- Nous nous intéressons dans cet article à l'algorithme Opposition dans les Lobes Secondaires (OLS) utilisé en traitement d'antenne RADAR dans un but d'antibrouillage en contexte de rotation d'antenne. Nous montrons que l'utilisation de la méthode Extended Sample Matrix Inversion (ESMI) [2] conduit alors à des performances supérieures à la méthode standard

ADNET, Claude

BARBARESCO, Frédéric

DELMAS, Jean Pierre

GERMOND, Cécile

OUDIN, Marc

I-Revues

Antibrouillage RADAR en contexte de rotation d’antenne
Marc OUDIN1, Jean Pierre DELMAS1, Claude ADNET2, C·ecile GERMOND2, Fr·ed·eric BARBARESCO2
1GET/INT, D·epartement CITI, UMR-CNRS 5157, 9 rue Charles Fourier, 91011 Evry Cedex, France
2Thales/TAD/JRS/RBPEF, 7/9 rue des Mathurins, 92221 Bagneux Cedex, France
marc.oudin(jean-pierre.delmas)@int-evry.fr,
claude.adnet(cecile.germond,frederic.barbaresco)@fr.thalesgroup.com
Re´sume´ – Nous nous inte´ressons dans cet article a` l’algorithme Opposition dans les Lobes Secondaires (OLS) utilise´ en traitement d’antenne
RADAR dans un but d’antibrouillage en contexte de rotation d’antenne. Nous montrons que l’utilisation de la me´thode Extended Sample Matrix
Inversion (ESMI) [2] conduit alors a` des performances supe´rieures a` la me´thode standard.
Abstract – In this paper, we focus on the Sidelobe Canceller (SLC) algorithm applied for RADAR with rotating antenna. We show that the
ESMI approach leads to better performance than the standard one.
1 Introduction
Le fonctionnement d’un grand nombre d’applications : t·el·ecom
- munications, RADAR, sonar, se trouve perturb·e par la pr·esence
d’interf·erences. 1 Des techniques de traitement d’antenne adap-
tatives consistant a utiliser un r·eseau de capteurs et a pond·erer
les signaux en sortie de ces derniers par des coefcients d·epen
- dant des donn·ees sont souvent utilis·ees. Elles permettent de
r·eduire l’inuence des nuisances sur le signal rec‚u.
Cependant pour un RADAR en mode veille scrutant l’es-
pace, ce probleme peut se trouver compliqu·e par une rotation
du r·eseau de capteurs qui rend l’environnement non station-
naire [1].
Dans [2], Hayward propose la m·ethode ESMI bas·ee sur un
d·eveloppement limit·e du ltre spatial optimal. Il s’agit d’une
extension de la m·ethode SMI pr·esent·ee dans [3]. Les perfor-
mances asymptotiques en terme de SINR sont ensuite ·etudi·ees
dans [4]. Dans cet article, nous appliquons cette m·ethode a
l’approche OLS (c.f. Section 3), en nous basant sur un modele
physique de rotation d’antenne. Par rapport au modele propos·e
dans [2], notre modele tient compte de la forme des gains d’an-
tenne. Nous ·etudions les performances de cette m·ethode en
terme de r·eduction de la puissance r·esiduelle de nuisance.
Dans la section 2 de cet article, nous proposons une mod·elisa
- tion math·ematique simpli·ee du probleme en se plac‚ant dans
le cas ou le r·eseau de capteurs est compos·e de deux voies. La
premiere voie a un diagramme de rayonnement directif alors
que l’autre a un diagramme large. Puis, dans la section 3, nous
·etudions le principe de l’algorithme ·etudi·e avant d’en faire une
·etude de performances th·eoriques dans la section 4. Enn, nous
illustrons les r·esultats par des simulations dans la partie 5.
2 Mode´lisation du proble`me
2.1 Signal utile, interfe´rences et bruit thermique
Consid·erons une antenne compos·ee de deux voies. Ces voies
peuvent par exemple correspondre a un regroupement analo-
1. Ce travail est re´alise´ dans le cadre d’une the`se DGA/Thales Air Defence
gique de capteurs ·el·ementaires. La premiere voie (voie princi-
