Une analyse de l'influence de la puissance de l'entrée sur la capacité de poursuite de l'algorithme du gradient stochastique (GS) est présentée. Cet algorithme est utilisé en identification d'un système non stationnaire dont les variations sont modélisées par une promenade aléatoire. Nous montrons l'influence contradictoire de la puissance de l'entrée sur la déviation quadratique moyenne et l'erreur quadratique moyenne résiduelle optimales. Lorsque deux non stationnarités sont combinées, celle de l'entrée du système à identifier et celle du système, nous montrons l'apport relatif de certains algorithmes normalisés pour une identification robuste face aux variations de la puissance de l'entrée

BEN JABARA, S.

JAÏDANE-SAÏDANE, M.

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 1109
Influence de la puissance de l’entrée sur la capacité
de poursuite des filtres adaptatifs
S. Ben Jabara(1)(2), M. Jaïdane-Saïdane(1)
.1/ L.S.Télécoms, ENIT, Campus Universitaire, Le Belvédère, Tunis, TUNISIE
Tél : (216-1) 874-700, Fax : (216-1) 870-729
.2/ ESPTT, Route de Raoued, Km3.5 Cité El Ghazala 2083, Tunis, TUNISIE
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RÉSUMÉ
Une analyse de l’influence de la puissance de l’entrée sur la capacité
de poursuite de l’algorithme du gradient stochastique (GS) est pré-
sentée. Cet algorithme est utilisé en identification d’un système non
stationnaire dont les variations sont modélisées par une promenade
aléatoire. Nous montrons l’influence contradictoire de la puissance
de l’entrée sur la déviation quadratique moyenne et l’erreur quadra-
tique moyenne résiduelle optimales. Lorsque deux non stationnarités
sont combinées, celle de l’entrée du système à identifier et celle du
système, nous montrons l’apport relatif de certains algorithmes nor-
malisés pour une identification robuste face aux variations de la puis-
sance de l’entrée.
ABSTRACT
The analysis of the input power influence on the tracking capabilities
of the LMS algorithm is presented. This algorithm is used in order
to identify system variations modeled by a random walk. We prove
that the tracking capabilities deduced from the optimal mean square
deviation and misadjustement are contradictory. When input and
system non stationarities are combined, the use of some normalized
gradient-based algorithms in order to reinforce the identification
robustness when the input is subject to power variations is justified.
1 Introduction
Dans le but d’améliorer les performances d’une structure
d’identification en temps réel d’un système non stationnaire,
il est intéressant d’analyser l’influence des caractéristiques
de l’entrée (puissance, corrélation, contenu spectral, ...) sur
les performances de l’algorithme d’adaptation utilisé. Lorsque
l’entrée est stationnaire, ces caractéristiques n’ont une in-
fluence que sur la qualité du régime transitoire lors de l’iden-
tification adaptative d’un système linéaire invariant dans le
temps. Lorsque l’on considère l’identification d’un système
non stationnaire, c’est la capacité de poursuite de l’algorithme,
qui caractérise le comportement en régime permanent, que
l’on analyse. Pour un système non stationnaire dont les va-
riations de la réponse impulsionnelle sont modélisées par une
promenade aléatoire, une analyse de l’influence de la corréla-
tion de l’entrée ([1]) sur la capacité de poursuite, a permis de
montrer l’apport du couplage structures prédictives/structures
classiques d’identification.
Nous présentons ici une analyse de l’influence de la puis-
sance de l’entrée sur la capacité de poursuite du GS. Cette ana-
lyse permet de montrer, pour des entrées telles que la parole,
pour lesquelles la non stationnarité se traduit par des variations
de puissance, que la robustesse des algorithmes normalisés vis
à vis de telles fluctuations est toute relative lorsque l’on com-
bine les non stationnarités de l’entrée et du système.
2 Influence de la puissance de l’entrée
2.1 Formulation mathématique
La figure (1) représente le schéma classique d’identification
d’un système. L’entrée x.k/ peut être stationnaire ou non. On
se place dans un contexte non stationnaire ou les variations de
la réponse impulsionnelle F.k/ du système sont modélisées
par une promenade aléatoire
F.k C 1/ D F.k/C .k C 1/ (1)
où chaque composante !i .k/, i D 0::N Ä 1 de  .k/ est
une séquence stationnaire, indépendante de l’entrée x.k/ et du
bruit stationnaire d’observation b.k/ de puissance Pb.
Le système inconnu F.k/ est identifié en utilisant l’algo-
rithme du gradient stochastique (GS). Le vecteur paramètre
H .k/ du filtre adaptatif évolue selon :
H .k C 1/ D H .k/C e.k/X .k/ (2)
où e.k/ D y.k/ Ä H .k/T X .k/ est l’erreur d’estimation,
X .k/ D [x.k/; x.k Ä 1/; :::; x.k Ä N C 1/]T est le vecteur
d’observation de l’entrée et  > 0 est le pas d’adaptation.
Sous l’hypothèse classique d’indépendance entre les
séquences des vecteurs observation X .k/ et déviation
V .k/ D H .k/ Ä F.k/, les expressions analytiques des
2 critères de mesure des performances étudiés : l’Erreur
Quadratique Moyenne Résiduelle normalisée E QM R DÄ
E

e.k/2
Ä Pb =Pb et la Déviation Quadratique Moyenne
DQM D E V .k/T V .k/ obtenues dans le cas d’une entrée
1110
stationnaire, gaussienne et blanche sont les suivantes ([2])
E QM R D 1
2Ä 2CNN 

