L'observation des signaux en astronomie conduit très souvent à un échantillonnage irrégulier dû à de nombreux effets instrumentaux, atmosphériques ou astronomiques. C'est par exemple le cas des mesures de distance Terre-Lune par télémétrie laser. Ainsi l'observatoire de la Côte d'Azur, où s'effectuent ces tirs, fournit des résidus correspondant à la différence entre la distance observée et celle prédite par la théorie tenant compte de tous les effets connus. Les observations ont un bruit variable et sont irrégulièrement échantillonnées dans le temps avec la présence de trous d'observations. Si la transformée de Fourier discrète est bien adaptée à l'étude des phénomènes stationnaires échantillonnés régulièrement, elle est inopérante en présence d'un échantillonnage irrégulier, d'autant plus que des phénomènes non stationnaires peuvent être à l'origine des écarts entre l'observation et la théorie. Nous avons donc été amenés à développer une méthode d'analyse spectrale associée aux résidus de la télémétrie laser-lune afin mettre en évidence des phénomènes périodiques non pris en compte dans la théorie actuelle

BIJAOUI, Albert

MIGNARD, Francois

MOUSSAOUI, Rachid

I-Revues

Analyse Spectrale des Résidus de la Télémétrie  
Laser sur la Lune 
 
Rachid MOUSSAOUI1, Albert BIJAOUI2, François MIGNARD3 
 
1CRAAG, Observatoire d’Alger 
B.P. 63 Bouzaréah Alger Algérie 
2CERGA, Observatoire de la Côte d'Azur 
B.P.4229 F-06304, Nice Cedex 4 
3CERGA, Observatoire de la Côte d'Azur 
Av. Copernic 06130 Grasse (France) 
rachid@obs-nice.fr, bijaoui@obs-nice.fr, mignard@obs-azur.fr 
 
Résumé - L’observation des signaux en astronomie conduit très souvent à un échantillonnage irrégulier dû à de nombreux effets 
instrumentaux, atmosphériques ou astronomiques. C’est par exemple le cas des mesures de distance Terre-Lune par télémétrie laser. Ainsi 
l’observatoire de la Côte d’Azur, où s’effectuent ces tirs, fournit des résidus correspondant à la différence entre la distance observée et celle 
prédite par la théorie tenant compte de tous les effets connus. Les observations ont un bruit variable  et sont irrégulièrement échantillonnées 
dans le temps avec la  présence de trous d’observations.  
Si la transformée de Fourier discrète est bien adaptée à l’étude des phénomènes stationnaires échantillonnés régulièrement, elle est inopérante 
en présence d’un échantillonnage irrégulier, d’autant plus que des phénomènes non stationnaires peuvent être à l’origine des écarts entre 
l’observation et la théorie. Nous avons donc été amenés à développer une méthode d’analyse spectrale associée aux résidus de la télémétrie 
laser-lune afin  mettre en évidence des phénomènes périodiques non pris en compte dans la théorie actuelle. 
 
Abstract - The observation of the signals in astronomy leads to an irregular sampling due many instrumental, atmospheric or astronomical 
effects. Earth-Moon distance measurements performed by laser telemetry at the Calern observatory is  a typical example of such observations. 
The Côte d’Azur observatory where these shootings are carried out provides Lunar Laser Ranging  residuals corresponding to the difference 
between the observed distance and the predicted one. Recorded laser data are noisy, non-uniformly sampled and display temporal gaps.  
If the discrete Fourier transform is well adapted to study stationary phenomena uniformly sampled, it is inadequate in case of an irregular 
sampling, more especially if non-stationary phenomena are at the origin of the differences between the observation and the theory. Two 
different methods, which take into account the peculiarities of the data set, are developed. 
 
 
1. Introduction 
 
Le problème majeur dans l'analyse spectrale de séries 
temporelles contenant des trous d’observations est la 
présence, dans le spectre de puissance, de pics parasites 
appelés "sides lobes" qui rendent la détection des fréquences 
propres du signal très difficile. En effet, la FFT ne prend pas 
le zéro comme un élément neutre. La FFT d’un signal 
contenant des lacunes revient à convoluer le spectre du signal 
par celui de la fenêtre qui décrit en gros l’alternance jour/nuit. 
Plusieurs méthodes ont été alors développées pour analyser 
les signaux irrégulièrement échantillonnés. Dans notre cas 
nous nous intéressons à deux méthodes. La première consiste 
à un ajustement par moindres carrés des fonctions sinus aux 
données (CLEAN). L’autre consiste  à corriger le signal des 
effets de la fenêtre d’observation par déconvolution. 
 