pale) possede un diagramme de rayonnement directif alors que
la seconde (voie auxiliaire) a un diagramme de rayonnement
large.
L’environnement est constitu·e d’un signal utile et d’un si-
gnal de nuisance provenant tous deux de r·eecteurs xes. Le
signal utile s(t) est complexe d·eterministe de puissance σ2s . Par
contre, le signal perturbateur b(t) est mod·elis·e par un proces-
sus stochastique du second ordre complexe centr·e de puissance
σ2b . Les signaux utiles et perturbateurs sont suppos·es a bande
·etroite.
Les deux voies g·enerent un bruit thermique interne (n1(t) et
n2(t)) venant se rajouter au signal rec‚u. Ces bruits thermiques
sont mod·elis·es par un processus stochastique du second ordre
gaussien complexe centr·e de puissance σ2n.
2.2 Mode´lisation de la rotation d’antenne
On se place dans un probleme plan dans lequel le r·eseau
d’antennes est anim·e d’un mouvement de rotation uniforme a
la vitesse ω rad/s. Les gains des capteurs sont suppos·es connus
et constants dans le temps. Ils sont fonction uniquement de
l’angle sous lequel est vu l’·el·ement r·eecteur.
On note Gp(θ) et Ga(θ) les gains complexes respectifs des
voies principale et auxiliaire pour un signal rec‚u sous l’angle
θ. An de simplier le probleme, on suppose que l’antenne est
focalis·ee initialisement dans la direction 0 de la cible. On note
θb l’angle initial du signal perturbateur. A l’instant t, les angles
sous lesquels sont vus la cible (θc(t)) et la nuisance (θb(t)) sont
donc :
θc(t) = ωt et θb(t) = ωt + θb
Finalement, les signaux r·esultants en sortie des voies princi-
pale et auxiliaire peuvent s’·ecrire respectivement :
Vp(t) = Gp(ωt)s(t) + Gp(ωt + θb)b(t) + n1(t) (1)
Va(t) = Ga(ωt)s(t) + Ga(ωt + θb)b(t) + n2(t) (2)
Il est important de noter que le seul parametre inconnu de ces
·equations est l’angle initial de la nuisance θb. On dispose dans
la suite des donn·ees correspondant a tous les ·echantillons d’une
p·eriode d’·ecoute RADAR : Vp(t) et Va(t) pour t1 ≤ t ≤ tN .
3 Description de l’algorithme OLS
3.1 Principe de l’algorithme
L’algorithme OLS soustrait au signal sur la voie principale
une pond·eration du signal sur la voie auxiliaire choisie de telle
sorte a minimiser l’inuence de la perturbation sur le signal
r·esultant. Il peut fonctionner dans la mesure ou la contribution
du signal utile soustraite a la voie principale est n·egligeable de-
vant le signal utile sur cette meme voie. On se ramene alors a
un probleme de r·ef·erence bruit seul. Les conditions d’applica-
tion de l’algorithme sont donc la voie principale focalis·ee dans
la direction utile, le signal perturbateur absent du lobe princi-
pal et le gain sur la voie auxiliaire sup·erieur au gain de la voie
principale au niveau de ses lobes secondaires.
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
angle en degres
ga
in 
en
 dB
diagrammes des voies principale et auxiliaire
voie principale
voie auxiliaire
Fig.1 : Diagrammes des voies principale et auxiliaire
Le critere utilis·e dans cette m·ethode est l’erreur quadratique
moyenne entre le signal sur la voie principale et la pond·eration
du signal sur la voie auxiliaire.
L’algorithme OLS standard consiste a rechercher le coef-
cient α qui minimise l’expression : E|Vp(t)− α∗Va(t)|2.
Le coefcient solution de ce probleme v·erie alors l’·equation :
α(t) = E(|Va(t)|
2)−1E(Va(t)V
∗
p (t))
L’approche OLS optimale serait donc de calculer un coef-
cient a chaque instant. Cependant, cela n’est pas r·ealisable
en pratique d’une part parce que les esp·erances sont estim·ees
