On présente dans cet article deux contours actifs dits paramétriques qui nous servent pour asservir par système de vision, une machine de déroulement d'une bobine de film plastique. On montre leur aptitude à déterminer le rayon de la bobine et à suivre très précisément une boucle de très faible épaisseur qui présente des occlusions partielles. On propose ensuite une nouvelle approche qui consiste à minimiser sous contraintes une fonctionnelle d'adéquation aux données image. On montre que l'évolution du contour dans la séquence peut se faire en introduisant des contraintes structurelles et géométriques simples

LATTUATI, V.

ZUGAJ, D.

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 407
Contours Actifs : Suivi de Structures Linéiques Déformables.
Extension à la Résolution de Problèmes d’Optimisation sous
Contraintes
D. Zugaj et V. Lattuati
Laboratoire d’Automatique des Arts et Métiers
21 rue Pinel 75013 PARIS
tél: 01.42.16.85.31 fax: 01.45.86.21.18 e_mail: didier.zugaj@paris.ensam.fr
RÉSUMÉ
On présente dans cet article deux contours actifs dits paramétriques
qui nous servent pour asservir par système de vision, une machine de
déroulement d’une bobine de film plastique. On montre leur aptitude
à déterminer le rayon de la bobine et à suivre très précisément une
boucle de très faible épaisseur qui présente des occlusions partielles.
On propose ensuite une nouvelle approche qui consiste à minimiser
sous contraintes une fonctionnelle d’adéquation aux données image.
On montre que l’évolution du contour dans la séquence peut se faire
en introduisant des contraintes structurelles et géométriques simples.
ABSTRACT
We consider here dynamic scene analysis on original application
developed at the L.A.A.M. We present an open curve segmentation
based on snake models in order to track a thin and highly deformable
curve, corresponding to the film shape of an high speed uncoiling
process. We show the ability of parametric models to provide a robust
and accurate localisation. We propose next a new method based on
constrained minimization technics to improve the tracking in terms
of edge stability and initial step relaxation.
1 Introduction
L’application considérée dans cet article porte sur l’asser-
vissement par système de vision d’une machine de déroule-
ment d’une bobine de film plastique. L’originalité de cette ma-
chine réside dans le déroulement. Celui-ci réalisé par le centre
réduit considérablement les risques de ruptures du film. En re-
vanche, ce mode de déroulement impose un asservissement
de la vitesse de rotation du plateau dérouleur pour éviter que
le film ne se vrille sur lui-même. Le système de vision doit
alors fournir en temps réel (typiquement toutes les 0.1 à 0.2
seconde) des attributs pertinents sur la forme du film sur le
plateau dérouleur. Le processus à asservir est instationnaire,
un gain adaptatif de contre réaction est nécéssaire et se calcule
en fonction du rayon de la bobine.
Nous proposons d’utiliser les contours actifs pour suivre
dans la séquence la forme de la boucle et déterminer le rayon
de la bobine sur le plateau dérouleur.
Le modèle des contours actifs permet une détection globale
des contours au travers d’un formalisme qui inclut à la fois
les caractéristiques d’adéquations avec les primitives images
à extraire et une structure interne qui restreint l’espace de
recherche des solutions [1][2][5].
Classiquement le contour va évoluer dans un milieu am-
biant (par exemple dans un fluide visqueux), et se déformer
sous l’effet de forces extérieures (dérivant d’un potentiel)
et de contraintes internes, jusqu’à se trouver dans une
position d’équilibre stable qui est un minimum local d’une
fonctionnelle  qui permet de segmenter l’objet dans l’image.
2 Contours actifs paramétriques
Hypothèses : On suppose que la minimisation de l’éner-
gie interne (liée à la régularité de la solution) est implicite au
modèle paramétrique choisi. La courbe active ne possède pas
d’inertie ( D 0/;et est soumise à des forces de frottement
visqueux, noté ; qui est constant en tout point de la courbe.
Notations : On décompose le contour défini par une courbe
paramétrique C.s; t/ D .x.s; t/; y.s; t//T dans le repère
des coordonnées image .x; y/ sous forme d’une combinaison
linéaire de fonctions de base g j.s/ :
.x.s; t/; y.s; t//T D
 
