Au cours de ces dernières années, un certain nombre de méthodes déterministes ou statistiques ont été proposées pour caractériser des droites à partir d'une séquence d'images. En général, les performances de ces méthodes se dégradent en présence d'un bruit ou de pixels isolés et surtout en présence de droites de pentes très voisines. Dans cette étude, nous utilisons les méthodes de traitement d'antenne pour améliorer le pouvoir séparateur afin d'identifier au mieux des droites de pentes voisines. Nous proposons aussi une extension de ces méthodes pour estimer les paramètres cinématiques (coordonnées et vitesses) des objets en mouvement. Cette extension est possible dans le cas où les paramètres cinématiques varient lentement au cours du temps

BENDJAMA, A.

BOURENNANE, S.

I-Revues

Méthodes de Traitement d’Antenne pour la caractérisation
d’objets en mouvement à partir d’une séquence d’images.
S. BOURENNANE1 , A. BENDJAMA2
1Institut Fresnel – CNRS/UMR 6133 - ENSPM
D. U. de Saint-Jérôme 13397 Marseille cedex 20
2SPE– CNRS/UMR 6134 - Université de Corse
Quartier Grossetti 20250 Corté
email : salah.bourennane@fresnel.fr
Résumé - Au cours de ces dernières années, un certain nombre de méthodes déterministes ou statistiques ont été proposées pour
caractériser des droites à partir d’une séquence d’images. En général, les performances de ces méthodes se dégradent en présence
d’un bruit ou de pixels isolés et surtout en présence de droites de pentes très voisines. Dans cette étude, nous utilisons les
méthodes de traitement d’antenne pour améliorer le pouvoir séparateur afin d’identifier au mieux des droites de pentes voisines.
Nous  proposons aussi une extension de ces méthodes pour estimer les paramètres cinématiques (coordonnées et vitesses) des
objets en mouvement. Cette extension est possible dans le cas où les paramètres cinématiques varient lentement au cours du
temps.
Abstract - During the last years, several methods  have been proposed to characterize lines from a sequence of images. Yet, their
performance generally deteriorate in the case when isolated pixels exist particularly in the presence of close slopes lines. In this
study, we use array processing methods to improve the resolution so as to obtain a better identification of the neighboring lines. In
addition, we propose to extend these methods to estimate the parameters (coordinates and celerities) of moving targets from a
sequence of images. This extension is developed in the case of the parameters vary slowly during time.
1. Introduction
La caractérisation de lignes ou de contours d'objets à
partir d’une image est un problème largement étudié ces
dernières années[1]. Ce type de problème est rencontré,
par exemple, lors du dépistage de voies en robotique, de
mesure de la  largeur des pistes en microélectronique et
d'une façon générale dans l'analyse des images aériennes.
L'image est supposée contenir  un nombre fini de droites
caractérisées par des pixels de valeur '1' symbolisés par
des points noirs sur un fond blanc correspondant aux
pixels de valeur '0'. La détection et la localisation de ces
lignes est l’un des principaux objectifs du traitement
d'images. Au cours de ces dernières années, un certain
nombre de méthodes algébriques ont été proposées. En
général, leurs performances se dégradent  s’il y a des
pixels isolés et surtout en présence de droites de pentes
très proches ou qui se croisent. Récemment pour
améliorer le pouvoir séparateur, les méthodes de
traitement d'antenne[2] ont été utilisées pour caractériser
des droites à partir d'une séquence d’images. Dans cette
étude, dans un premier temps nous adaptons les méthodes
de traitement d’antenne dites à haute résolution au
problème d’estimation de pentes de droites puis au
problème d’estimation de paramètres cinématiques
(coordonnées et vitesses) des objets en mouvement à
partir d’une séquence d’images. Dans ce dernier cas nous
supposerons que les paramètres à estimer varient
lentement au cours d’une séquence.
Nous établissons un algorithme de poursuite de ces
paramètres caractéristiques de plusieurs objets en
mouvement. Les méthodes haute résolution exploitent
les propriétés algébriques des matrices de covariance des
signaux reçus sur l’antenne. Ces matrices sont estimées à
partir d’un certain nombre de réalisations indépendantes.
Pour estimer la matrice de covariance, dans cette étude,
nous avons remplacé les moyennes temporelles utilisées
en traitement d’antenne par des moyennes spatiales. De
la même façon qu’en traitement d’antenne où les azimuts
et les puissances des sources sont estimés, nous
appliquons ces méthodes pour estimer les vitesses et les
décalages ou offsets (coordonnées à l’origine) des objets.
La  poursuite est réalisée à l’aide du filtre de Kalman
combiné à l’algorithme de Prony-Lanczos pour estimer
le sous-espace signal défini par les vecteurs propres
dominants de la matrice de covariance, et à l’algorithme
de Newton pour estimer les nouvelles pentes ou
vitesses.
 Dans la suite, une fois que l’on a décrit la méthode
utilisée pour obtenir les signaux à partir des images ainsi
que la méthode d’estimation de leur matrice de
covariance, nous présenterons les différentes étapes du
filtre de Kalman permettant la poursuite. Enfin, nous
donnerons les résultats obtenus en appliquant les
différents algorithmes à des séquences d’images
simulées.
2. Séquence d’images : signaux
Dans le cadre de la recherche des pentes de droites une
