- Dans cet article, on propose une méthode généralisant la méthode root-MUSIC à la diversité de polarisation pour caractériser une cible radar. Cette méthode permet d'exploiter pleinement l'information contenue dans les signaux vectoriels, tout en conservant un temps de calcul comparable à celui des méthodes ne tenant pas compte de l'aspect vectoriel des signaux reçus

SAILLARD, Joseph

WANG, Yide

I-Revues

Une Nouvelle Methode pour Caracteriser une Cible Radar
Yide Wang, Joseph Saillard
SEI, EP CNRS 2018, IRESTE, Universite de Nantes
Rue Christian Pauc, La Chantrerie, BP 60601, 44306 Nantes, Cedex3, France
wyide@ireste.fr, jsaillar@ireste.fr
Resume { Dans cet article, on propose une methode generalisant la methode root-MUSIC a la diversite de polarisation pour
caracteriser une cible radar. Cette methode permet d'exploiter pleinement l'information contenue dans les signaux vectoriels, tout
en conservant un temps de calcul comparable a celui des methodes ne tenant pas compte de l'aspect vectoriel des signaux recus.
Abstract { We consider in this paper the characterization of a radar target by the root-MUSIC method with polarization
diversity. The proposed method uses optimally the polarization of the received waves, and the calculation time of this method
is comparable to that of the scalar HR method. We show by the simulation that the proposed method can not only give more
informations about the target (polarization state), but also provides better performance than the classical scalar HR methods in
terms of resolution of the scattering centers.
1 Introduction
Un radar a diversite de frequence et a diversite de po-
larisation est considere dans cette etude. La cible est mo-
delisee par un ensemble de points brillants independants
et isotropes.
Les methodes classiques pour un tel probleme sont ba-
sees sur les techniques de la transformee de Fourier [2].
Malheureusement, ces methodes sont limitees intrinseque-
ment par leur pouvoir de resolution. Plusieurs methodes
HR [1], [4], ont ete proposees an de s'aranchir de ce pro-
bleme. Mais, la plupart de ces methodes ignore l'aspect de
polarisation des signaux recus.
En traitement d'antenne, dans le domaine d'estimation
des angles d'arrivee d'ondes planes a l'aide d'un reseau de
capteurs, il existe plusieurs methodes HR qui exploitent
la diversite de polarisation des signaux recus [3], [8].
L'adaptation de ces methodes HR dans le contexte d'es-
timation des contributeurs elementaires n'est pas triviale.
Ceci est probablement la raison pour laquelle il existe peu
de methodes [5], [6], [7] exploitant l'aspect vectoriel des
ondes recues dans le domaine d'estimation des contribu-
teurs elementaires d'une cible radar.
Dans ce papier, nous proposons une methode qui ge-
neralise le principe de la methode proposee dans [8], a la
caracterisation d'une cible radar polarimetrique.
Nous commencons par une formulation du probleme, et
par un bref rappel sur la caracterisation polarimetrique
d'une cible radar. Nous presentons ensuite la nouvelle me-
thode HR a diversite de polarisation, des resultats de si-
mulation sont egalement fournis. Puis nous terminons ce
papier par une conclusion.
2 Formulation du probleme
Considerons une cible radar composee de m contribu-
teurs elementaires independants et isotropes, notons la
polarisation de l'onde emise par q et la polarisation de
l'onde recue par p. Si la cible est eclairee par une onde
electromagnetique de frequence , le coecient complexe
de retrodiusion de la cible peut s'exprimer par:
s
pq
() =
m
X
i=1
b
pqi
e
j
4
c
R
i

ou b
pqi
represente l'amplitude complexe du i
ieme
point
brillant et R
i
la distance projetee du i
ieme
point brillant
sur la direction radar-cible.
Pour un radar a diversite de frequence, on emet une
suite de N exponentielles pures : e
j2
n
t
avec 
n
= 
0
+
n@, et n = 0; 1;    ; N 1. Ainsi pour la n
ieme
frequence:
s
pq
(n) =
m
X
i=1
b
pqi
e
j
4
c
R
i

n
=
m
X
i=1
a
pqi
e
j2
(
2@
c
R
i
)
n
peut e^tre reecrit avantageusement en fonction de la dis-
tance d'ambigute :
s
pq
(n) =
m
X
i=1
a
pqi
e
j2
 
