Nous proposons dans cette communication un modèle de texture invariant par rotation dont les paramètres permettent de donner une indication à la fois sur le type de la texture à analyser et sur son motif de base. L'originalité du modèle proposé réside dans l'utilisation de la décomposition de Wold pour modéliser la fonction d'autocovariance normalisée 1D. Cette fonction est obtenue à partir de la fonction d'autocovariance normalisée 2D d'une texture. Enfin, les paramètres du modèle sont estimés par moindres carrés en utilisant un algorithme génétique. Le modèle de texture proposé a été appliqué dans une phase de segmentation et de classification de textures

CHEHDI, Kacem

ROSENBERGER, Christophe

I-Revues

Analyse et Segmentation de textures a partir d'attributs
invariants par rotation
Kacem Chehdi, Christophe Rosenberger
ENSSAT - LASTI
6 rue de Kerampont, B.P. 447, 22305 LANNION Cedex - France
Kacem.Chehdi@enssat.fr, Christophe.Rosenberger@enssat.fr
Resume { Nous proposons dans cette communication un modele de texture invariant par rotation dont les parametres per-
mettent de donner une indication a la fois sur le type de la texture a analyser et sur son motif de base. L'originalite du modele
propose reside dans l'utilisation de la decomposition de Wold pour modeliser la fonction d'autocovariance normalisee 1D. Cette
fonction est obtenue a partir de la fonction d'autocovariance normalisee 2D d'une texture. Enn, les parametres du modele sont
estimes par moindres carres en utilisant un algorithme genetique. Le modele de texture propose a ete applique dans une phase
de segmentation et de classication de textures.
Abstract { We propose in this communication a texture model which is invariant by rotation and whose parameters allow to
characterize at the same time the type of texture and its tonal primitive. The originality of the model proposed lies in the use
of the Wold decomposition to modelize the 1D normalized autocovariance. This function is computed from the 2D normalized
autocovariance of a texture. Finally, parameters of the model are estimated by using a genetic algorithm. The proposed model
is then applied in a texture segmentation and classication phase.
1 Introduction
Le traitement d'images naturelles met en evidence la ne-
cessite de construire des modeles ables d'analyse d'images
pour l'interpretation des regions texturees. L'analyse de
textures est un probleme important en traitement d'ima-
ges car elle conditionne la qualite de la segmentation et
de l'interpretation. Il existe deux principales techniques
d'analyse de textures. La premiere consiste a analyser une
texture a partir d'attributs tels que ceux issus de la ma-
trice de cooccurrence ou de longueur de plages [4]. La ca-
racterisation de textures a partir de ces attributs ne donne
pas toujours une description complete de la texture. La
seconde approche tente de modeliser la texture comme
la realisation d'un champ aleatoire 2D [3],[2]. Des hypo-
theses d'utilisation des modeles de cette derniere approche
limitent leurs applications a certains types de textures.
Pour pallier ces inconvenients, nous proposons dans cet
article un modele de texture invariant par rotation dont
les parametres permettent de donner une indication a la
fois sur le type de la texture a analyser (texture deter-
ministe ou aleatoire) et sur son motif de base (microsco-
pique ou macroscopique). Les parametres du modele com-
bines avec ceux de la matrice de cooccurrence permettent
