Nous proposons une nouvelle approche pour l'extraction automatique de plusieurs pistes fréquentielles de signaux "bandes étroites" par chaînes de Markov cachées. L'algorithme présenté est une extension du Forward-Backward dans un cadre multisources

GOULLET, Georges

JAUFFRET, Claude

PARIS, Sébastien

I-Revues

Extraction et détection automatique de pistes fréquentielles en
sonar passif
Sébastien Paris
1
, Claude Jauffret
1
, Georges Goullet
2
1
MS-GESSY, Avenue G.Pompidou, 83160 La Valette du Var, France
2
DCE, CTSN, Chemin de la Gardiole, 83140 Six Fours, France
paris@isitv.univ-tln.fr, jauffret@isitv.univ-tln.fr
Résumé  Nous proposons une nouvelle approche pour l'extraction automatique de plusieurs pistes fréquentielles de signaux
bandes étroites par chaînes de Markov cachées. L'algorithme présenté est une extension du Forward-Backward dans un cadre
multisources.
Abstract  A new approach of the multiple frequency line tracking based upon the so called Hidden Markov Models is
proposed. More precisely, the Forward-Backward algorithm is showed to be very ecient.
1 Introduction
L'extraction des pistes fréquentielles en sonar passif per-
met a posteriori la classication de bâtiments. Produites
par les parties mécaniques et arbres moteurs des navires,
la uctuation des raies fréquentielles au cours du temps,
permet l'identication des bâtiments, voire leur trajec-
tographie. Ces raies fréquentielles sont observées sur un
lofargramme, représentation temps-fréquence utilisée en
sonar passif. L'extraction de pistes consiste à retrouver les
raies dans un environnement fortement bruité. Ces pistes
au nombre inconnu, peuvent également se croiser ou dis-
paraître et réapparaître au cours de l'observation.
Récemment, en modélisant le problème en termes de chaînes
de Markov cachées, l'utilisation d'algorithmes du type Forward-
Backward ou de Viterbi, ont montré leur ecacité à très
faibles rapports signal à bruit [4].
Nous proposons un nouvel algorithme pour l'extraction
et la détection automatique de pistes fréquentielles s'ap-
puyant sur l'algorithme Forward-Backward [7, 1], qui tient
à la fois compte des naissances et morts des pistes (partie
détection), du croisement des pistes, et détermine le nom-
bre de piste présentes. Ceci est réalisé en deux étapes ;
la partie estimation d'abord qui consiste à retrouver les
pistes fréquentielles les plus probables à l'intérieur du lo-
fargramme ; puis la partie détection qui valide a posteriori
les résultats de la partie estimation. Pour les deux étapes,
l'algorithme Forward-Backward est utilisé.
2 Dénitions
2.1 Modélisation de l'observation
Soit l'observation sur une période T d'un signal échan-
tillonné à la fréquence f
e
. Ce signal est découpé enK blocs
adjacents de N échantillons tel que T = NK. L'ensemble
des blocs indexés par l'instant k forme la mesure Z
K
=
fz
k
g
k=1;::::;K
:
Pour chaque instant k, on suppose observer au plus L
cysoïdes dans un bruit additif :
z
k
(n) ,
L
X
l=1
b
l
k
e
 j(2f
l
k
n+
l
k
)
+ "
k
(n); (1)
avec ("
1
; ::::; "
K
) s N(0; 
2
"
I
d
). En extraction de pistes, les
paramètres b
l
k
et 
l
k
sont considérés comme paramètres de
nuisance. On identie alors l'état x
l
k
, f
l
k
:
Pour chaque mesure z
k
, le calcul de la partie Coarse search
[6] de l'estimateur du maximum de vraisemblance est réal-
isé à l'aide du périodogramme :
P
k
(i) ,
1
M





M 1
X
n=0
z
k
(n)e
 j2
ni
M





2
; i = 1; :::;M; (2)
où M peut être un multiple de N , si la technique du zero-
padding est utilisée. L'ensemble des K périodogrammes
forme le lofargramme. L'état x
l
k
à chaque instant k, prend
la réalisation 
l
k
= 0; :::;M  1, un des M canaux fréquen-
tiels. La piste l parmi les Lmaxima présents est dénie par
la séquence d'états X
l
K
de réalisation 
l
K
,


l
1
; ::::; 
l
K
	
:
2.2 Equation dynamique de l'état
On modélise le comportement de chacune des pistes à
l'aide d'une marche aléatoire, c'est-à-dire une chaîne de
Markov du premier ordre en x
l
k
. Néanmoins, pour tenir
compte des croisements de pistes possibles, il faut mod-
éliser à la fois, les variations de x
l
k
et de sa dérivée _x
l
k
de réalisation _
l
k
=  (
I 1
2
); :::; (
I 1
2
) (I impair), à l'aide
d'une équation dynamique d'ordre 0 en y
l
k
, (x
l
k
; _x
l
k
) de
réalisation  
l
k
, (
l
k
; _
l
k
) :
y
l
k
, D
e
y
l
k 1
+ 
k
; (3)
avec D
e
,