par une moyenne empirique sur plusieurs instants et d’autre
part parce qu’une telle approche serait trop lourde a mettre en
oeuvre.
3.2 Approche avec coefficients variables dans le
temps
Cette approche a pour objectif de d·ecomposer le coefcient
recherch·e sur une base polynomiale de fac‚on a tenir compte des
variations temporelles du coefcient optimal [2]. L’estimation
a effectuer revient alors a celle des coefcients dans la base
choisie.
Supposons que l’on fasse une d·ecomposition du coefcient
sur la base de polynomes canonique contenant K+1 ·el·ements :
α(t) =
K∑
k=0
αk(t− t0)
k
Les coefcients a estimer sont maintenant les coefcients
(αk)k=0..K . t0 est un instant de la dur·ee d’·ecoute choisi de
fac‚on a optimiser les performances en terme de puissance r·esi -
duelle. Dans toute la suite de l’article, on fait l’hypothese selon
laquelle la variation de gain est sufsamment faible pour que
l’on puisse se limiter a K = 1,
3.3 Imple´mentation de l’algorithme
L’algorithme OLS peut etre mis en oeuvre de diff·erentes
manieres. En effet, l’utilisateur dispose de toutes les donn·ees
correspondant aux cases distance de la r·ecurrence RADAR et
doit choisir les ·echantillons a utiliser dans le calcul du coef-
cient. Ce dernier peut de plus etre calcul·e une ou plusieurs fois.
Comme le choix des ·echantillons n’est pas le propos de cet
article, nous supposerons dans la suite que le coefcient n’est
calcul·e qu’une seule fois, a partir de tous les ·echantillons de la
r·ecurrence.
4 Etude de performances
4.1 Crite`re de performances retenu
On cherche a comparer le gain en performances r·esultant de
l’utilisation de l’algorithme OLS de coefcient variable dans
le temps. Pour cela, nous retenons comme critere de perfor-
mances la puissance r·esiduelle de nuisance instantan·ee. Ainsi,
l’algorithme est d’autant plus efcace que la puissance r·esiduel
- le de nuisance est faible.
D’apres (1) et (2), la puissance r·esiduelle de nuisance a l’ins-
tant t s’·ecrit :
Pres(t) = |Gp(ωt + θb)− α
∗(t)Ga(ωt + θb)|
2
σ2b (3)
4.2 Expression du crite`re de performances
Nous calculons dans cette partie l’expression de la puissance
r·esiduelle de nuisance pour l’algorithme OLS standard puis
pour sa version avec coefcients variables dans le temps. Pour
aboutir a ces deux expressions, nous effectuons un d·eveloppe
- ment limit·e d·eterministe du gain sur la voie principale et une
approximation sur des fonctions du signal perturbateur qui in-
terviennent dans le calcul. Dans les deux cas, nous calculons la
puissance en fonction de l’instant tl avec 1 ≤ l ≤ N .
4.2.1 Version standard
Le coefcient OLS est calcul·e par moyenne empirique selon
la m·ethode SMI [3] :
α = (
N∑
k=1
|Va(tk)|
2
)−1)(
N∑
k=1
Va(tk)V
∗
p (tk)) (4)
An de simplier cette ·etude, nous effectuons les hypotheses
pr·ealables suivantes :
 le gain de la voie auxiliaire est constant (Ga(θ) = Ga)
 le signal utile est n·eglig·e devant le signal perturbateur :
σ2s  σ
2
b
 le bruit thermique est n·eglig·e devant le signal perturba-
teur : σ2n  σ
2
b
Et en utilisant (1), (2) avec ces hypotheses dans (4) :
α = (
N∑
k=1
|Ga|
2 |b(tk)|
2)−1(
N∑
k=1
GaG
∗
p(ωtk + θb) |b(tk)|
2)
(5)
Introduisons les notations suivantes :
S =
N∑
k=1
|b(tk)|
2
et T =
N∑
k=1
|b(tk)|
2 Gp(ωtk + θb) (6)
La puissance r·esiduelle de nuisance peut alors s’exprimer de
la maniere suivante en introduisant (5) et (6) dans (3) :
P (1)res(tl) =
∣∣∣∣Gp(ωtl + θb)− TS
∣∣∣∣
2
σ2b (7)
Notons que meme si le coefcient OLS est constant sur l’en-
semble des cases distances, la puissance r·esiduelle ne l’est pas