seule image est suffisante pour réaliser leur estimation.
Dans le cas de la caractérisation de vitesses d’objets une
séquence d’images est nécessaire. Cette séquence doit
être constituée d’un nombre d’images supérieur au
nombre d’objets en mouvement.
Soit I(x, y, b) l'image (MxM) enregistrée et définie dans
le plan euclidien (X,Y) à l’instant t = bT.  Nous
considérons que I(x, y, b) est composée de P objets en
mouvement et d'un bruit additif. A partir d’une séquence
de N images correspondant à une durée totale NT
( b= 0,…, N-1), nous réalisons deux images issues de la
concaténation des signaux mono-dimensionnels obtenus
par projection des N images initiales (après soustraction
entre deux images successives pour éliminer le contenu
fixe de l’image ) suivant l’axe X et l’axe Y. Soient
Iy(X,Y) et Ix(X,Y) les images obtenues. Les différentes
positions occupées par les objets tout au long de la
séquence seront décrites par des trajectoires rectilignes,
dans le cas de mouvement rectiligne uniforme, et leurs
pentes sont directement liées à la vitesse. Nous pouvons
donc appliquer les mêmes algorithmes utilisés pour
l’estimation des pentes de droites. Enfin dans le cas où
nous nous intéressons à des objets en mouvement avec
des vitesses variables au cours du temps. Nous
décomposons l’ensemble des images en séquence
d’images de durée inférieure à la durée de variations des
paramètres.
Soient Iy(X,Y, k) et Ix(X,Y, k) les images obtenues de la
séquence k . En supposant que la durée des variations des
paramètres cinématiques est supérieure à celle de la
séquence d’images utilisée et en adoptant que les pixels
'1' constituent les supports des objets après projection
appelés "pixels utiles", alors que les pixels '0' sont
associés au fond de l’image. Ceci conduit donc à un
modèle où la position de l’objet tout au long de la
séquence décrira dans chacune des images Iy(X,Y, k) et
Ix(X,Y, k) une droite dont la pente est directement liée à
la vitesse de l’objet. Ce qui s’identifie exactement au
problème de la localisation de sources à partir des
signaux reçus sur une antenne où le nombre de capteurs
est remplacé par le nombre N d’images contenues dans la
séquence et le nombre de sources par le nombre P
d’objets.
En considérant  les N lignes de la matrice-image comme
les N sorties d'un réseau rectiligne de N capteurs
équidistants disposé le long de l'axe des ordonnées (Y).
Le signal issu de chaque capteur peut donc être considéré
comme étant constitué de l'ensemble des pixels
appartenant à la ligne correspondante dans la matrice. En
adoptant la propagation à paramètre constant le long de
l’axe considéré. On peut définir, en utilisant la notation
matricielle, le vecteur d'observation à l’instant t = k Ts
où Ts est la durée de la séquence :
,)()())(()( kkkk nsAr += θ k =1,…….K ;
où θ(k) est le vecteur (Px1) des pentes des différentes
droites (vpx(k) = tan(θp(k) ) ou vpy= tan(θp (k)) et s(k)
contient les offsets (x0p,y0p p = 1,…P ) des différentes
droites à l’instant k.
3. Estimation de la matrice de covariance
En général, les algorithmes dits à haute résolution
exploitent les propriétés algébriques de la matrice de
covariance des signaux pour estimer les composantes de
θ(k). Cette dernière est estimée à partir d'un certain
nombre (grand) de réalisations. Dans le problème que
nous traitons le vecteur d'observation ne dépend pas du
temps et par conséquent de nouveaux estimateurs de la
matrice de covariance doivent être développés. Nous
proposons d’effectuer à la place la moyenne temporelle
utilisée en traitement d'antenne des moyennes spatiales
afin d’estimer la matrice de covariance. De plus afin de
moyenner suffisamment pour garantir une meilleure
estimation nous utilisons des moyennes spatiales
glissantes directes et rétrogrades. Cette méthode est
souvent employée en traitement d’antenne pour
décorréler des sources. Elle est  dénommée le lissage
spatial [2].
4. Estimation des paramètres : Méthodes
haute résolution
Les éléments propres de la matrice de covariance sont,
en général, utilisés pour caractériser les sources par les
techniques haute résolution.
Les valeurs propres sont utilisées pour détecter ou
estimer le nombre de sources. Pour cela, des critères de
détection  tels que  AIC et MDL  peuvent être appliqués.
Les vecteurs propres sont répartis en deux sous espaces
complémentaires : sous-espace signal et sous-espace
bruit. La propriété d’orthogonalité qui existe entre les
deux sous-espaces est la base de la localisation.
Dans cette étude nous appliquons les mêmes techniques
pour détecter et estimer les pentes des P droites à partir
des signaux issus des séquences d’images comme décrit
précédemment.
Pour localiser des sources de nombreux algorithmes sont
proposés dans la littérature[2]. Dans cette étude nous
avons appliqué  les méthodes : MUSIC, Propagateur,
Norme minimale, Capon et Formation de voies pour
comparer leur pouvoir séparateur puis nous avons
retenu  l’algorithme MUSIC dans le reste de l’étude. En
effet, cet algorithme semble peu sensible au paramètre
de propagation utilisé pour créer les données.
5. Filtre de Kalman : poursuite
Dans cette section nous nous intéressons à l’estimation
des différents paramètres caractéristiques (θ(k) et s(k)).
Cette estimation est réalisée au fur et à mesure que les
images sont enregistrées. Un tel problème est analogue à
celui de la poursuite de cibles. Pour réaliser cette
poursuite nous utilisons le  filtre de Kalman.
Soit
                  
