l’hypothèse d’un spectre gaussien pour les séries 
temporelles, la matrice de covariance de y  peut s’écrire, à 
partir de (2) 
( ) [ ] ( ) ( ) ( )R yy . A B Ay *P E P0 0 02 0 0 02 0, ,ω σ ω σ ω= = ∗    (5)  
 où  
( ) ( )A ω ω ω0 11 0 0= −diag e ej T j m Ts s, , ... , ( )                (6) 
( ) ( )B k,l e k l Ts= − −2 2 0 2 2 2π σ                           (7)     
et où Ts est la période d’échantillonnage du radar. De (3) et 
(4), la matrice de covariance de x s’écrit  
( ) ( )
[ ]
R R I
                        x 0 Rx
x n y bP P0 0 0
2 2
0 0 0
2 2, , , , ,
,
ω σ σ ω σ σ= +
∈N
           (8) 
Dans le cas de n échos gaussiens indépendants, (8) reste 
valable avec ( )R Ry y i i i
i
n
i
P=
=
∑ , ,ω σ 2
1
. De plus, le système est 
totalement identifiable. 
3. Présentation des estimateurs utilisés 
3.1 Estimation au sens du maximum de 
vraisemblance stochastique 
Notons µ le vecteur paramètre à estimer  
[ ]µ = ω σ ω σ σ1 12 1 2 2     P Pn n n b. ..                     (9) 
De la relation  (3), la log-vraisemblance négative s’écrit [5] 
( ) ( ) { }L trace cteµ = + +−log $R R Rx x1 x            (10) 
L’estimée $µ  au sens du maximum de vraisemblance du 
vecteur paramètre µ s’écrit alors 
( )( )$ arg minµ =
µ
L x                            (11) 
3.2 Algorithme WPSF 
Cet algorithme [3] est fondé sur une orthogonalité entre sous-
espaces vectoriels qui ne fait pas intervenir les Pi et σ b
2 . Par 
conséquent, le jeu de paramètres se réduit àη  
 [ ]η = ω σ ω σ1 12 2  .. . n n                           (12) 
Les paramètres Pi et σ b
2  seront estimés au sens des moindres 
carrés dans une étape suivante.  
Une décomposition en éléments propres de  Rx  s’écrit 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R e e
     E E E E
x
s s s n n n
=
= +
∗
=
∗ ∗
∑λk k k
k
m
1
η η η η η ηΛ Λ
      (13) 
où λ λ λ1 2≥ ≥ ≥.. . m  et où Es est “l’espace signal” engendré 
par les vecteurs propres correspondant aux d plus grandes 
valeurs propres de Rx . Dans la suite, la dimension d de 
Es est un paramètre variable estimé par l’utilisateur; d n’est 
pas nécessairement égal à n (mais n d m≤ < ).  
Une estimée de R x est donnée par 
( ) ( ))
) ) ) ) ) ) ) ) )
R x x
     e e E E E E
x
s s s n n n
=
= = +
=
∗
∗
=
∗ ∗
∑
∑
1
1
1
K
t t
i
K
k k k
k
m
λ Λ Λ
        (14) 
Dans l’algorithme WPSF [3], le vecteur paramètre η est 
estimé comme la valeur 
)η  de η  qui rend 
)
Es le plus 
orthogonal possible à ( )En η  , soit  : 
( ) ( ) ( ))η = η ρ η ρ η
η η
arg min arg minfWPSF =
∗ W       (15) 
( ) ( )[ ]ρ η η= ∗vec E En s)                         (16) 
et où W est une matrice de pondération de dimension 
( ) ( )d m d d m d− × − , hermitienne définie positive. Pour le 
choix de Wopt  se reporter à [3]. 
De (14), une estimée deσ b
2  est donnée par [5] 
) )
σ λb i
i d
m
m d
2
1
1
=
−
= +
∑                              (17) 
De (2), la fonction d’auto-corrélation peut se modéliser sous  
la forme 
( )
( ) ( )
γ α σ δ
α π σ
ω( ) . . . ( )
exp .
.t P t e t
t t
i i
j t
i
b
i i
i
= +
= −
∑ 2
2 2 22         
            (18) 
De (18) les snapshots γ de dimension m'×1 ( m m'≠ à priori) 
tirés de la fonction d’auto-corrélation peuvent s’écrire 
( )γ = +A . P nω σ,                       (19) 
où 
 [ ]P = P Pn T1 . . .                        (20) 
( ) ( ) ( )[ ]A a aω σ ω σ ω σ, , . . . ,= 1 1 n n            (21) 
( ) ( ) ( )( )a ω σ α αω ωi i i s j T i s j T m TT e T ei s i s, . .=  −1
1
(22) 
[ ]n = 1 0 0. . . T                     (23) 
De (19), les estimées 
)
Pi  de Pi sont obtenues en insérant dans 
la relation suivante  l’estimée
)η de η  [5] : 
[ ] ( ))P = . . . A A A .* *$ $ $P Pn1 1=  − γ           (24) 
On ne prend pas dans $γ  l’échantillon t=0. 