1
T
N
0 1

et 
k
, N(0; R) où R est la ma-
trice de variance-covariance du bruit d'état, la durée. En
admettant que x
l
k
et _x
l
k
sont deux v.a indépendantes, R
se met sous la forme R ,


2

1
0
0 
2

2

.
La probabilité de transition de l'état y
l
k
se calcule par,
Pr(y
l
k
=  
l
k
jy
l
k 1
=  
l
k 1
) ,
1
2
p
detR
e
 
1
2
k
 
l
k
 D
e
 
l
k 1
k
2
R
 1
:
(4)
Pour toutes les L pistes, la probabilité de transition de
l'état y
l
k
sera identique 8l = 1; :::; L:
2.3 Vraisemblance de l'observation
La vraisemblance de l'observation z
k
conditionnée à l'é-
tat y
l
k
et notée Pr(z
k
jy
l
k
=  
l
k
); est l'un des trois a priori
dénissant la chaîne de Markov cachée associée à la piste
l. Contrairement aux approches établissant l'expression de
cette vraisemblance après une phase de détection sur le lo-
fargramme (cf PDA [3]), nous utilisons directement l'in-
formation brute de chaque périodogramme calculé pour
instant k.
Nous supposerons pour la suite, que la probabilité d'avoir
l'état y
l
k
égal à la réalisation  
l
k
en ayant observé z
k
; est
proportionnelle à :
Pr(z
k
jy
l
k
=  
l
k
) _
1
I
P
k
(
l
k
)
M 1
P
j=0
P
k
(j)
; 8 _
l
k
=  (
I   1
2
); :::; (
I   1
2
);
(5)
homogène à une probabilité.
Dans un premier temps, nous présenterons l'algorithme
Forward-Backward associée à la partie estimation des pistes
fréquentielles, puis nous l'utiliserons de nouveau pour cette
fois la partie détection.
3 Forward-Backward pour la par-
tie estimation des pistes
Le Forward-Backward calcule la probabilité a posteriori

e;l
k
( 
l
k
) = Pr(y
l
k
=  
l
k
jZ
K
) d'avoir y
l
k
égal à la réalisation
 
l
k
connaissant l'ensemble des mesures Z
K
[5].
La nouvelle approche consiste à estimer les états y
l
k
sachant
qu'ils sont mutuellement tous diérents les uns des autres.
Pour cela, on introduit l'événement 
l
k
déni par 
l
k
,
"8j = 1; ::::; L; avec l 6= j; #(y
l
k
=  
l
k
)\ #(y
j
k
=  
j
k
) = ";
c'est-à-dire que la réalisation de y
l
k
ne doit pas être dans
le même voisinage # que celui des autres états. Une nou-
velle probabilité Forward-Backward Pr(y
l
k
=  
l
k
jZ
K
;
l
k
)
est alors calculée et notée 
e;l
k
( 
l
k
). On montre que 
e;l
k
( 
l
k
)
est égal à :

e;l
k
( 
l
k
) =

;l
k
( 
l
k
)
;l
k
( 
l
k
)
P
 
l
k
h

;l
k
( 
l
k
)
;l
k
( 
l
k
)
i
; (6)
avec les nouvelles expressions itératives des lois Forward

;l
k
( 
l
k
) et Backward 
;l
k
( 
l
k
) modiées :