[ ]Tkpkpkpk )(),(),()( θθθ &&&=px
vecteur  contenant la pente , la vitesse de variations et
l’accélération à l’instant k qui sont des caractéristiques du
p-ième objet (p=1,…, P).
En introduisant, le modèle du vecteur d’état et du vecteur
d’observation à l’instant k, les équations du  vecteur
d’état et  des mesures associées à la p-ième droite sont :
[ ]001),(pv)()(ˆ
100
10
22/11
),()()1(
=+=
=
+=+








mxm
B
uxBx
aveckkpkp
Ts
sTTs
avec
kpkpkp
θ
où up(k) est un bruit de matrice de covariance Wp(k) et
vp(k) est l’erreur d’estimation de  variance σ2p(k).
 Nous résumons ci-dessous l’algorithme de poursuite qui
se déroule en quatre étapes :
1) Prédiction des valeurs des pentes (p =1,…, P) en
utilisant )/(ˆ kkpx disponible à l’instant kTs, soit
)/1(ˆ kk +px la prédiction du vecteur d’état :
)/(ˆ)/1(ˆ kkpkk xBpx =+  et sa matrice de covariance
s’écrit :
)()/()/1( kkkpkk pW
TBBp +Γ=+Γ
2) Obtention du sous-espace signal Vs(k+1) en utilisant la
nouvelle image issue de la séquence (k+1). Puis
construction du projecteur sur le sous-espace bruit
VB(k+1) = I – Vs(k+1) V+s(k+1)  .
3) Estimation des pentes en utilisant l’algorithme de
Newton initialisé avec les valeurs des pentes prédites
)/1(ˆ kk +pθ  et le sous-espace bruit VB(k+1) :
=+ )1(ˆ kpθ
)/1(ˆ)(1)(k)(
))(1)(k)((
)/1(ˆ
B
B
kk
Re
kk
+=+
+
+
+
+ −
p
aVa
aVa
p
θθθθ
θθ
θ
&&
&
4) Estimation de l’innovation (erreurs) :
de valeur moyenne nulle et de variance :
)1()/1( +++Γ kp
Tkk 2mpm σ ,
en utilisant les équations de l’algorithme de Kalman on
obtient :
[ ] )/1()1()1/1(
1(ˆ)1()/1(ˆ)1/1(ˆ )
kkpkpkk
kpkpkkkk
+Γ+−=++Γ
++++=++
mKIp
Kpxpx θδ
où I est la matrice identité  et la matrice Kp est le gain de
Kalman donné par :
[ ] 1)1(2)/1(
)/1()1(
−
+++Γ
+Γ=+
kp
Tkkp
Tkkpk
σmm
mpK
Après avoir décrit l’algorithme de poursuite des estimés
des différentes pentes ou vitesses de déplacement des
objets, le vecteur des offsets s(k) peut être estimé par :
Ce qui conduit à l’estimation des coordonnées à l’origine
(offsets) de l’image issue de la séquence k et en tenant
compte des vitesses estimées on en déduit dans chaque
image de la séquence traitée les positions occupées par
les différents objets tout au long de cette séquence.
6. Applications
6.1. Estimation des pentes :
Nous avons simulé une image (50x200) composée de
deux droites de pentes très voisines d’offsets 30 et 40, et
en présence d’un bruit (figure 1) . Les pentes utilisées
sont équivalentes à 45° et 63.4°. La matrice de
covariance est estimée à partir de 40 sous-réseaux.
Nous avons appliqué les différentes méthodes d’analyse
spatiale pour estimer les pentes de ces droites. Les
résultats obtenus sont représentés (figure 2). Nous
constatons que toutes les méthodes appliquées à
l’exception de la formation de voies ont pu estimer les
Ppkkpkpk ,...,1)/1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ =+−+=+ θθθδ p
)())(()))(())((()(ˆ 1 kkkkk rAAAs θθθ ++ −=
deux pentes (45° et 63.5°). La faible résolution de la