R
i
R
a

n
=
m
X
i=1
a
pqi
e
j2f
i
n
(1)
ou R
a

c
2@
est la distance d'ambigute.
Cette ecriture du signal recu permet d'introduire la no-
tion de frequence normalisee : f
i
=
R
i
R
a
(i = 1; 2;   ;m),
elle met egalement en evidence le lien direct entre le pro-
bleme de caracterisation des contributeurs elementaires
d'une cible radar et celui d'analyse spectrale.
Dans la base de polarisation horizontale-verticale, le si-
gnal vectoriel recu total s'ecrit :
2
6
6
4
s
hh
(n)
s
hv
(n)
s
vh
(n)
s
vv
(n)
3
7
7
5
=
m
X
i=1
2
6
6
4
a
hh
i
(n)
a
hv
i
(n)
a
vh
i
(n)
a
vv
i
(n)
3
7
7
5
e
j2f
i
n
(2)
Le vecteur du signal recu est bien su^r entache d'un bruit
additif, que l'on supposera blanc gaussien centre complexe
circulaire.
3 Caracterisation polarimetrique
On rappelle que le comportement polarimetrique d'une
cible radar peut e^tre caracterise completement par la ma-
trice de retrodiusion. Cette matrice relie la polarisation
de l'onde retrodiusee a celle de l'onde incidente. Elle peut
e^tre obtenue en estimant la polarisation de l'onde recue
pour deux ondes incidentes de polarisation orthogonale.
Le point pertinent est donc d'estimer sans biais la polari-
sation de l'onde recue pour une onde incidente de polari-
sation quelconque.
An de pouvoir estimer la polarisation d'une onde elec-
tromagnetique, il faut que l'antenne de reception possede
de la diversite de polarisation permettant ainsi de rece-
voir simultanement l'onde sur deux acces a polarisation
orthogonale. Notons le vecteur de polarisation de l'onde
incidente par le vecteur de Jones suivant :
q =

q
h
q
v

Dans le domaine frequentiel, les signaux recus sur les
voies horizontale et verticale pour une onde incidente de
polarisation q peuvent e^tre ecrits :

s
hr
(n)
s
vr
(n)

=

s
hh
(n) s
hv
(n)
s
vh
(n) s
vv
(n)
 
q
h
q
v

(3)
D'apres (2), on montre facilement que le vecteur des
signaux recus (3) peut e^tre modelise par:

s
hr
(n)
s
vr
(n)

=
m
X
i=1

a
h
i
a
v
i

e
j2f
i
n
(4)
ou a
h
i
et a
v
i
associees a la frequence f
i
contiennent l'in-
formation polarimetrique du i
ieme
point brillant.
La polarisation d'une onde est couramment repesentee
par l'ellipse de polarisation caracterisee essentiellement
par l'angle d'ellipticite 
i
(j
i
j  =4) et l'angle d'orien-
tation 
i
(0  
i
< ) : Ces deux parametres sont direc-
tement lies aux amplitudes horizontale et verticale a
h
i
et
a
v
i
associees a chaque contributeur elementaire par les
formules suivantes [5] :

i
= arctan

ja
v
i
j
ja
h
i
j

(5)

i
= arg (a
v
i
)  arg (a
h
i
)

i
=
1
2
arcsin [sin (2
i
) sin (
i
)]

i
=
1
2
arctan [tan (2
i
) cos (
i
)]

i
=


i
+

2
si 
i
>

4

i
+  si 
i


4
; 
i
< 0
4 Methodes a haute resolution
Supposons que l'on dispose de N echantillons du vecteur
des signaux recus (4), et considerons les deux matrices de
donnees construites de la facon suivante :
S
h
=
2
6
6
6
6
4
s
hr
(0) s
hr
(1)    s
hr
(N   p)
s
hr
(1) s
hr
(2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
hr
(p  1) s
hr
(N   1)
3
7
7
7
7
5
S
v
=
2
6
6
6
6
4
s
vr
(0) s
vr
(1)    s
vr
(N   p)
s
vr
(1) s
vr
(2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
vr
(p  1) s
vr
(N   1)
3
7
7
7
7
5
An d'exploiter pleinement l'information contenue dans
S
h
et S
v
, nous avons propose dans [7] d'utiliser la matrice
S construite de la facon suivante :
S =