;l
k
( 
l
k
) =
q
;l
k
( 
l
k
)
e;l
k
( 
l
k
)
P
 
l
k
q
;l
k
( 
l
k
)
e;l
k
( 
l
k
)
; (7)
avec :

e;l
k
( 
l
k
)
=
Pr(z
k
jy
l
k
= 
l
k
)
P
 
l
k 1

;l
k 1
( 
l
k
) Pr(y
l
k
= 
l
k
jy
l
k 1
= 
l
k 1
)
P
 
l
k
2
6
4
Pr(z
k
jy
l
k
= 
l
k
)
P
 
l
k 1

;l
k 1
( 
l
k
) 
l
k 1
) Pr(y
l
k
= 
l
k
jy
l
k 1
= 
l
k 1
)
3
7
5
;
(8)
pour k = 2; :::;K, et 
e;l
1
( 
l
1
) = 
;l
1
probabilité initiale
Forward, et
q
;l
k
( 
l
k
) =
L
Y
j=1
j 6=l
2
4
1 
 
j
k
+v

X
i= 
j
k
 v


e;j
k
(i)
3
5
:
Et

;l
k
( 
l
k
) =
q
;l
k
( 
l
k
)
e;l
k
( 
l
k
)
P
 
l
k
q
;l
k
( 
l
k
)
e;l
k
( 
l
k
)
; (9)
avec

e;l
k
( 
l
k
)
=
P
 
l
k+1
Pr(z
k+1
jy
l
k+1
= 
l
k+1
) Pr(y
l
k+1
= 
l
k+1
jy
l
k
= 
l
k
)
;l
k+1
( 
l
k+1
)
P
 
l
k
2
6
4
P
 
l
k+1
Pr(z
k+1
jy
l
k+1
= 
l
k+1
) Pr(y
l
k+1
= 
l
k+1
jy
l
k
= 
l
k
)
;l
k+1
( 
l
k+1
)
3
7
5
;
(10)
pour k = K 1; :::; 1, et 
e;l
K
( 
l
K
) = 
;l
K
probabilité initiale
Backward, et
q
;l
k
( 
l
k
) =
L
Y
j=1
j 6=l
2
4
1 
 
j
k
+v

X
i= 
j
k
 v


e;j
k
(i)
3
5
:
v

et v

représentent deux voisinages autour de la réali-
sation de l'état.
On supposera que 
e;l
k 1
( 
l
k 1
) = 
;l
k 1
( 
l
k 1
) et que 
e;l
k+1
( 
l
k+1
) =

;l
k+1
( 
l
k+1
), c'est-à-dire que les états y
l
k
sont déjà au préal-
ablement séparés à l'itération précédente. Cette hypothèse
impose que les probabilités d'initialisation 
;l
1
et 
;l
K
doivent
être dénies diéremment pour chacune des pistes. Un ex-
emple d'initialisation est :

;l
,

L
MI
; si 
l
1
= [
(l 1)
M
;
l
M
] et _
l
1
=  (
I 1
2
); :::; (
I 1
2
)
0 ailleurs


;l
,

L
MI
; si 
l
K
= [
(l 1)
M
;
l
M
] et _
l
K
=  (
I 1
2
); :::; (
I 1
2
)
0 ailleurs

:
(11)
Les deux probabilités q
;l
k
( 
l
k
) et q
;l
k
( 
l
k
) sont égales re-
spectivement à Pr(
l
k
jy
l
k
=  
l
k
; Z
k
) et Pr(
l
k
jz
k+1
; ::; z
K
; y
l
k
=
 
l
k
). La probabilité q
;l
k
( 
l
k
) pour que l'état y
l
k
ne soit pas
dans le même voisinage des autres y
i
k
; i = 1; :::; L, connais-
sant également l'ensemble des mesures Z
k
; est calculée à
partir des probabilités 
e;i
k
; i = 1; :::; L, les seules informa-
tions a posteriori disponibles.
De même pour la probabilité q
;l
k
( 
l
k
) est dénie à partir
des probabilités 
e;j
k
.
L'estimé by
l
kjK
est donné par le MMSE (Minimum Mean
Square Estimator) de 
e;l
k
( 
l
k
), c'est-à-dire by
l
kjK
, E[y
l
k
jZ
K
]:
La séquence estimée correspondant à la piste est dénie
par
b
Y
l
kjK
, (by
l
1jK
; ::::; by
l
kjK
).
Les résultats peuvent être comparés avec ceux de Bethel
[2] mais ici, dans une approche Forward-Backward.
3.1 Réassociation des probabilités Forward
et Backward en multipistes
En présence de plusieurs pistes fréquentielles, il est néces-
saire de réassocier les probabilités Forward et Backward
appartenant à la même source (surtout lors de croisement
de pistes). Pour l = 1; :::; L, on cherche br = 1; :::; L tel
que :
br = argmax
r
8
<
:
X
 