 C N


D Px DQM
Pb
(3)
On note Px D E

x.k/2

la puissance de l’entrée, P! D
E

!i .k/2

, 8i D 0; ::; N Ä 1,  D N Px P!=Pb le degré de
non stationnarité et  D N Px le pas d’adaptation normalisé.
Lorsque l’entrée x.k/ et les composantes du bruit qui ca-
ractérise la non stationnarité du système  .k/ sont corrélées,
on se limitera au cas des faibles pas d’adaptation ([3])
E QM R D 1
2

 C N


(4)
DQM D Pb
2Px

 C Tr.R
Ä1
x R /


(5)
où Rx D E

X .k/X .k/T

=Px est la matrice de corrélation
normalisée de l’entrée,
R  D E

 .k/ .k/T

=P! est la matrice de corrélation
normalisée des bruits de non stationnarités.
Notons qu’une nouvelle approche de calcul a été dévelop-
pée dans ([1]) afin d’estimer la capacité de poursuite pour une
plus large gamme du pas d’adaptation incluant ainsi le pas
d’adaptation optimal.
2.2 Cas d’une entrée blanche
Lorsque l’entrée est blanche, il est possible, à partir
de l’équation (3) de donner les expressions analytiques
de la DQM minimale (DQMmin ) et l’E QM R minimale
(E QM Rmin) pour le pas d’adaptation optimal
E QM Rmin D
2
2CN
N
h
Ä1C
q
1C 4Pb
.2CN/2 P!Px
i (6)
DQMmin D
Pb E QM Rmin
Px
(7)
Ainsi, lorsque la puissance de l’entrée augmente, de meilleures
performances en terme de DQMmin sont obtenues, alors que
l’E QM Rmin se dégrade.
Ce résultat contradictoire est illustré sur la figure (2) pour
un système à 2 coefficients (N D 2) caractérisé par P! D
0:005 et Pb D 0:1 et une entrée blanche gaussienne.
2.3 Cas d’une entrée corrélée
Lorsque l’entrée et les composantes  .k/ sont corrélées,
les équations (4) et (5) montrent que les conclusions énoncées
dans le cas d’une entrée blanche se généralisent pour les
faibles pas d’adaptation. Les figures (3.a) et (3.b) illustrent ce
résultat dans le cas du système précédent avec
! D E