car elle tient compte du gain de nuisance a l’instant ·etudi·e.
Ainsi, la m·ethode d’antibrouillage peut etre plus ou moins ef-
cace selon la case distance trait·ee.
4.2.2 Version a` coefficients variables dans le temps
Cherchons maintenant a exprimer la puissance r·esiduelle de
nuisance dans le cas de l’algorithme OLS a coefcient variable
dans le temps. Le coefcient est maintenant estim·e par l’ex-
pression :
(
α0
α1
)
= (
N∑
k=1
V a(tk)V
H
a (tk))
−1(
N∑
k=1
V a(tk)V
∗
p (tk))
α(tl) = α0 + α1(tl − t0)
ou V a(tk) =
(
Va(tk)
(tk − t0)Va(tk)
)
.
An de ne pas trop alourdir les expressions a venir, nous
introduisons les notations suivantes :
U =
N∑
k=1
(tk − t0) |b(tk)|
2
et V =
N∑
k=1
(tk − t0)
2 |b(tk)|
2
(8)
W =
N∑
k=1
(tk − t0) |b(tk)|
2
Gp(ωtk + θb) (9)
et X =
N∑
k=1
(tk − t0)
3 |b(tk)|
2
Avec ces notations et les hypotheses simplicatrices de la
section 4.2.1, l’expression du coefcient OLS devient :
(
α0
α1
)
= (|Ga|
2
(
S U
U V
)
)−1(Ga
(
T ∗
W ∗
)
) (10)
On en d·eduit la puissance r·esiduelle de nuisance apres OLS
avec coefcient variable dans le temps en introduisant (8) et (9)
et en remplac‚ant (10) dans (3) :
P (2)res(tl) = |Gp(ωtl + θb) (11)
−
((V T − UW ) + (SW − UT )(tl − t0))
SV − U2
∣∣∣∣
2
σ2b
De meme que pour la m·ethode OLS classique, la puissance
r·esiduelle de nuisance est fonction de l’instant auquel on la
calcule. Cependant, on remarque dans cette expression que le
terme soustrait au gain de nuisance sur la voie principale est
·egalement fonction du temps.
4.2.3 Simplification des expressions de puissance re´siduelle
de nuisance
An de comparer les expressions du critere (7) et (11), nous
proc·edons maintenant a un d·eveloppement limit·e (DL) du gain
du signal perturbateur sur la voie principale. Ce DL est r·ealis·e
autour de l’instant trait·e tl et se justie dans la mesure ou la
variation du gain sur la voie principale est faible pendant la
dur·ee d’observation.
Comme le montre la gure 2 suivante ou est repr·esent·ee la
variance du gain principal pendant la r·ecurrence, en fonction de
la valeur de l’angle initial du signal perturbateur θb, l’hypothese
est valable lorsque le signal perturbateur n’est pas vu initia-
lement dans un creux de diagramme. Les valeurs num·eriques
choisies sont telles que ωTrec = 0.036deg.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
angle en degres
ga
in 
en
 dB
influence de la valeur de l angle initial du brouilleur sur le delta de gain
variation de gains
gain de la voie principale
Fig.2 : Variations de gain en fonction de θb
Ce DL s’effectue au premier ordre pour P (1)res, mais au deuxie
- me ordre pour P (2)res, le DL a l’ordre 1 de cette expression ·etant
nul.
Pour continuer a simplier les ·equations (7) et (11), nous ef-
fectuons maintenant une approximation asympotique des fonc-
tions de nuisance correspondant aux ·equations (8) et (9).
La convergence en moyenne quadratique des expressions sui-
vantes permet de justier ces approximations (avec ρ = t0
NTe
):
S
N
≈ σ2b et
U
N2Te
≈ (
1
2
− ρ)σ2b (12)
V
N3T 2e
≈ (
1
3
− ρ + ρ2)σ2b (13)
X
N4T 3e
≈ (
1
4
− ρ + 3/2ρ2 − ρ3)σ2b (14)
En utilisant (12) dans (7), on obtient un ·equivalent sur la
puissance r·esiduelle de nuisance avec l’algorithme OLS stan-
dard :
P (1)res(tl) ≈
∣∣∣∣ωTe2 (N − 2l)G˙p(ωtl + θb)
∣∣∣∣
2
σ2b (15)
Puis, en utilisant (12), (13) et (14) dans (11) et apres quelques
simplications :
P (2)res(tl) ≈
∣∣∣∣ω
2T 2e
2
(
N2
6
− lN + l2)G¨p(ωtl + θb)
∣∣∣∣
2
σ2b (16)
Nous remarquons que cette derniere expression ne d·epend
pas de t0, ce qui veut dire que le choix de cette valeur n’a pas
d’inuence sur les performances de l’algorithme.