l
1
:::::
X
 
l
K
 
K
Y
i=1

;l
i
( 
l
i
)
;r
i
( 
l
i
)
!
9
=
;
;
(12)
avec r = 1; :::; L.
La probabilité Forward-Backward 
e;l
k
( 
l
k
) associée à la
piste l sera a posteriori dénie par :

e;l
k
( 
l
k
) =

;l
k
( 
l
k
)
;br
k
( 
l
k
)
P
 
l
k

;l
k
( 
l
k
)
;br
k
( 
l
k
)
: (13)
4 Forward-Backward pour la par-
tie détection
Il est utile d'associer à la partie estimation pour cha-
cune des raies fréquentielles, un détecteur dont le rôle
est de valider individuellement chacun des états by
l
k
es-
timés. L'idée est d'introduire un nouvel état h
l
k
(v.a de
réalisation 
l
k
= f0; 1g) qui serait observé via la nouvelle
mesure fournie par la partie estimation, i.e. by
l
k
. On con-
sidère cette nouvelle séquence d'états H
l
K
=

h
l
k
	
k=1;:::;K
suivant également une marche aléatoire, et modélisée par
une nouvelle HMM.
4.1 Equation dynamique pour la détec-
tion
Contrairement à la partie estimation, nous modélisons
les variations temporelles de l'état h
l
k
à l'aide d'une simple
équation dynamique d'ordre 0, c'est-à-dire :
h
l
k
= D
d
h
l
k 1
+ 
d
k
; (14)
avec D
d
= 1 et 
d
k
bruit d'état iid.
La probabilité de transition du nouvel état entre 2 instants
successifs, Pr(h
l
k
= 
l
k
jh
l
k 1
= 
l
k 1
) est dénie par la
matrice A
d
(identique pour toutes les L pistes); d'éléments
fa
i;j
g
i;j=0;1
telle que :
A
d
,

1  w w
w 1  w

; (15)
avec w proportionnel à la variance du bruit d'état 
d
k
.
4.2 Vraisemblance de la nouvelle mesure
La vraisemblance de la mesure by
l
k
conditionnée à l'état
h
l
k
= 1 est égale à :
Pr(by
l
k
jh
l
k
= 1) (16)
=
X
 
l
k
q
;l
k
( 
l
k
)
e;l
k
( 
l
k
)
X
 
l
k
q
;l
k
( 
l
k
)
e;l
k
( 
l
k
);
c'est-à-dire à la somme des probabilités a posteriori Pr(y
l
k
=
 
l
k
; Z
k
) pour que l'état y
l
k
soit égale à l'une des réalisations
possibles  
l
k
et conjointement à la somme des probabil-
ités a posteriori Pr(z
k+1
; :::; z
K
jy
l
k
=  
l
k
) pour que y
l
k
soit
aussi égal à la même réalisation  
l
k
.
La vraisemblance Pr(by
l
k
jh
l
k
= 0) est proportionnelle à
1
(MI)
2
, c'est-à-dire quand y
l
k
est absent, l'estimée by
l
k
prend
uniformément une des valeurs possibles.
4.3 Forward-Backward associé à la partie
détecteur
Bien que les hypothèses standard de mise en ÷uvre
de l'algorithme Forward-Backward ne soient pas vériées
(les nouvelles mesures by
l
k
ne sont pas indépendantes entre
elles), nous l'utiliserons également pour la partie détec-
tion.
La nouvelle probabilité Forward-Backward 
d;l
k
(
l
k
) = Pr(h
l
k
=

l
k
j
b
Y
l
K
) associée à l'état h
l
k
est :

d;l
k
(
l
k
) ,

d;l
k
(
l
k
)
d;l
k
(
l
k
)
P

l
k

d;l
k
(
l
k
)
d;l
k
(
l
k
)
; (17)
avec

d;l
k
(
l
k
) ,
Pr(by
l
k
jh
l
k
=
l
k
)
P

l
k 1

d;l
k 1
(
l
k 1
) Pr(h
l
k
=
l
k
jh
l
k 1
=
l
k 1
)
P

l
k
2
6
4
Pr(by
l
k
jh
l
k
=
l
k
)
P

l
k 1

d;l
k 1
(
l
k 1
) Pr(h
l
k
=
l
k
jh
l
k 1
=
l
k 1
)
3
7
5

d;l
k
(
l
k
) ,
P

l
k+1
Pr(by
l
k
jh
l
k
=
l
k
) Pr(h
l
k
=
l
k
jh
l
k 1
=
l
k 1
)
d;l
k+1
(
l
k 1
)
P