jDpX
jD0
bxj .t/ g
x
j .s/;
jDpX
jD0
byj .t/ g
y
j .s/
!T
(1)
(bx0.t/; ::; b
x
p.t/; b
y
0 .t/; ::; b
y
p.t// sont les paramètres linéaires
de la courbe. On les suppose indépendants. Le paramètre de
parcours spatial de la courbe est noté s 2 s1; s2 et t le temps.
La fonctionnelle 9 à minimiser ne dépend que du potentiel
image, on la note :
9.s; t; bx0.t/; ::; b
x
p.t/; b
y
0 .t/; ::b
y
p.t// D Eimage [C.s; t/]
(2)
En utilisant le principe de moindre action associé au calcul
variationnel on obtient l’équation dynamique des contours
408
actifs paramétriques [2] :8>>>>>>><>>>>>>>:
 cx0
dbx0 .t/
dt D
R s2
s1
@9
@x
@x
@bx0
ds
:::
 cyp
dbyp.t/
dt D
R s2
s1
@9
@y
@y
@byp
ds
cxi D
R s2
s1
gxi .s/
2ds
cyi D
R s2
s1
gyi .s/
2ds
(3)
3 Application
– Contour actif paramétrique à base d’ellipse :
L’équation paramétrique d’une ellipse en supposant qu’un
de ces axes est colinéaire à l’axe horizontal s’écrit :
C.s; t/ D
 
x.s; t/
y.s; t/
!
D
 
bx0.t/C bx1.t/ cos.s/
by0.t/C by1.t/ sin.s/
!
(4)
avec (bx0.t/; b
y
0 .t// le centre de l’ellipse et b
x
1.t/,b
y
1.t/ les
demi-longueurs des axes principaux. Ici s varie de 0 à 2 .
L’équation (4) est linéaire en ses paramètres, on peut alors sub-
stituer directement dans (3) le calcul des termes @x
@bxj
; @x
@byj
; j 2
f0; 1g ; afin d’obtenir les équations dynamiques de la courbe.
On choisit comme potentiel image le gradient de la fonction
intensité :
Eimage [C.s; t/] D jr I .x.s; t/; y.s; t//j (5)
On obtient :

dbx0 .t/
dt D 12
Z 2
0
@ jr I .x.s;t/;y.s;t//j
@x ds

dby0 .t/
dt D 12
Z 2
0
@ jr I .x.s;t/;y.s;t//j
@y ds

dbx1 .t/
dt D 1
Z 2
0
cos.s/ @ jr I .x.s;t/;y.s;t//j
@x ds

dby1 .t/
dt D 1
Z 2
0
sin.s/ @ jr I .x.s;t/;y.s;t//j
@y ds (6)
On prend un échantillonnage spatial ds adapté pour que
l’approximation des intégrales par des sommes discrètes soit
suffisamment précise (ds D 0:1).
 Avancée du contour actif :
Dans le modèle paramétrique ellipse, le coefficient de frotte-
ment visqueux  règle l’avancée du contour actif. Plus  est
petit, plus le terme dû à la somme des forces externes devient
important dans la mise à jour des paramètres du contour (pon-
dération en 1

dans l’équation (3). On a observé ce phénomène
qui peut conduire à un comportement très oscillant, voir di-
vergent sur des images réelles.
– Contour actif paramétrique à base de courbes de
Bézier :
Nous avons utilisé les courbes de Bézier comme modèle
de courbes paramètriques pour caractériser et suivre la boucle
du film sur le plateau dérouleur. Ces courbes sous forme com-
posite bien que moins compacte que la forme B-spline, ont
des propriétés intéressantes comme par exemple l’extrapola-
tion des extrémités, les relations géométriques simples tradui-
sant des contraintes de continuité C1;C2; la subdivision (pour
plus de détails, voir [4][8]).
Le contour à base de courbe de Bézier est défini par :
C.s; t/ D
 
x.s; t/
y.s; t/
!
D
0BB@
nP
jD0
bxj .t/B
n
j .s/
nP
jD0
byj .t/B
n
j .s/
1CCA (7)
où n correspond au degré de la courbe, b j .t/ D .bxj .t/; byj .t//T
le j Jeme point de contrôle de la courbe et Bnj .s/