5 Simulations
Les simulations sont r·ealis·ees a partir d’une voie principale
form·ee grace a une antenne ALU de 16 capteurs et d’une voie
auxiliaire a partir d’une antenne ALU de 2 capteurs. Ces deux
r·eseaux respectent la condition de Nyquist et ont le meme centre
de phase. On choisit comme dur·ee d’observation une p·eriode
de r·ecurrence RADAR. Les puissances sont exprim·ees en dB.
TAB. 1: Parametres de la simulation
N Trec(ms) ω(rd/s) σ2b Gp(0) Ga(0) Nmc
100 0.1 2pi 50 0 −7 100
5.1 Comparaison des performances des deux ver-
sions de l’algorithme OLS
Les gures suivantes comparent les puissances r·esultantes
des deux versions de l’algorithme OLS obtenues par Monte
Carlo sur Nmc r·ealisations et par les formules th·eoriques (15) et
(16). On observe une nette diminution de la puissance r·esiduelle
moyenne pour la version avec coefcients variables dans le
temps par rapport a la version standard.
0 0.5 1
x 10−4
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
temps en seconde
pu
iss
an
ce
 re
su
lta
nte
 en
 dB
thetab=10 deg.
Monte Carlo sur Pres1 : Eq(7)
DL ordre 1 sur Pres1 : Eq(16)
Monte Carlo sur Pres2 : Eq(11)
DL ordre 2 sur Pres2 : Eq(17)
Fig.3 : θb = 10deg
0 0.5 1
x 10−4
−80
−60
−40
−20
0
20
40
temps en seconde
pu
iss
an
ce
 re
su
lta
nte
 en
 dB
thetab=7 deg.
Monte Carlo sur Pres1 : Eq(7)
DL ordre 1 sur Pres1 : Eq(16)
Monte Carlo sur Pres2 : Eq(11)
DL ordre 2 sur Pres2 : Eq(17)
Fig.4 : θb = 7deg
On note que meme en zone de gain de la voie principale
fortement variable (c.f. gure 2 avec θb = 7deg), les courbes
th·eoriques et de Monte Carlo sont tres proches. On v·erie que
les courbes de P (1)res montrent un creux pour l = N2 , alors que
celles de P (2)res montrent un creux pour les valeurs de l racines
de (N
2
6 − lN + l
2).
5.2 Robustesse du mode`le par rapport aux hy-
pothe`ses
On ·etudie maintenant la robustesse des r·esultats th·eoriques
aux erreurs de modele.
0 0.5 1
x 10−4
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
temps en seconde
pu
iss
an
ce
 re
su
lta
nte
 en
 dB
thetab=10 deg.
Monte Carlo sur Pres1 : Eq(7) 
Monte Carlo sur Pres1 : Eq(3)
Monte Carlo sur Pres2 : Eq(11)
Monte Carlo sur Pres2 : Eq(3)
Fig.5 : θb = 10deg, σ2n = −20dB, σ2s = −10dB
On remarque que l’expression th·eorique de P (2)res est moins
robuste que celle de P (1)res, mais que les performances de la
version a coefcients variables restent sensiblement meilleures
que celles de la version standard.
6 Conclusion
Nous avons vu dans cet article que l’algorithme OLS avec
coefcients variables dans le temps appliqu·e sur une p·eriode
d’·ecoute RADAR donne des performances d’antibrouillage mei-
lleures que la version standard en conguration antenne tour-
nante. Nous avons ·etabli une expression du critere de puissance
r·esiduelle de nuisance dans le cas ou l’on dispose de deux voies
de r·eception et montr·e que les performances de la version va-
riable dans le temps ne d·ependaient pas du choix de t0.
Re´fe´rences
[1] S.D. Hayward, “Effects of motion on adaptive arrays”, IEEE
Proc. RSN, February 1997.
[2] S.D. Hayward, “Adaptive beamforming for rapidly moving ar-
rays”, Int. Conf. on Radar, Beijing, 1996.
[3] I.S. Reed, J.D. Mallet, L.E. Brennan, “Rapid convergence rate in
adaptive arrays”, IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-10, no 6, Nov. 74.
[4] M. Zatman, “The properties of adaptive algorithms with time
varying weights”, IEEE SAM 2000 Workshop, Boston 2000.


Antibrouillage radar en contexte de rotation d'antenne

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