l
k
2
6
4
P

l
k+1
Pr(by
l
k
jh
l
k
=
l
k
) Pr(h
l
k
=
l
k
jh
l
k 1
=
l
k 1
)
d;l
k+1
(
l
k 1
)
3
7
5
:
(18)
L'estimée de
b
h
l
kjK
est dénie par :
(
b
h
l
kjK
= 1 si Pr(h
l
k
= 1j
b
Y
l
K
) > t
b
h
l
kjK
= 0 sinon.
)
; (19)
avec t probabilité de conance (par exemple t = 0:99). La
nouvelle séquence liée à la détection
b
H
l
KjK
, (
b
h
l
1jK
; ::::;
b
h
l
KjK
)
valide la séquence estimée
b
Y
l
KjK
de la partie estimation.
Pour cela, on forme une nouvelle séquence
b
G
l
KjK
,
b
Y
l
KjK
b
H
l
KjK
; (20)
correspondant à la piste l validée après détection. La séquence
b
G
l
KjK
est le résultat nal des extracteurs de pistes.
5 Application pratique
Un exemple d'extraction de deux pistes qui se croisent
au centre du lofargramme est présenté. On choisit comme
paramètre de l'application M = 256, K = 200, L = 3,
w = 10e  5, I = 5, v

= v

= [3; 12] ou 3 est la taille du
voisinage en nombre de pente et 12 en nombre de canaux
de fréquentiels. Le rapport signal à bruit de deux pistes est
de 9dB après gain FFT. 
2

1
= 1:3 et 
2

2
= 1. La gure
3 montre le résultat de l'extraction. Les probabilités de
présence 
d;l
k
(1) associées à chacune des pistes (cf gure
4) montrent que seules les pistes 1 et 3 ont été retenues
(probabilité supérieure à t = 0:99). On a bien retrouvé les
deux pistes réellement présentes dans la gure 1.
6 Conclusions
Nous proposons une nouvelle approche dans l'extraction
multipistes fréquentielles. Une extension de l'algorithme
Forward-Backward est utilisée dans la partie estimation.
La partie détection est également mis en ÷uvre avec un al-
gorithme Forward-Backward, permettant de valider a pos-
teriori les morceaux de pistes potentiellement présents.
Une extension à ce travail est d'utiliser l'algorithme EM
pour la réestimation de la HMM liée à la partie détection.
Références
[1] R. Barrett and D. Holdsworth. Frequency tracking
using hidden markov models with amplitude and phase
information. IEEE Transactions on signal processing,
vol 41, no. 10, pages 29652976, October 1993.
[2] R. Bethel and G. Paras. A pdf multitarget tracker.
IEEE Transactions on aerospace and electronic sys-
tems, vol. 30, no. 2, pages 386403, April 1994.
[3] C. Jauret and D. Bouchet. Frequency line tracking
on a lofargram. Asilomar, 1996.
[4] S. Paris and C. Jauret. Frequency line tracker in
passive sonar system. GDR-PRC ISIS, 10 november
1998.
[5] L. Rabiner and B. Juang. An introduction to hidden
markov models. IEEE ASSP Magazine, vol. 3, pages
416, January 1986.
[6] D. Rife and R. Boorstyn. Single-tone parameter esti-
mation from discrete-time observation. IEEE Trans-
actions on information theory, vol. IT-20, pages 591
598, September 1974.
[7] R. Streit and R. Barrett. Frequency line tracking using
hidden markov models. IEEE Transactions on acous-
tics, speech, and signal processing, vol.38, no. 4, pages
586598, April 1990.
Fréquences
Pr
ob
ab
ilit
é d
e p
ré
se
nc
e
Lofargramme non bruité
50 100 150 200 250
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Fig. 1: Lofargramme avec deux pistes fréquentielles qui se
croisent
Fréquences
Te
m
ps
Lofargramme
50 100 150 200 250
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Fig. 2: Lofargramme en entrée de l'extracteur
Fréquences
Te
m
ps
Pistes extraites
50 100 150 200 250
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Fig. 3: Pistes extraites
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
0.5
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
2
4
x 10−5
Pr
ob
ab
ilit
é d
e p
ré
se
nc
e
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
0.5
1
Temps
Fig. 4: Probabilité de présence des trois pistes


Extraction et détection automatique de pistes fréquentielles en sonar passif

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