2. Observations 
 
Les données qui font l’objet de cette étude ont été obtenues 
avec la station laser-lune de l’Observatoire de la Côte d’Azur 
sur le plateau de Calern. Le principe de la mesure est simple 
[1], on calcule le temps de trajet aller-retour d’une impulsion 
lumineuse émise par un laser à travers un télescope entre la 
station et un des différents réflecteurs se trouvant sur la Lune. 
Après deux secondes et demi environ, une partie de cette 
lumière est renvoyée et sera reçue sur le même télescope. En 
multipliant cette mesure par la vitesse de la lumière et en la 
divisant par 2, on obtient alors la distance de ce télescope à la 
Lune, après quelques corrections pour la traversée de 
l’atmosphère. Les résidus sont alors obtenus en calculant la 
différence entre la distance observée et celle prédite par la 
théorie tenant compte de tous les effets connus. Tous les 
résidus laser lune acquis à l’observatoire depuis 1987 de 
Calern sont présentées sur la figure 1. De ces observations on 
peut constater que les données ont la particularité d’avoir un 
échantillonnage temporel irrégulier et une présence de trous 
d’observation qui nécessitent des traitements adéquats pour 
l’analyse des données. En outre les données présentent un 
bruit variable. 
 
3. Le Variogramme 
 
Afin d’évaluer le niveau de bruit dans les données, on a 
utilisé la notion de variogramme, équivalente à celle de la  
 FIG. 1 : résidus laser lune durant la période 1987-2000 
 
 
fonction de structure  introduite par Kolmogorov [2], et très 
utilisée en géomorphologie (krigeage) car bien adaptée à 
l’étude des fonctions aléatoires à incrément stationnaire. Cela 
consiste à évaluer comment varie le carré de l’écart de la 
fonction aléatoire avec la distance. Ce variogramme est 
défini, pour un processus aléatoire S(t) dépendant du temps 
comme suite :  
                 [ ]
2
1
)()(2
1)( ∑
=
−+=
N
i
ii tSdtSNdV
                  (1) 
 
où E est l’espérance mathématique d’une fonction et d la 
distance considérée entre deux échantillons. 
Si on pose que V(d) est indépendant de la position t on dit que 
le processus aléatoire est invariant par incrément.  
La présence d’un signal dans les données se traduit par une 
variation du variogramme au cours de la période 
d’observation considérée. Par contre le variogramme est plat 
si on n’est en présence que de bruit. La figure 2 montre le 
variogramme des données en prenant différentes valeurs de d.  
 
 
Les trous dans le variogramme sont liés aux conditions 
d’observation : alternance jour-nuit, périodes de nouvelles et 
pleines lunes, variations systématiques des conditions 
météorologiques selon la saison. 
Cette étude nous a permis de constater que le bruit mesuré 
était bien en accord avec celui indiqué par les 
expérimentateurs, mais elle a permis aussi de montrer 
l’existence de signaux cohérents dans les résidus. En effet, on 
peut constater sur les différents variogrammes  des 
périodicités apparentes.   
 
 
4. La Méthode CLEAN 
 
L’analyse spectrale des données a été faite en utilisant la 
méthode CLEAN [3] avec réajustement final. CLEAN est un 
algorithme de matching pursuit appliqué par les 
radioastronomes pour la restauration des images en synthèse 
d’ouverture. Son adaptation à l’analyse spectrale consiste à 
effectuer une recherche itérative des raies ayant le plus 
d’énergie, sans tenir compte des effets d’interférence. On 
soustrait dans le signal l’effet de ces raies, au fur et à mesure 
de leur détection. Le processus est arrêté lorsqu’on estime 
qu’il ne reste plus que du bruit dans les données résiduelles. 
Une fois le spectre de raies obtenu, on réajuste les paramètres 
de chaque onde extraite en recalculant sa fréquence et son 
amplitude par moindres carrés. 
Toutes les données sont alors ajustées sur une plage 
fréquentielle donnée par une fonction sinus ayant une 
fréquence ω, une amplitude R et une phase ϕ : 
 
            ))²cos((),,(
0
ϕωµϕω +−−=∑
=
tRxRE
nt
tt
i           (2) 
 
où µ est la valeur moyenne des données tx , or avec µ−= ii xy  
 
nt
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 2 : variogramme des résid
               pas 0.1j. d 10j, c) pas 1
          ))²cos((),,(
0
ϕωϕω +−=∑
=
tRyRE
tt
i         (3) 
 
L’équation n’est pas linéaire en R et  ϕ mais on peut la 
réécrire comme suite :   
 
        )))²sin()cos(((),,(
0
tbtaybaE
t
tt
i
n
ωωω +−=∑
=
       (4) 
 
Nous avons alors le problème classique consistant à 
déterminer les coefficients (a, b, ω) qui minimisent l'erreur E. 
La fréquence qui convient le mieux est celle qui réduit le plus 
 