S
h
S
v

D'apres la structure des matrices S
h
et S
v
et celle des
signaux recus (4), la matrice S peut s'ecrire de la facon
suivante :
S =
m
X
i=1
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a
h
i
   a
h
i
e
j2f
i
(N p)
.
.
.
.
.
.
a
h
i
e
j2f
i
(p 1)
a
h
i
e
j2f
i
(N 1)
a
v
i
   a
v
i
e
j2f
i
(N p)
.
.
.
.
.
.
a
v
i
e
j2f
i
(p 1)
a
v
i
e
j2f
i
(N 1)
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(6)
On peut facilement factoriser cette matrice par :
S =
m
X
i=1
g
2p
(a
h
i
; a
v
i
; f
i
)d
T
n1
(f
i
)
avec g
2p
(a
h
; a
v
; f) ; d
n
1
(f) deux vecteurs de dimensions
2p et n
1
= N   p+ 1 respectivement :
d
n
1
(f) =

1 e
j2f
   e
j2(n
1
 1)f

T
g
2p
(a
h
; a
v
; f) =

a
h
d
T
p
(f) a
v
d
T
p
(f)

T
On constate que si p > m et n
1
> m, la matrice
S est de rang decient. Si en plus f
i
6= f
j
; 8i 6= j; et
i; j = 1; 2;   m; le rang de la matrice S est egal au nombre
de points brillants m. Par consequent, le principe des me-
thodes HR s'applique sur la matrice S; avec le vecteur
source deni par g
2p
(a
h
; a
v
; f).
Notons U
1
la matrice de dimension (2p;m) constituee
par les vecteurs singuliers gauches associes aux m plus
grandes valeurs singulieres et U
2
la matrice de dimen-
sion (2p; 2p   m) constituee par les autres vecteurs sin-
guliers gauches de la matrice S. Notons egalement 
b
=
U
2
U
H
2
: Les parametres interessants peuvent e^tre estimes
en minimisant la projection du vecteur source sur l'espace
complementaire [1], [4] :
min
a
h
;a
v
;f
g
H
2p
(a
h
; a
v
; f)
b
g
2p
(a
h
; a
v
; f)
g
H
2p
(a
h
; a
v
; f)g
2p
(a
h
; a
v
; f)
(7)
Il s'agit d'une recherche dans l'espace tri-dimensionnel,
trop cou^teuse en temps de calcul, et dicilement utilisable
en pratique. Heureusement, gra^ce a la structure du vecteur
source, nous pouvons rendre ce probleme de minimisation
beaucoup plus ecace.
Le vecteur g
2p
(a
h
; a
v
; f) peut e^tre reecrit par :
g
2p
=

a
h
d
p
(f)
a
v
d
p
(f)

=

d
p
0
p
0
p
d
p
 
a
h
a
v

=Da
avec D une matrice de dimension (2p; 2) qui contient l'in-
formation des frequences et a un vecteur de dimension 2
contenant l'information de polarisation. Cette factorisa-
tion du vecteur g
2p
permet donc de separer les contribu-
tions de frequences et celles de polarisations.
Comme D
H
D =p

1 0
0 1

; la minimisation (7) peut
e^tre reformulee de la maniere suivante :
min
f;a
a
H
D
H

b
Da
a
H
D
H
Da
= min
f;a
a
H
D
H

b
Da
pa
H
a
(8)
Dans [7], nous avons propose d'eectuer cette minimisa-
tion d'abord par rapport au vecteur a, ensuite par rapport
a f :
min
f

min
a
a
H
D
H

b
Da
pa
H
a

Or, la minimisation entre les crochets (par rapport au vec-
teur a) est donnee par la valeur propre minimale de la
matrice D
H

b
D. Cette matrice etant hermitienne et de
dimension (2; 2) ; sa valeur propre minimale peut e^tre cal-
culee analytiquement, reduisant ainsi la minimisation a
trois dimensions (8) a une seule dimension, d'ou un gain
important en temps de calcul. Les frequences peuvent e^tre
estimees comme celles qui minimisent la valeur propre mi-
nimale de la matrice D
H

b
D ; le vecteur propre corres-
pondant fournit une estimation sur les parametres de po-
larisation correspondant.
Mais cette methode necessite un balayage dans le do-
maine frequentiel, an de trouver les dierents parametres,
demandant un temps de calcul non negligeable. Pour re-
medier a ce probleme, nous proposons de remplacer le ba-
layage en frequence par une resolution des racines d'un
polyno^me. Pour cela, reconsiderons la minimisation tri-
dimensionnelle :
min
a

min
f
a
H
D
H

b
Da
pa
H
a

Nous savons que si la matriceD est connue, alors le mi-
nimumde la fonction de cou^t est donne par le minimumde
la valeur propre minimale de D
H

b
D qui est une matrice
hermitienne et denie non negative: Ce minimum est nul
si f et a correspondent aux parametres d'un point brillant
reel. Donc les frequences f peuvent e^tre estimees, dans le
cas ideal, par les frequences qui annulent le determinant
de la matrice D
H

b
D :
det

D
H

b
D

= 0
Pour simplier cette expression, notons

b
=

R
11
R
12
R
H
12
R
22

alors
D
H

b
D =

d
H
p
R
11
d
p
d
H
p
R
12
d
p
d
H
p
R
H
12
d
p
d
H
p
R
22
d
p

et
det

D
H

b
D

=
 
d
H
p
R
11
d
p
  
d
H
p
R
22
d
p

(9)
 
 
d
H
p
R
H
12
d
p
  
d
H
p
R
12
d
p

Notons z = exp(j2f); alors le vecteur d
p
(f) devient :
d
p
(z) =

1 z    z
p 1

T
Et le determinant (9) peut e^tre reecrit par :
 
d
T
p
 
z
 1

R
11
d
p
(z)
  
d
T
p
 
z
 1

R
22
d
p
(z)

(10)
 
 
d
T
p
 
z
 1

R
12
d
p
(z)
  
d
T
p
 
z
 1

R
12
d
p
(z)

Les frequences qui annulent le determinant (9) peuvent
alors e^tre estimees par les racines les plus proches du cercle
unite du polyno^me (10).
Or, on constate que d
T
p
 
z
 1

R
mn
d
p
(z) (m;n = 1; 2)
peut e^tre ecrite :
d
T
p
 
z
 1

R
mn
d
p
(z) = a
T
(z) c
mn
avec
a (z) =
h
z
 (p 1)
; z
 p+2
; : : : ; z
p 1
i
T
c
mn
=


 (p 1)
; 
 p+2
; : : : ; 
p 1

T

l
=
min(p;p l)
X
i=max(1; l+1)
R
mn
(i; l + i)
Le polyno^me (10) devient alors :
a
T
(z)
 
c
11
c
T
22
  c
12
c
T
21

a (z) = a
T
(z)Fa (z)
l'expression du polyno^me nal est donc obtenue :
a
T
(z)Fa (z) = k
T
b (z)
avec b (z) et k deux vecteurs de dimension 4p  3, denis
par :
b (z) =
h
z
 2(p 1)
; : : : ; z
2(p 1)
i
T
k = [
1
; : : : ; 
4p 3
]
T

l
=
min(2p 1;l)
X
i=max(1;l 2p 2)
F(i; l   i + 1)
Les frequences peuvent alors e^tre estimees par les ra-
cines du polyno^me k
T
b (z) les plus proches du cercle unite
se situant a l'interieur du cercle unite. Les frequences etant
estimees, les amplitudes associees peuvent e^tre trouvees en
calculant le vecteur propre associe a la valeur propre mini-
male de la matrice D
H

b
D; qui est donne par la formule
suivante :

a
hi
a
vi

= 
"
1
e
11
 e
22
+
p
(e
11
 e
22
)
2
+4je
12
j
2
e
12
#
ou
e
mn
= a
T
(bz
i
) c
mn
et bz
i
= exp(j2
b
f
i
)
et les parametres de polarisation peuvent e^tre estimes en
utilisant la formule (5) :
Cette methode ecace permet d'exploiter pleinement
l'aspect vectoriel des signaux recus, tout en conservant un
temps de calcul relativement faible. Elle permet d'estimer
les frequences et les parametres de polarisation en une
seule etape, contrairement aux methodes proposees dans
[5] et [6], pour lesquelles ces estimations sont eectuees en
deux etapes distinctes.
Dans la suite, nous donnons quelques resultats de si-
mulation an de se faire une idee sur les performances de
cette methode.
5 Simulation
Le modele propose dans [5] est adopte dans la simula-
tion. La cible est modelisee par 4 points brillants dont les
distances par rapport au centre de reference sont : 8 cm,
12 cm, 13,3 cm et 14 cm, et les matrices de retrodiusion
correspondantes sont :
Tab. 1: Parametres des points brillants
N

de point brillant

a
hh
a
hv
a
vh
a
vv

1

1 0
0 1

2 10
"
cos
2
10
sin
2
20
2
sin
2
20
2
sin
2
10
#
3 2
"
cos
2
10
sin
2
20
2
sin
2
20
2
sin
2
10
#
4 3
"
sin
2
10  
sin
2
20
2
 
sin
2
20
2
cos
2
10
#
La polarisation de l'onde emise est circulaire gauche.
Le radar emet des impulsions dont la porteuse varie de 2
GHz a 18 GHz avec un pas de 50MHz. Une decimation
d'un fateur de 10 a ete eectuee avant tout traitement. La
distance d'ambigute est 30 cm et le nombre de frequences
est 32. Un calcul rapide nous permet de trouver les fre-
quences normalisees pour les 4 points brillants : 0,267; 0,4;
0,443 et 0,467.
La methode proposee est appliquee au signal recu pour
un rapport signal sur bruit de 10 dB et pour 20 tirages
de bruit independants, le resultat est trace gure 1. Nous
constatons que les 4 contributeurs elementaires sont par-
faitement estimes pour les 20 simulations independantes.
La me^me simulation a ete faite pour 100 tirages de bruit
independants, nous donnons les resultats de l'estimation
de tous les parametres (distance, ellipticite et orientation)
du troisieme point brillant, qui est le plus dicile a esti-
mer, dans le tableau suivant :
Tab. 2: Resulats de l'estimation
(deg)  (deg) d(cm)
Valeur vraie 10 0.00 13.3
Valeur estimee 9,69 -0.093 13.29
Ecart Type 2.15 2.23 0.040
Il est clair que la methode proposee possede une per-
formance satisfaisante aussi bien pour l'estimation de la
frequence que pour l'estimation des parametres de polari-
sation des signaux recus.
6 Conclusion
Dans ce papier, nous avons considere la modelisation
d'une cible par un radar a diversite de frequence et a
diversite de polarisation. La cible est modelisee par des
contributeurs elementaires. Nous avons propose une nou-
velle methode qui generalise la methode de root-MUSIC
en incorporant d'une facon optimale la polarisation des
ondes recues. Cette methode permet d'exploiter pleine-
ment les informations contenues dans les signaux recus sur
les deux voies de polarisation orthogonale, tout en conser-
vant un temps de calcul relativement faible. Elle permet
d'estimer en une seule etape les distances entre les points
brillants et les parametres de polarisation des signaux cor-
respondants, d'ou un gain en temps de calcul, par rapport
aux methodes traitant les deux estimations separement
[5],[6].
0 5 10 15 20 25 30
0
20
40
60
80
100
120
Fig. 1: Root-MUSIC vectorielle
References
[1] G. Bienvenu and L. Kopp: "Optimality of High-
Resolution Array Processing Using the Eigenstructure
Approach". IEEE Trans. on ASSP, Vol.31, pp.1235-
1248, October, 1983.
[2] N. F. Chamberlain, E. K. Walton and F. D. Garber:
"Radar Target Identication of Aircraft Using Polari-
zation Diverse Features", IEEE Trans. on AES, Vol.27,
No.1, pp. 58-66, Jan., 1991.
[3] E.R. Ferrara and T.M. Parks : "Direction Finding
with an Array of Antennas Having Diverse Polriza-
tions", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.31, No.2,
pp.231-236, March 1983.
[4] R.Kumaresan, D.Tufts: ((Estimation the Angles of Ar-
rival of Multiple Plane Waves)), IEEE Trans. on AES,
Vol.19, No.1, pp. 134-139, Jan., 1983.
[5] W. M. Steedly and R. L. Moses: "High Resolution Ex-
ponential Modeling of Fully Polarized Radar Returns",
IEEE Trans. on AES, Vol.27, No.3, pp. 459-468, May,
1991.
[6] Y. Wang and J. Saillard: "Polarimetric High Resolu-
tion Methods", JIPR95 (Troisiemes Journees Inter-
nationales de la Polarimetrie Radar), pp. 480-491,
Nantes, Mars, 1995.
[7] Y. Wang et J. Saillard : "La Polarisation dans les Me-
thodes a Haute Resolution", GRETSI97, pp. 611-614,
Grenoble, 15-19, Septembre 1997.
[8] A.J. Weiss and B. Friedlander : "Direction Finding
for Diversely Polarized Signals Using Polynomial Roo-
ting", IEEE Trans. Signal Processing, vol.41, No.5,
pp.1893-1905, May 1993.


Une nouvelle méthode pour caractériser une cible radar

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