d'analyser et de repertorier les dierentes textures en pre-
nant en compte la correlation des niveaux de gris et leurs
distributions. L'originalite du modele propose reside dans
l'utilisation de la decomposition de Wold pour modeliser
la fonction d'autocovariance normalisee 1D. Cette fonc-
tion est obtenue a partir de la fonction d'autocovariance
normalisee 2D d'une texture. Enn, l'estimation des para-
metres du modele est realisee par un algorithme genetique.
Pour mesurer la pertinence de l'ensemble des parametres
retenu, nous avons classe dierentes textures de l'album
de Brodatz [1] par ordre de similarite. Nous avons ensuite
utilise ces attributs pour segmenter des images texturees.
2 Methode developpee
Nous modelisons tout d'abord la fonction d'autocova-
riance normalisee 1D obtenue a partir de la decomposition
de Wold. Nous exploitons par la suite les parametres du
modele deni, dans une phase de classication de textures.
2.1 Modelisation de la fonction d'autoco-
variance normalisee 1D d'une texture
La fonction d'autocovariance normalisee 1D d'une tex-
ture F est calculee a partir de celle en 2D :
F (r) =
1
r
X
(i;j)2
^
C
r
~
FAC(i; j) 8r > 0 (1)
ou
^
C
r
= f(i; j)=i  0;
p
i
2
+ j
2
= rg est l'ensemble des
points sur le demi-cercle de rayon r (cf. FIG. 1) et
~
FAC
est denie de la facon suivante :
~
FAC(i; j) =
8
>
<
>
:
FAC(i; j) si m =
p
i
2
+ j
2
2 N
P
4
k=1
d
k
:FAC(s
(k)
x
;s
(k)
y
)
d
1
+d
2
+d
3
+d
4
sinon
(2)
ou FAC est la fonction d'autocovariance normalisee 2D.
Le second terme de cette expression correspond a l'in-
terpolation de la fonction d'autocovariance au point m
sur le demi cercle
^
C
r
. Le terme d
k
correspond a la dis-
tance euclidienne d(s
(k)
;m) entre le point m et le point
s
(k)
= (s
(k)
x
; s
(k)
y
).
(0,0)
m
~
C
r
s
(2)
s
(1)
s
(4)
s
(3)
Fig. 1: Interpolation d'un point sur le demi-cercle
^
C
r
La fonction F s'apparente a la fonction d'autocorrela-
tion d'un signal 1D. Il est facile de montrer qu'elle est in-
variante par translation. L'etude de la fonction F permet
en outre une analyse invariante par rotation de la texture
consideree. Cette fonction est modelisee comme suit [7]:
~
F (r) = e
 r
+ :e
 r
cos(2fr + ) +  + (r) (3)
Le terme (r) correspond a l'erreur de modelisation de
la fonction d'autocovariance normalisee. Dans le cas d'un
champ aleatoire, le second terme de cette expression doit
e^tre negligeable. Dans le cas harmonique, le coecient 
doit e^tre proche de 0. Enn, le cas evanescent est caracte-
rise par une valeur moyenne de  > 0. La taille du motif
d'une texture peut e^tre estimee a partir des parametres
du modele. Dans le cas deterministe, la taille du motif est
approchee par la periode 1=f . Dans le cas hybride ou alea-
toire, la dimension moyenne M du motif est approximee
en considerant la distance pour laquelle F (M ) devient ne-
gligeable. La gure FIG. 3 montre l'invariance du modele
pour les deux textures de la gure FIG. 2 suivant 4 orien-
tations.
Les parametres du modele sont obtenus par moindres
carres, c'est a dire en minimisant la fonctionnelle suivante :
R
q
X
i=1
(F (r
i
)  
~
F (r
i
))
2
(4)
ou R
q
est le rayon maximal considere et
~
F le modele de
la fonction F .
An de determiner les parametres minimisant cette fonc-
tionnelle, nous avons utilise un algorithme genetique [6].
Cette approche est particulierement adaptee a notre pro-
bleme puisque la fonction a minimiser est non convexe (a
cause de la presence du cosinus dans le modele). D'autres
(a) bois (b) bois
45