06 j6n et 06s61
la base fonctionnelle des polynômes de Bernstein sur laquelle
on décompose C.s; t/. On choisit comme potentiel image la
fonction intensité car la boucle constitue un contour par sa
nature linéique :
Eimage [C.s; t/] D jI .x.s; t/; y.s; t//j (8)
L’évolution des paramètres b j .t/ du contour actif s’obtient en
substituant (7) dans le système d’équations (3). Donnons le
résultat pour la composante bxj .t/, la démarche étant analogue
pour byj .t/ :8>>>>><>>>>>:
 c j
dbxj .t/
dt D
R 1
0
@ jI .x.s;t/;y.s;t//j
@x
@ x.s;t/
@ bxj
ds
où : @ x.s;t/
@ bxj
D @
@ bxj
 
nP
jD0
bxj .t/B
n
j .s/
!
D Bnj .s/
et : c j D
R 1
0 B
n
j .s/B
n
j .s/ds D 1.2nC1/
.nj /
2
.2n2 j /
(9)
Nous avons appliqué ce type de contour actif pour suivre
la boucle du film sur le plateau dérouleur. La figure -Fig.1-
illustre cette application. On a pris comme modèle une courbe
de Bézier de degré 3, définie par 4 points de contrôles.
On observe une très satisfaisante adéquation entre la forme
de la boucle et le modèle de courbe et un bon comportement
du modèle paramétrique lorsque la boucle présente des oc-
clusions partielles. Notons malgré tout d’une part que la re-
cherche des extrémités est nécessaire pour initialiser dans de
bonnes conditions le contour actif et d’autre part que le ré-
glage du coefficient  (constant sur toute la séquence) pour
assurer une évolution progressive et une bonne stabilisation
du contour se fait au détriment de la rapidité du traitement.
4 Extension
4.1 Principe
Nous proposons ici la recherche des paramètres optimaux
du contour, par une autre approche qui permet de s’affranchir
du réglage du coefficient  et partiellement de l’initialisation
du contour actif. La recherche du contour optimal consiste
à minimiser par des techniques d’optimisation non linéares,
avec ou sous contraintes, l’intégrale de la fonctionnelle (2) sur
un contour de type paramétrique, que l’on notera f p.t; /,
où  représente le vecteur des paramètres du contour. Le
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 409
problème d’optimisation à résoudre est le suivant :
Soit 8><>:
C.s; t/ D .x.s; t/; y.s; t//T
 D .bx0.t/; ::; bxp.t/; by0 .t/; ::; byp.t//T
f p.t; / D R 10 Eimage[C.s; t/] ds
(10)
on cherche opt tel que :
opt D arg min
bx0 .t/;::;b
x
p.t/;b
y
0 .t/;::;b
y
p.t/
f p.t; /  (11)
sous les contraintes gpi./ : gpi./ 6 0; i 2 f1; ::;mg
Nous avons développé un algorithme du type ’gradient pro-
jeté’ qui à l’avantage d’adapter les techniques d’optimisa-
tion sous contraintes aux problèmes avec contraintes. L’idée
consiste à se déplacer dans le sous-espace des contraintes ac-
tives en projetant l’évolution des paramètres (définis par / sur
la frontière du domaine admissible. L’optimisation est basée
sur une méthode quasi-newtonienne:
4.2 Application au contours de type ellipse
Dans le cas des contours paramétriques ellipses,  D
.bx0.t/; b
y
0 .t/; b
x
1 .t/; b
y
1.t//
T : Nous avons choisi d’introduire
la contrainte structurelle bx1.t/ D by1.t/ qui impose aux
axes principaux d’être de longueurs identiques, on recherche
alors le rayon intérieur correspondant au cercle formé par la
bobine sur le plateau de dérouleur. On observe -Fig.2- que
la contrainte bx1.t/ D by1.t/ (très rapidement respectée), se
stabilise pratiquement à la valeur moyenne des paramètres
bx1.t/; b
y
1 .t/ obtenus par le contour actif ellipse et que les
centres de l’ellipse sont pratiquement confondus. Au niveau
de la rapidité de convergence cette méthode est comparable au
contour actif ellipse, avec l’avantage de ne nécessiter aucun
réglage particulier.
4.3 Application au contours à base de courbes
de Bézier
Dans le cas des contours paramétriques à base de courbes
de Bézier de degré 3, le vecteur paramètres possède 8 élé-
ments  D .bx0.t/; by0 .t/; ::; bx3 .t/; by3.t//T : On contraint ici le
contour à conserver les propriétés suivantes :
 Les propriétés différentielles du contour entre deux
images successives sont pratiquement invariantes. Les ampli-
tudes Cmax.t C 1/;Cmin.t C 1/ des extrémums de la courbure