4. Etude de performance 
4.1 Borne de Cramér-Rao (BCR) 
La BCR est calculée directement à partir de la série 
temporelle composée des N échantillons [7]. 
Le ijième élément de la matrice d’information de Fisher 
(FIM) s’écrit alors (formule de Bang) : 
{ } { }FIM traceij = R R R Rx-1 x x-1 xi j                     (25) 
R Rx xi
i
=
∂
∂µ
                                 (26) 
  
Les expressions des R x i  ne sont pas reportées ici mais il est 
important de noter qu’elles ne font appel à aucune 
approximation, contrairement à des résultats similaires [3].  
4.2 Etude statistique des estimateurs 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Les simulations ont é
échantillons et ne se re
types donnés sont no
paramètre se fait par u
vraie valeur du vecteur paramètre. La figure 1 présente les 
résultats des tirages de Monte Carlo (200 réalisations) dans le 
cas d’un écho Gaussien (P0=100 W, f0=0 et σ0  variable). Les 
performances statistiques de l’estimateur MVS sont 
meilleures. Pour l’algorithme WPSF, le choix de d est 
primordial pour la qualité de l’estimation. Les expressions des 
variances théoriques de l’estimateur WPSF (Fig.1) sont 
données dans [3] dans le cas de snapshots indépendants. 
Comme le montre la figure 2, la fonction d’auto-corrélation 
(2) de l’écho gaussien ne décroît pas suffisamment 
rapidement pour les faibles valeurs de σ  pour avoir des 
snapshots décorrélés. Cela explique l’écart observé entre les 
variances théorique et empirique de l’estimateur WPSF et la 
diminution de cet écart avec l’augmentation de σ.  
La figure 3 présente les résultats des tirages de Monte Carlo 
(200 réalisations) dans le cas de deux échos gaussiens 
identiques (σ=0.02 et P=100 W) l’un en 0 et l’autre en ∆f 
variable. Pour de faibles valeurs de ∆f, la dégradation de 
l’estimation par la méthode WPSF est beaucoup plus rapide 
que pour l’algorithme MVS. WPSF (d=2) atteint MVS quand  
∆f augmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0.005 0.01 0.015 0.025 0.03 0.035 0.04
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10-4
CRB
MVS empirique
WPSF théorie d=1
WPSF théorie d=2
WPSF théorie d=3
WPSF emp. d=1
WPSF emp. d=2
WPSF emp. d=3
b 
STD )
σ 0  
0.005 0.01 0.015 0.025 0.03 0.035 0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10-3
CRB
MVS empirique
WPSF théorie d=1
WPSF théorie d=2
WPSF théorie d=3
WPSF emp. d=1
WPSF emp. d=2
WPSF emp. d=3
a 
STD )
f 0  
 
Fig. 1 : performances
dans le cas d’un écho 
0 10 20 3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
fo
nc
tio
n 
d'
au
to
-c
or
ré
la
tio
n 
th
éo
riq
ue
σ=0.015
σ=
σ=0.025
σ=0.035
σ=0.045
Fig. 2  : allure d
pour différentes v
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
CRB
MVS empirique
WPSF théorie d=2
WPSF théorie d=3
WPSF théorie d=4
WPSF emp. d=2
WPSF emp. d=3
WPSF emp. d=4
a 
STD )
f 0  
∆f 
x 10
-40.02
σ0r
g
00.02
σ0té effectuées avec des snapshots de 8 
couvrant pas. Les fréquences et écarts-
malisés. La détermination du vecteur 
ne descente de Newton initialisée à la 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Validation sur données réelles 
Les résultats présentés figures 5 et 6 correspondent à 
l’application de la méthode WPSF sur les données réelles 
issues de la campagne d’orages, à Arecibo, en septembre et 
 des estimateurs WPSF et MVS 
aussien. 