(c) bois
90

(d) bois
135

(e) sinus (f) sinus
45

(g) sinus
90

(h) sinus
135

Fig. 2: 2 textures pour 4 orientations
(a) bois
(b) sinus
Fig. 3: Resultats de modelisation des textures de la gure
FIG. 2
approches telles que le gradient conjugue ou le recuit si-
mule ne donneraient que des extrema locaux dans la plu-
part des cas [5].
2.2 Classication et segmentation de tex-
tures
Les parametres du modele denis en 2.1 permettent une
meilleure description des textures en integrant des infor-
mations sur la granularite et sur le caractere aleatoire ou
deterministe d'une texture. Par contre, ils ne tiennent pas
compte de la distribution des niveaux de gris. Pour pallier
cet inconvenient, nous avons introduit des parametres de
la matrice de cooccurrence suivant les 4 orientations. An
de mieux apprecier l'apport de l'ensemble des parametres
retenu, nous avons classe les 50 textures d'une mosaque
(cf. FIG. 4(a)) par ordre de similarite. Les resultats ex-
perimentaux montrent l'ecacite de l'analyse de textures
par l'ensemble des parametres retenu.
Nous avons aussi utilise l'ensemble de ces attributs en
segmentation d'images texturees. L'aectation d'un pixel
a une classe a ete realisee en utilisant l'algorithme clas-
sique "K-means". Les parametres de la matrice de cooc-
currence ont ete utilises dans la phase de segmentation ou
5 regions ont ete determinees comme le montre la gure
FIG. 5(b). Pour regrouper les textures independamment
de leur orientation, nous avons calcule les parametres du
modele propose sur chacune des regions de l'image seg-
mentee. Le resultat de classication de la gure FIG. 5(c)
montre la bonne determination du nombre de classes par
les parametres du modele en tenant compte de l'invariance
par rotation. Le calcul des attributs sur une fene^tre de
taille 16 16 explique la non detection parfaite des fron-
tieres de regions de l'image. Une analyse plus ne autour
de ces frontieres permet de regler ce probleme.
3 Conclusion
Nous avons propose une methode d'analyse de textures
invariante par rotation permettant de mieux caracteri-
ser le type de texture (deterministe, aleatoire, ne, gros-
siere,..). Cette approche s'appuie d'une part, sur la mo-
delisation de la fonction d'autocovariance normalisee 1D
d'une texture et, d'autre part, sur les attributs de la ma-
trice de cooccurrence.
Les resultats experimentaux de segmentation et de clas-
sication montrent l'apport de l'utilisation des parametres
rentenus.
Cette etude a ete menee gra^ce au soutien nancier du
Conseil Regional de Bretagne.
References
[1] P. Brodatz. Textures : A Photographic Album for Ar-
tists and Designers. Dover, New-York, 1956.
(a) mosaque de textures
(b) classement par tous les para-
metres
Fig. 4: Resultats de classement des textures de la mo-
saque en combinant les dierents attributs
[2] J. Chen and A. Kundu. Rotation and gray scale trans-
form invariant texture recognition using hidden mar-
kov model. In International Conference on Acoustics,
Speech and Signal Processing, volume 3, pages 69{72,
SAN FRANCISCO, March 1992.
[3] J.M. Francos, A.Z. Meiri, and B. Porat. A uni-
ed texture model based on a 2-d wold-like decom-
position. IEEE Transactions on Signal Processing,
41:2665{2678, August 1993.
[4] R.M. Haralick. Statistical and structural approaches
to texture. In proceedings of the IEEE, volume 69,
pages 786{804, May 1979.
[5] C. R. Houck, J. A. Joines, and M. G. Kay. A compari-
son of genetic algorithms, random restart and two-opt
switching for solving large location-allocation problem.
Computers, operations research forthcoming in special
issue on evolution computation, 1995.
[6] C. R. Houck, J. A. Joines, and M. G. Kay. A genetic
algorithm for function optimization: a matlab imple-
mentation. Technical Report 95-09, NCSU-IE, 1995.
[7] C. Rosenberger, K. Chehdi, C. Cariou, and J. M.
Ogier. Texture analysis of an image by using a rota-
tion invariant model. In International Conference on
Acoustics, Speech and Signal Processing, PHOENIX,
1999.
(a) image originale
(b) image segmentee (attributs de la co-
occurrence)
(c) Regroupement des regions de l'image
segmentee par les parametres du modele
Fig. 5: Exemple de resultat de segmentation et de classi-
cation d'une image texturee par le modele propose


Analyse et Segmentation de textures à partir d'attributs invariants par rotation

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