!0.k/!1.k/

=P! D 0:5. L’entrée choisie est
corrélée avec
x D E fx.k/x.k Ä 1/g =Px D 0:5.
La figure (3.b) montre de plus, qu’à partir d’un certain pas,
la DQM évolue dans le même sens que l’E QM R, c’est à dire
se dégrade aussi lorsque la puissance de l’entrée augmente.
3 Difficulté de choix d’un algorithme
robuste
Nous combinons maintenant deux types de non stationna-
rités, la première est liée aux variations du système, tandis que
la seconde est liée aux variations de la puissance de l’entrée,
comme cela est le cas en transmission du signal de parole sur
un canal par exemple de type radio-mobile.
3.1 Insuffisances du gradient stochastique
Lorsque l’on analyse la robustesse de la capacité de pour-
suite du GS vis à vis des fluctuations de la puissance, deux
résultats issus de l’analyse précédente montrent la difficulté
de cette analyse.
Tout d’abord, il faut noter que si la DQM définie par le
moment du second ordre de l’écart entre le filtre inconnu et
son identifiant, mesure effectivement la capacité de poursuite,
seule l’EQMR est mesurable. L’analyse précédente montre,
dans le cas d’une entrée blanche, qu’à une puissance de
l’entrée élevée correspond une bonne capacité de poursuite
en terme de DQM, alors que, contradictoirement elle dégrade
l’EQMR.
D’autre part, lorsqu’on est en présence d’une entrée corré-
lée, comme cela est le cas pour le signal de parole, on constate
que les pas d’adaptation optimaux qui dépendent de la puis-
sance Px de l’entrée (et des caractéristiques du système à pour-
suivre) sont différents selon que c’est le critère de la DQM ou
de l’EQMR que l’on cherche à optimiser.
Ceci est illustré sur la figure (4) dans le cas d’une entrée
stationnaire fortement corrélée x D 0:9 et pour le système
non stationnaire étudié précédemment. Cette figure montre
d’une part que les pas d’adaptation optimaux décroissent en
fonction de la puissance de l’entrée et d’autre part que le
pas d’adaptation optimal minimisant l’EQMR (optE QM R) est
toujours inférieur à celui minimisant la DQM (optDQM ).
3.2 Apport relatif des algorithmes normalisés
Les algorithmes normalisés utilisés pour la prédiction de
signaux non stationnaires, tels que les signaux de parole,
présentent une certaine robustesse vis à vis des fluctuations
de la puissance.
Afin d’améliorer la capacité de poursuite du GS, lorsque
l’entrée du système non stationnaire à identifier est sujette
à des fluctuations de la puissance, on se propose d’utiliser
encore de tels algorithmes normalisés caractérisés par
H .k C 1/ D H .k/C 1.k/ (8)
où l’incrément 1.k/ est égal à e.k/X .k/= OPx.k/ pour le
GS normalisé ; OPx .k/ étant une estimation récursive de la
puissance de l’entrée.
On considère également les incréments Sgn.e.k//X .k/ (al-
gorithme S1), e.k/Sgn.X .k// (Algorithme S2) et Sgn.e.k//
Sgn.X .k// (Algorithme S3).
Quelques résultats de simulations relatifs aux performances
de ces algorithmes sont résumés dans le tableau (1). Ce dernier
1111
donne les critères de performances DQMmin et E QM Rmin
atteints par les algorithmes. Deux séquences de parole de
50.000 points, prélevés à la fréquence de 8 KHz ont été testées.
Chaque échantillon de valeur comprise entre Ä1 et C1 est
codé sur 16 bits.
La première séquence correspond à la phrase “Il se garan-
tira du froid avec ce bon capuchon” tandis que la seconde sé-
quence est relative à la phrase “Le loup se jeta immédiatement
sur la petite chèvre”.
Le tableau (1) montre que comparativement au GS, l’al-
gorithme Sgn.e.k//Sgn.X .k// dégrade systématiquement les
performances de l’identification. Par contre, l’algorithme du
GS Normalisé améliore toujours l’E QM Rmin alors qu’il dé-
grade la DQMmin . Avec l’algorithme du signe de l’entrée, on
aboutit au même type de conclusion, pour une complexité plus
faible.
Si l’on s’intéresse maintenant à la capacité de poursuite de
non stationnarités des algorithmes, c’est à dire à la DQMmin ,
on constate que seul l’algorithme du signe de l’erreur, de
faible complexité, améliore la poursuite. Cependant, comme
cet algorithme dégrade toujours l’E QM Rmin il peut être rejeté
dans un contexte réel de simulations, puisque seule l’E QM R
est mesurable.
4 Conclusion
Lorsqu’en identification de système, on considère deux non
stationnarités : celle liée aux variations de la puissance de l’en-
trée et celle liée aux variations de la réponse impulsionnelle du
système, le choix d’un algorithme conduisant à une bonne ca-
pacité de poursuite est délicat.
Les algorithmes normalisés apportent une relative amélio-
ration devant le GS. La difficulté de l’interprétation est liée
à l’influence contradictoire de la puissance de l’entrée sur les
mesures de performances des algorithmes.
Références
[1] S.Ben Jebara and M. Jaidane, “Best Input for Opti-
mal Tracking Randomly Time-Varying Systems : Justi-
fication of Adaptive Predictive Structure", ICASSP, pp.
1957–1960, Avril 1997.
[2] O. Macchi, “LMS Adaptive Processing with Applica-
tions in Transmission", Wiley,1994.
[3] E.Eweda, “Comparison of RLS, LMS, and Sign Algo-
rithms for Tracking Randomly Time-Varying Channels",
IEEE Trans. Signal Processing, Vol 42, Nrˇ 11, pp. 2937–
2944, Nov 1994.
-
-
F.k/
H.k/
k m?
?
6
-
 
x.k/ e.k/C
C C
Ä
b.k/
6
-
-
- Adaptation
Figure 1 — Schéma d’identification classique
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
en dB
Puissance de l’entrC´e Px
E QM Rmin
DQMmin
Figure 2 — Influence de la puissance de l’entrée sur la
capacité de poursuite optimale pour N D 2, Pb D 0:1,
P! D 0:005 et une entrée blanche
GS GSN S1 S2 S3
Séq 1 E QM Rmin -13.4 -14.2 -13.0 -13.4 -12.0
DQMmin 5.6 6.3 4.5 6.5 7.0
Séq 2 E QM Rmin -16.0 -16.4 -15.5 -17.2 -15.8
DQMmin 7.8 7.9 7.1 8.2 8.3
Table 1 — Comparaison des performances (en dB) des
algorithmes GS, GSN et algorithmes du signe
1112
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
EQMR
en dB
Pas d’adaptation 
P
x
D 1
Px D 0:9
P
x
D 0:8
(a)
~
~
}
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
DQM
en dB
Pas d’adaptation 
P
x
D 0:8
Px D 0:9
P
x
D 1
(b)



Figure 3 — Influence de la puissance de l’entrée sur
l’E QM R et la DQM pour N D 2, Pb D 0:1, P! D 0:005,
! D 0:5 et x D 0:5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Pas
optimal
Puissance de l’entrC´e Px

opt
E QM R

opt
DQM
Figure 4 — Influence de la puissance de l’entrée sur optE QM R
et optDQM pour N D 2, Pb D 0:1, P! D 0:005, ! D 0 et
x D 0:9


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