0 40 50 60 70 80 90 100
temps
.005
e la fonction d’auto-corrélation 
aleurs de σ 
Fig. 3 : performances des estimateurs WPSF et MVS 
dans le cas de 2 échos gaussiens 
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
CRB
MVS empirique
WPSF théorie d=2
WPSF théorie d=3
WPSF théorie d=4
WPSF emp. d=2
WPSF emp. d=3
WPSF emp. d=4
STD )
σ 0  
∆f 
b 
 octobre 1998. Les difficultés d’initialisation de l’algorithme 
MVS n’ont pas permis d’aboutir à des estimations 
concluantes de moments spectraux sur données réelles.  
L’estimation conjointe des moments spectraux d’ordre 1 et 2  
présentés figure 5.b concordent avec le spectre réel de la 
figure 5.a. Sur la figure 6, la reconstruction du spectre par la 
méthode WPSF fait apparaître un troisième pic se 
superposant à l’écho de vent et probablement dû à une 
réflexion sur les hydrométéores.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L’estimation concorde avec l’allure du spectre et permet de 
confirmer la présence d’un écho supplémentaire (pic 3 
difficilement décelable avec Fourier). 
 Cependant, l’initialisation du vecteur paramètre reste une 
étape délicate dans la mise en œuvre opérationnelle de 
l’algorithme. De plus, il est nécessaire de choisir correctement 
la dimension d de l’espace signal.  
6. Conclusions 
Nous avons développé deux algorithmes d’estimation 
reposant sur une modélisation originale de la matrice de 
covariance des échos atmosphériques. Il s’agit tout d’abord 
de la méthode du MVS, qui bien que peu utilisée en 
traitement du signal se révèle intéressante dans notre 
problème, puis d’une généralisation de WSF initialement 
introduit pour pallier aux difficultés de mise en œuvre du 
MVS tout en en conservant les performances asymptotiques. 
Dans notre modèle, la matrice de covariance non bruitée est  
de rang plein, expliquant les meilleurs performances 
statistiques (à priori inattendues) du MVS par rapport à 
WPSF. Les résultats empiriques obtenus par tirages de Monte 
Carlo viennent confirmer les développements théoriques. En 
raison de la difficulté d’initialisation du MVS, seul 
l’algorithme WPSF a été testé sur signaux réels. Dans des cas 
simples, le bon comportement de la méthode a été validé par 
la méthode de Fourier. Dans le cas de forts chevauchements, 
nous avons mis en évidence les améliorations introduites sur 
l’estimation des moments spectraux. 
Remerciements 
The National Astronomy and Ionospheric center is operated 
by Cornell University under contract with the National 
Science foundation. 
Références 
[1] R.J. Doviak et D.S. Zrnic. Doppler Weather Signal 
Radar Observations. Academic Press, Inc., 1984. 
[2] A. Papoulis. Probability, Random Variables and 
Stochastic Processes. New York, MacGraw-Hill, 1965. 
[3] M. Bengtsson et B. Ottersten. Antenna Array Signal 
Processing for High Rank Data Models, PHD Thesis, 
KTH Sweden, 1999. 
[4] E. Boyer, M. Petitdidier, C. Adnet et P. Larzabal. 
Subspace based spectral analaysis for VHF and UHF 
radar signals. PSIP , 2001. 
[5] S. Haykin, J. Litva et T.J. Shepherd. Radar Array 
Processing.  Springler and Verlag, 1993. 
[6] R.O. Schmidt, A signal subspace approach to multiple 
emitter location and spectral estimation, IEEE Trans. 
Ant. Propag. AP-34, 276, 1986.  
[7] P. Stoica et B. Nehorai. MUSIC, Maximum Likelihood 
and Cramér-Rao Bound. IEEE Trans. on acoustics, 
speech and signal processing, vol. 37. Mai 1989. 
-60 -40 -20 0 20 40 60
10
20
30
40
50
a- SPECTRE DE FOURIER
vitesse m/s
pu
is
sa
nc
e 
(d
B)
-60 -40 -20 0 20 40 60
20
30
40
50
60
b- SPECTRE RECONSTITUE PAR WPSF + éq (17) et (24)
pu
is
sa
nc
e 
(d
B)
Fig.5 : validation de l’algorithme WPSF sur 
données réelles 
-60 -40 -20 0 20 40 60
10
20
30
40
50
a- SPECTRE DE FOURIER
vitesse m/s
pu
is
sa
nc
e 
(d
B)
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
2
4
6
vitesse m/s
σ
 (d
B)
b- COURBES ISO-NIVEAUX DE f WPSF
Fig. 4 : le radar d’Arecibo  
pic 1 
pic 2 
pic 3 vitesse m/s
Fig. 6 : exemple d’estimation WPSF sur données 
réelles dans le cas de plusieurs échos  


Estimation conjointe de moments spectraux d'échos Doppler. Application au cyclone 'Georges'

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