Cv.s; t C 1/ doivent rester dans un domaine admissible,
 L’ensemble des points Pi de la courbe C.s; t/ sont
inscrits à l’extérieur du disque 31 de frontière 0int et à
l’intérieur du disque 32de frontière 0ext : C’est une contrainte
matériellement respectée par la boucle du film.
On observe sur la figure -Fig.3- une très bonne corrélation
avec la boucle réelle. La structure que l’on impose au contour,
au niveau de l’invariance relative de sa courbure permet de
restreindre l’espace des solutions admissibles, on converge
rapidement, sans oscillations du contour, vers la boucle à
localiser.
5 Conclusion, perspectives
Nous avons caractérisé les propriétés de deux types de
contours actifs au travers d’une application développée au
L.A.A.M. On a montré en simulation sur une séquence
d’images acquise sur la machine en fonctionnement l’aptitude
de cette technique à déterminer le rayon de la bobine et à suivre
très précisément une boucle de très faible épaisseur qui pré-
sente des occlusions partielles.
Nous avons proposé ensuite une approche basée sur des mé-
thodes d’optimisation non linéaires qui consiste à minimiser
sous contraintes, une fonctionnelle d’adéquation aux données.
Nous avons développé un algorithme du type ’gradient pro-
jeté’ dont les résultats sont très encourageants : on converge
rapidement, sans oscillations du contour, vers la boucle à loca-
liser en imposant des contraintes structurelles (invariance des
extrémums de courbure) et des contraintes géométriques (évo-
lution du contour dans un domaine admissible).
Nous pensons que l’approche optimisation sous contraintes,
simple à utiliser, peut s’appliquer à d’autres problèmes de vi-
sion. Nous étudions actuellement une généralisation de cette
technique sur des modèles de courbes B-splines et Bézier com-
posites. Les méthodes présentées dans cet article sont en cours
de validation sur le processeur temps réel de la machine de
déroulement.
6 Bibliographie
[1] B. Bascle. Contribution et applications des modèles dé-
formables en vision par ordinateur. Thèse de Doctorat, Uni-
versité de Nice-Sophia Antipolis.1996.
[2] M.O. Berger. Les contours actifs : modélisation, com-
portement et convergence. Thèse de Doctorat, INPL INRIA
Lorraine, 1991.
[3] Laurent D. Cohen,Isaac Cohen. Finite-Element methods
for active contour models and ballons for 2-D and 3-D Images.
IEEE transactions on P.A.M.I. Vol 15 no11, November 1993.
[4] G. Farin. Courbes et surfaces pour la GPAO. Masson
1992.
[5] M. Kass, A., Witkin, D. Terzopoulos. Snakes : Active
contour models. International Journal of Computer Vision.
pp321-331. 1988.
[6] F. Leymarie, Martin D. Levine. Tracking deformable
objects in the plane using active contour model. IEEE tran-
sactions on P.A.M.I. Vol 15 no6, June 1993.
[7] C. Nastar, N. Ayache. Fast segmentation, tracking, and
analysis of deformable objects. Rapport de Recherche INRIA
no1783, Octobre 1992.
410
[8] D. Zugaj, V. Lattuati. Open curve segmentation. Appli-
cation of parametric models for tracking 2D deformable struc-
tures in images sequence. IEEE-IMACS Multi-conference. CE-
SA’96. Lille, France July 1996.
Liste des Figures
Fig.1 Suivi de la boucle dans une séquence d’images :
utilisation des contours actifs à base de courbes de Bézier de
degré 3.
Fig.2 Comparaison des performances des contours actifs
ellipses avec une méthode d’optimisation non linéaire sous
contraintes.
Fig.3 Performances de notre approche d’optimisation non
linéaire sous contraintes. On observe une bonne corrélation
avec la boucle réelle malgré l’occlusion partielle sur la partie
externe de la boucle. L’évolution de la courbure entre le
contour initial et le contour final reste dans le domaine de
validité, toutes les contraintes sont respectées, aucune n’est
positive après environ 10 itérations.


Contours actifs : Suivi de structures linéiques déformables. Extension à la résolution de problèmes d'optimisation sous contraintes

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues