Cette communication a pour but de présenter des méthodes de synthèse d'images fractales de type mouvement brownien fractionnaire. Ce travail est centré sur l'extension en 2D de deux méthodes précises dans le cas 1D. La première est basée sur une décomposition de Cholesky de la matrice de covariance des incréments et la deuxième sur la fonction de Weierstrass-Mandelbrot. Leur qualité est évaluée par trois tests statistiques de conformité au modèle du mouvement brownien fractionnaire. Seule l'extension de la fonction de Weierstrass-Mandelbrot est précise pour les valeurs de H testées

HARBA, Rachid

JACQUET, Gérard

JENNANE, Rachid

I-Revues

Synthèse Précise d’Images Fractales
Rachid JENNANE*, Rachid HARBA*, Gérard JACQUET**
*ESPEO, Université d'Orléans BP 6744 45067 Orléans Cedex 2 FRANCE
**LTSI, Université de Saint Etienne, 23 rue Paul Michelon 42023 Saint Etienne Cedex 2 FRANCE
Tél : +33 02 38 49 45 38, Fax : +33 02 38 41 72 45, e-mail : jennane@lesi.univ-orleans.fr
RÉSUMÉ
Cette communication a pour but de présenter des méthodes de
synthèse d’images fractales de type mouvement brownien
fractionnaire. Ce travail est centré sur l’extension en 2D de deux
méthodes précises dans le cas 1D. La première est basée sur une
décomposition de Cholesky de la matrice de covariance des
incréments et la deuxième sur la fonction de Weierstrass-
Mandelbrot. Leur qualité est évaluée par trois tests statistiques de
conformité au modèle du mouvement brownien fractionnaire. Seule
l’extension de la fonction de Weierstrass-Mandelbrot est précise
pour les valeurs de H testées.
ABSTRACT
In this communication we present methods to generate fractal
images. This work treats the extension to the 2D case of 1D
precise methods. The first one is based on the Cholesky
decomposition of the covariance matrix of the process increments
and the second one on the Weierstrass-Mandelbrot function. Three
statistical tests allow to assess the validity of the fractional
Brownian motion model. Only the extension of the Weierstrass-
Mandelbrot function gives proper results.
1  Introduction
Dans de nombreux domaines, des signaux de type
"signaux en 1/f" ou "signaux fractals" peuvent être
représentés par le modèle du mouvement brownien
fractionnaire [1] (FBM pour fractional Brownian motion).
Le paramètre H (0 < H < 1) contrôle alors ce qu'il est
convenu d'appeler la rugosité du signal : plus H est proche
de 0, plus le signal est agité, plus H est proche de 1 plus le
signal est lisse [2].
La synthèse de tels processus permet de mettre en
évidence ce comportement. Il existe de nombreuses
méthodes de synthèse. Dans un travail récent [3], nous
avons testé 5 méthodes dans le cas unidimensionnel (1D) :
la méthode du "midpoint displacement", la synthèse par
transformée de Fourier rapide inverse, la génération par
décomposition de Cholesky de la matrice de covariance des
incréments du processus, la synthèse par la fonction de
Weierstrass-Mandelbrot et enfin une synthèse par ondelettes.
Seules deux méthodes étaient précises : la méthode basée sur
la décomposition de Cholesky (CHO) et celle utilisant la
fonction de Weierstrass-Mandelbrot (WMA). Ceci résulte de
3 tests statistiques qui permettent d'évaluer la conformité au
modèle FBM. Le premier consiste à vérifier que le processus
aléatoire synthétisé est gaussien, le deuxième est un test de
stationnarité des incréments du processus et le dernier
permet de vérifier que ces mêmes incréments sont
statistiquement similaires.
Pour étudier les phénomènes fractals bidimensionnels
(2D) tels que certaines surfaces ou textures, la synthèse
précise de FBM en deux dimensions (FBM2D) est une
première étape nécessaire. Il est clair que seules les
méthodes de synthèse précises en 1D pourront être
candidates pour réaliser une synthèse de qualité dans le cas
2D.
Dans cette communication, nous proposons d'étendre au
cas 2D les deux méthodes de synthèse de signaux fractals
statistiques qui ont été validées en 1D : CHO et WMA. Les
tests statistiques utilisés dans le cas 1D seront utilisés pour
vérifier l’adéquation entre les données obtenues et le modèle
FBM.
Le plan de cette communication est le suivant : dans la
section 2, nous présentons les 2 méthodes de synthèse
bidimensionnelles proposées. La section 3 est consacrée à
l’évaluation des méthodes de synthèse et aux résultats
obtenus. Une conclusion termine cette étude.
2  Synthèse d’images fractales
2.1  Synthèse CHO
Dans le cas 1D, cette méthode [4] consiste à générer en
premier lieu les incréments du processus (FGN pour
fractionnal Gaussian noise) assimilables à une dérivée et
définis comme :
FGN i FBM i m FBM im[ ] [ ] [ ]= + − , (2.1)
où m correspond à un intervalle de temps et i à un indice
temporel discret.
Les processus  FGN définis par (2.1) sont des processus
stationnaires, centrés et statistiquement similaires. Pour
m = 1, la fonction d’autocorrélation du FGN peut s’écrire :
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 487
( )r (k) =  2  |k + |  -  2|k|  +  |k - |FGN 2H 2H 2H1 1
2
1 1σ (2.2)
où σ21 représente la variance de FGN1.
La matrice d'autocorrélation R du FGN dépend donc de
H. Elle est de Toeplitz et peut être décomposée comme
R = LLT. L est une matrice triangulaire inférieure.
Soit Y un processus gaussien de taille N, centré et blanc.
Le produit LY génère un processus FGN. Par
incrémentation suivant (2.1), on obtient une trace FBM1D.
Pour synthétiser une image fractale isotrope basée sur
cette méthode, nous supposons que le processus de synthèse
est une transformation à noyau séparable. Si Q est une
matrice N×N composée d'échantillons gaussiens, centrés et
indépendants, le produit matriciel QL génère une matrice
dont chaque ligne est un signal type FGN. Par contre,
chaque vecteur colonne est composé d'échantillons gaussiens
mutuellement indépendants. On peut alors appliquer cette
même transformation sur les colonnes et l'opération finale
s'écrit LQL. La matrice résultat a des lignes et des colonnes
type FGN1D. Par incrémentation en ligne puis colonne
suivant (2.1), on obtient un FBM2D. Les 4 images suivantes
montrent une réalisation d'un tel processus pour H = 0.2,
0.4, 0.6 et 0.8.
H = 0.2 H = 0.4
H = 0.6 H = 0.8
On remarque sur ces images un effet de tissage dû à
l’incrémentation en lignes et en colonnes.
2.2  Synthèse WMA
Des travaux sur l’extension de la fonction de
Weierstrass-Mandelbrot unidimensionnelle au cas 2D ont
déjà été réalisés dans [5]. Ici, nous proposons une approche
type traitement du signal. Avant de détailler notre méthode,
un bref rappel du cas 1D permet de positionner le problème.
La fonction complexe de Weierstrass-Mandelbrot W(t)
s'écrit dans le cas 1D de la manière suivante [6] :
W t e e
b
i b t i
Hn
n
n
n
( ) ( ) .= −
=−∞
+∞∑ 1 2 pi ϕ (2.3)
b est un réel strictement positif différent de 1, ϕn une
phase aléatoire prise dans l'intervalle [0 ; 2pi].
Cette fonction est la somme d'exponentielles complexes
aux fréquences positives bn qui forment une progression
géométrique de raison b. Leur amplitude suit une loi en
puissance dépendant de H. On peut montrer que les
incréments sont stationnaires et similaires [5]. En pratique,
on prend la partie réelle de W(t) :
[ ]Re ( ) cos cos( ).W t b t
b
n
n
n
Hn
n
=
− +
=−∞
+∞∑ ϕ pi ϕ 2 (2.4)
En adoptant un point de vue synthèse fréquentielle, W(t)
a de fortes similitudes avec une synthèse par transformée de
Fourier inverse où seules les fréquences positives seraient
considérées. La symétrie hermitique pour un signal réel
permet de construire le signal analytique A(t) :
A t X f e dfi ft( ) ( )=
∞∫ 2
0
pi
. (2.5)
X(f) est la transformée de Fourier du signal x(t) dont
l’amplitude pour un fractal suit une loi en f-H-0.5. La
différence entre W(t) et A(t) tient au fait que les fréquences
ne sont pas réparties de la même manière dans les deux cas.
Ce point de vue particulier permet de proposer une
extension en 2D de la fonction de Weierstrass-Mandelbrot.
En effet, la double symétrie hermitique :
A2D(f1, f2) = A2D*(-f1, -f2) et A2D(-f1, f2) = A2*D(f1, -f2)
assure qu’une image de type FBM isotrope peut être obtenue
par une double intégration sur 2 quarts de plan :
A D x y X f f e df df
X f f e df df
i f x f y
i f x f y
2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 2
00
2 1 2
00
( , ) ( , )
( , )
( )
( )
= +
−
+
∞∞
− +
∞∞
∫∫
∫∫
 
 
 
                     
pi
pi
. (2.6)
X(f1,f2) est la transformée de Fourier 2D de x(t1, t2)
qui, pour une image fractale, suit une loi qui dépend de f1 et
f2 comme f12+f22-H/2-0.5. Par conséquent, la fonction de
Weierstrass-Mandelbrot que nous proposons en 2D est la
suivante :
W D x y
b
e e e e
b b
n m
mn
i b x b y i i b x b y i
n m
H
n m
n m
n m
n m
2
1 1
2
2 2
2 2
1
2
1 2
( , )
( ) ( )( ) ( ), ,
=
− + −


+


+
=−∞
∞
=−∞
∞
+ − +
+∑∑
  pi ϕ pi ϕ
(2.7)
ϕ1n,m et ϕ2n,m sont des phases aléatoires indépendantes
prises dans l’intervalle [0 ; 2pi]. On peut montrer que cette
fonction a des incréments stationnaires et similaires [7]. Des
488
images réelles sont alors obtenues en ne gardant que la
partie réelle de cette matrice :
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Re ( , )
cos cos
cos( ) cos( )
, ,
, ,
W D x y b
b b
b
b x b y b x b y
b b
n m
n m n m
n m
H
mn
n m n m
n m
n m
n m
n m
H
2
2 2 2 2
2
1 2
2 2
1
2
2
1 2
2 2
1
2
=
+
+
−
+ + + + +
+
+
+
=−∞
∞
=−∞
∞
+
+
∑∑ ϕ ϕ
pi pi ϕ pi pi ϕ  -
(2.8)
Pour réaliser la synthèse d’images FBM, (2.8) doit être
calculée pour chaque point (x, y) de l’image, la somme est
tronquée à une valeur maximale de n et de m en fonction de
la précision désirée.
L’implémentation de cette expression se fait à l’aide de 4
boucles imbriquées. Deux d’entre elles représentent la taille
de l’image soit NxN et les deux autres représentent le
nombre de termes de la boucle soit LxL. La complexité de
l’algorithme est donc de l’ordre de N²L² ce qui est énorme.
Nous proposons une implémentation qui permet de
réduire cette complexité. Tout d’abord, nous ne prenons pas
en compte les termes constants c’est-à-dire ceux
indépendants de x et de y. Les autres termes peuvent être
décomposés à l’aide du développement de cos(a + b) pour
obtenir :
[ ]
( ) [ ]
[ ]
( ) [ ]
[ ]
Re ( , )
cos
cos( ) cos( )
sin
sin( ) sin( )
, ,
, ,
W D x y
b x
b b y b y
b b
b x
b b y b y
b b
n
n
n m
m
n m
m
n m
n m
H
m
n
n
n m
m
n m
m
n m
n m
H
m
2
2 2
2 2
2 1 2
2 2
1
2
2 1 2
2 2
1
2
=
+ + +
+
−
+ + +
+
=−∞
∞
+
+
=−∞
∞
=−∞
∞
+
+
=−∞
∞
∑ ∑
∑ ∑
  
  
pi ϕ pi ϕ
pi ϕ pi ϕ
(2.9)
Ceci permet de faire le calcul avec 3 boucles imbriquées
de sorte que la complexité de l’algorithme est maintenant de
l’ordre de NL(N+L).
Les 4 images suivantes illustrent cette méthode pour
H = 0.2, 0.4, 0.6 et 0.8.
H = 0.2 H = 0.4
H = 0.6 H = 0.8
Ces images varient avec H, plus H est grand, plus la
texture obtenue est lisse.
3  Evaluation de la qualité des images
Pour évaluer l’adéquation entre des données réelles et le
modèle FBM, nous avons mis au point une méthode
spécifique. Nous allons brièvement décrire cette technique.
Ensuite, nous présenterons les résultats obtenus pour les
images générées.
3.1  Méthode
Parmi les nombreuses propriétés du FBM définies dans
[1][3], seules 3 conditions sont nécessaires et suffisantes
(CNS) pour qu’un processus X(t) soit de type FBM : si X(t)
est un processus aléatoire gaussien ayant des incréments
stationnaires et similaires, alors c’est un mouvement
brownien fractionnaire.
A partir de ces 3 CNS, l’étude de la validité du modèle
FBM pour un processus aléatoire X(t) peut être faite à l’aide
de 3 tests d’hypothèse à un niveau de signification α donné :
i)  un test de normalité réalisé sur le processus par un test
du chi-deux [8]
ii)  un test de stationnarité des incréments du processus
réalisé par le run test [8],
iii)  un test de similarité des incréments du processus réalisé
par un test du chi-deux adapté [3]. Ce test consiste a
comparer les densités de probabilités des incréments
obtenus pour différents intervalles.
Afin de respecter les contraintes d’indépendance, seules
les statistiques ensemblistes sont considérées. Ainsi, les 3
tests d’hypothèse sont appliqués sur R réalisations
indépendantes et discrétisées de longueur N.
En toute rigueur, pour vérifier l’adéquation entre nos
images et le modèle FBM, il faudrait vérifier les propriétés
du modèle FBM bidimensionnel. Ces tests étant fastidieux à
mettre en place, nous proposons de vérifier la
correspondance entre les lignes d’images et le modèle
FBM1D en utilisant les tests décrits ci-dessus. Pour ce faire,
nous rappelons que la coupe par un plan vertical d’un
FBM2D est un FBM1D de même paramètre H [9]. Nous
considérons donc n directions de la grille d’échantillonnage
dans l’intervalle [0° ; 180°]. Ces directions sont choisies de
manière à ce que les points considérés de la grille
d’échantillonnage soient alignés.
489
3.2  Résultats
Pour assurer l’indépendance des réalisations, on génère
100 images de taille 512x512 ayant le même paramètre H.
Sur chacune de ces 100 images, nous prélevons un signal de
250 échantillons dans chacune des n directions. L’opération
est répétée pour H prenant les valeurs 0.2, 0.4, 0.6 et 0.8.
Pour la synthèse WMA, nous avons choisi de prendre
b = 1.3 pour H ≤ 0.5 et b = 1.1 pour H > 0.5, pour assurer
une bonne couverture en fréquence. D’autre part, nous
limitons les indices n et m des sommes de (2.9) à 400 car au
delà, les résultats sont quasiment identiques. Ces résultats
sont exprimés en pourcentages de tests positifs au niveau de
signification α = 0.01.
Nous avons choisi 8 directions aux angles 0°, 26°5, 45°,
63°5, 90°, 116°5, 135° et 153°5.
Afin de résumer les résultats obtenus, nous proposons un
indicateur de qualité qui consiste à ne garder que le
minimum des résultats obtenus par les différents tests et
pour chaque méthode de synthèse. Les tableaux 1 et 2
regroupent les résultats obtenus respectivement pour WMA
et CHO.
H 0.2 0.4 0.6 0.8
0° 86 90 98 99
26°5 98 98 94 92
45° 97 98 98 99
63°5 98 92 90 94
90° 98 97 92 94
116°5 98 98 97 96
135° 96 98 98 99
153°5 98 97 97 96
Tableau 1 : Indice de qualité (compris entre 0 et 100) pour
les images WMA. Les valeurs inférieurs à 90 sont reportées
sur fond grisé.
H 0.2 0.4 0.6 0.8
0° 98 98 98 98
26°5 86 92 95 86
45° 98 97 97 93
63°5 75 63 49 43
90° 96 94 99 96
116°5 94 90 90 94
135° 90 86 88 84
153°5 83 90 86 88
Tableau 2 : Indice de qualité (compris entre 0 et 100) pour
les images CHO. Les valeurs inférieurs à 90 sont reportées
sur fond grisé.
L’analyse des résultats obtenus montre que la synthèse
en deux dimensions par WMA génère des données que l’on
peut considérer comme gaussiennes et dont les incréments
sont stationnaires et similaires dans les 8 directions
considérées. Par contre, pour la synthèse CHO, on constate
que les résultats ne sont satisfaisants que pour les
orientations multiples de 45° ; pour les autres directions, ils
sont nettement moins bons.
4  Conclusion
Dans cette communication, nous avons présenté deux
méthodes de synthèse d’images fractales type mouvement
brownien fractionnaire. Ces méthodes sont l’extension au
cas bidimensionnel des synthèses par la fonction de
Weierstrass-Mandelbrot et par décomposition de Cholesky
de la matrice de covariance des incréments du FBM qui
génèrent des signaux conformes au modèle FBM dans le cas
unidimensionnel.
A l’aide de 3 tests d’hypothèse de conformité au modèle
FBM, nous avons montré que seule la synthèse par la
fonction de Weierstrass-Mandelbrot bidimensionnelle donne
de bons résultats. Les images obtenues par cette fonction
peuvent servir d’images de référence pour valider les
différentes méthodes d’analyse d’images fractales.
Les deux méthodes proposées peuvent être étendues sous
certaines conditions pour générer des images anisotropes
[7].
5  Références
[1] MANDELBROT B. B., VAN NESS J. W., "Fractional
Brownian Motion, Fractional Noises and Applications",
SIAM, Vol. 10, N° 4, pp. 422-438, 1968.
[2] PENTLAND A. P. "Fractal-Based Description of
Natural Scenes", IEEE Transactions on Pattern Analysis
and Machine Intelligence, N° 6, pp. 661-674, November
1984.
[3] JENNANE R., HARBA R., JACQUET G., "Estimation
de la Qualité des Méthodes de Synthèse du Mouvement
Brownien Fractionnaire", Traitement du Signal, Vol. 13,
N° 4, pp. 289-302, 1997.
[4] LUNDAHL T., OHLEY W. J., KAY S. M., SIFFERT
R., "Fractional Brownian Motion : A Maximum Likelihood
Estimator and its Application to Image Texture", IEEE
Transactions on Medical Imaging, vol. 5, N°3, pp. 152-161,
1986.
[5] AUSLOOS M., BERMAN D. H., "A Multivariate
Weierstrass-Mandelbrot Function", Proceedings of the Royal
Society of London, Vol. A400, pp. 337-350, 1985.
[6] BERRY M. V., LEWIS Z. V., "On the Weierstrass-
Mandelbrot Fractal Function", Proceedings of the Royal
Society of London, Vol. A370, pp. 459-484, 1980.
 [7] JENNANE R., "Modélisation Fractale de Textures :
Application à l’Analyse de l’Architecture Osseuse", Thèse
de 3ème Cycle de l‘Université d’Orléans, 1995.
[8] BENDAT J. S., PIERSOL A. G., "RANDOM DATA :
Analysis and Measurement Procedures", Wiley-Interscience,
1971.
[9] BARNSLEY M. F., DEVANEY R. L.,
MANDELBROT B. B., PEITGEN H. O., SAUPE D., VOSS
R. F., "The Science of Fractal Images", Springer-Verlag,
1988.
490


Synthèse précise d'images fractales

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