formation de voies n’a pas permis de les séparer. Le
nombre de droites est détecté par le critère MDL qui a
conduit à la présence de deux droites. Les valeurs
d’offsets estimées sont de 31 et  40. Les résultats obtenus
sur de nombreuses simulations ont monté que les
méthodes du traitement d’antenne sont bien adaptées à ce
genre de problème.
FIG.1 : Droites en présence de bruit
FIG.2 : Localisation
6.2 Estimation des vitesses
Nous avons simulé une séquence de 100 images où deux
objets sont animés de mouvements uniformes :
- avec des vitesses opposées (croisement de leurs
trajectoires). En utilisant les données issues de la
séquence,  dans le cas d’une  vitesse de 1pixel/image la
méthode de MUSIC a fourni une estimation sans biais.
- avec des vitesses identiques et des offsets de mêmes
signes ce qui correspond à deux droites parallèles. Avec
une vitesse de 1pixel/image nous avons constaté que le
nombre de moyenne utilisé pour estimer la matrice de
covariance joue un rôle important. Un nombre élevé
conduit à une meilleure estimation.
Signalons que ce deuxième cas est équivalent au
problème de la localisation de sources totalement
corrélées en traitement d’antenne.
6.3.  Poursuite
Dans cette partie nous avons appliqué l’algorithme de
Kalman pour réaliser  l’estimation des vitesses au cours
du temps. Deux objets animés de mouvement
quelconques ont été simulées. Chaque séquence est
composée de 20 images (200x200). Nous avons étudié
100 séquences consécutives. Les valeurs des vitesses
estimées sont données (figure 3). Dans tous les cas
étudiés l’erreur d’estimation n’a pas dépassé un pixel.
FIG.3 : Estimation des vitesses sur 100 séquences ;
7. Conclusion
Cette étude qui traite de la détection et de l’estimation de
vitesses d’objets en mouvement à partir de séquences
d’images a permis de montrer que les algorithmes
d’analyse spatiale haute résolution sont parfaitement
adaptés à ce genre de problème. Les résultats obtenus
ont montré que ces méthodes  peuvent améliorer
certains algorithmes du traitement d’images. Nous avons
montré les similitudes qui existent entre de nombreux
problèmes du traitement d’antenne et du traitement
d’images.
Références
[1] M. Frikel and  S. Bourennane, High-resolution
methods without eigendecomposition for locating the
acoustic sources. Appl. Acou., vol.52, n°2, october 1997.
 [2] R. O. Duba and P. E. Hart. Use of the Hough
transformation to detect lines and curves in pictures.
Comm. of the ACM, vol. 15, no. 1, pp. 11-15, Jan. 1972.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
teta (deg.)
Fo
n
c
tio
n
 d
e
 
lo
c
a
lis
a
tio
n
Music             
Propagateur       
Norme minimale    
Capon             
Formation de voies
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
temps
v
ite
ss
e


Méthodes de Traitement d'Antenne pour la caractérisation d'objets en mouvement à partir d'une séquence d'images

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