us laser. a) pas 0.01j. d 1j,  b) 
j. d 100j, d) pas 10j. d 1000j 
ce résidu.  
Si e= a²+b², est l’énergie associée à la fréquence ω, chercher 
celle qui a la plus grande énergie, n’est pas nécessairement 
celle qui réduit le plus le résidu. En effet si la répartition des 
instants de mesure est telle que les vecteurs associés à deux 
fréquences ω1 et ω2 sont orthogonaux,  l’énergie dans la 
somme des deux signaux est bien la somme des énergies et 
donnent ainsi deux informations indépendantes, mais dans le 
cas contraire, si les signaux ne sont pas orthogonaux, la 
fréquence qui a l’énergie la plus grande n’est pas 
nécessairement celle qui réduit le mieux le résidu. Le pas 
choisi d’échantillonnage de la plage de fréquence est celui qui 
résulte de l’intervalle d’observation (pas de Shannon) T1  où 
T est la durée totale  des mesures. Pour la fréquence de 
coupure, on a choisi celle qui résulte du plus petit intervalle 
entre deux observations )(1 min∆  où min∆  représente le plus 
petit intervalle entre deux échantillons.  
Un periodogramme, analogue à une densité spectrale, est 
alors construit en traçant l’amplitude R en fonction de ω sur 
tout l’intervalle de fréquence qui nous intéresse.  
La figure 3 montre le spectre reconstitué à partir des termes 
fréquentiels extraits de la méthode CLEAN dans les résidus 
laser-lune après plusieurs itérations. On constate sur ce 
spectre un phénomène de décomposition de raies autour de 
raies principales.   
La figure 4 montre l’énergie de ces raies en fonction de leur 
rang de détection. Cette énergie suit une loi de puissance avec 
le rang.     
 
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5
0
0 . 00 5
0 .0 1
0 . 01 5
0 .0 2
0 . 02 5
fré q ue n c e  (1 / jo u r)
am
pl
itu
de
 (
m
)
 
                                                                                                                                                                                                       
FIG. 3 : spectre reconstitué 
 
 
 
5
 
fe
co
fe
  
Afin d’appliquer une déconvolution discrète, il est nécessaire 
de rendre l’échantillonnage régulier, mais toujours lacunaire. 
Pour cela on détermine une fonction fenêtre par les moyennes 
journalières pondérées des résidus pour les journées où il y a 
des données et zéro pour les autres journées. 
Dans l'espace fréquentiel, pour un signal régulièrement 
échantillonné, l'équation (5) s'écrit :   
    
                   S X P( ) ( ) ( )υ υ υ= ∗                  (6) 
 
où ∗  représente l’opération de convolution et )(υX  et P( )υ  
sont respectivement les transformées de Fourier du signal vrai 
et de la fonction fenêtre.  
Si on considère que le temps d’intégration des observations 
tend vers l’infini, et que les parties réelles et imaginaires de 
)(υX  et P( )υ  sont aléatoires et indépendantes, on déduit de 
l'équation (6) la relation suivante : 
 
                )()()( 222 υυυ PXS ∗=               (7) 
 
Par l’application de la Transformation de Fourier inverse sur 
le produit de convolution de l'équation (7), on aura un simple 
produit de deux autocorrélations X t( )  et P t( ) : 
 
                
s x pA C A C A C( ) ( ). ( )ρ ρ ρ=                 (8) 
 
où )(ρxAC et )(ρpAC sont  respectivement l’autocorrélation 
des données et celle de la fenêtre d’observation. 
Le spectre de puissance déconvolué est ainsi obtenu par [4] : 
 
                    2
X A CA CT F
s
p
( ) ( )( )υ
ρ
ρ=








                    (9) 
L’inconvénient de ce type de méthode  est la nécessité de se 
ramener à un échantillonnage régulier, ce qui revient à faire 
des interpolations et des estimations de la valeur des points 
manquants. En outre le spectre de puissance déconvolué -1 . 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 4 : distribution de l’énergie des raies  
 
 
. La Méthode de Déconvolution 
La méthode consiste à déconvoluer le signal par la fonction 
nêtre d’observation. Le signal observé S t( )  peut s’écrire 
mme un produit d'un signal vrai X t( )  et d'une fonction 
nêtre P t( ) : 
                     S t X t P t( ) ( ) . ( )=                     (5) 
possède des valeurs négatives qui n’ont pas lieu d’être. Ceci 
est dû à la non-validité des approximations prises pour établir 
l’équation (7). Le point fort de cette méthode consiste dans la 
diminution très nette de l’effet des lobes secondaires. 
L’énergie de ces derniers est redistribuée sur les pics réels 
correspondant aux fréquences propres du signal. Par 
conséquent,  l’amplitude de l’énergie des fréquences propres 
augmente d’un facteur d’environ 2, ce qui peut permettre leur 
détection. 
La figure 5 montre le spectre de puissance des résidus laser 
lune sans et avec la méthode de déconvolution de la fenêtre 
d’observation. L’effet de la fenêtre d’observation a diminué 
alors que l’énergie des pics détectés a augmenté.  
 
 
6. Résultats et discussion 
 
Deux méthodes ont été développées et utilisées pour 
analyser les résidus laser-lune obtenus à l’Observatoire de la 
Côte d’Azur durant la période de 1987 à 2000.  
Les résultats obtenus avec ces deux méthodes sont en accord 
pour les basses fréquences. Pour les fréquences supérieures à  
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
-2 . 5
-2 . 4
-2 . 3
-2 . 2
-2 . 1
-2
-1 . 9
-1 . 8
-1 . 7
lo g (ra n g )
lo
g 
(a
m
pl
itu
de
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
2
4
6
8
10
x 10
-5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
2
4
6
8
10
x 10
-5
fréquence (1/jour)
de
ns
ité
 s
pe
ct
ra
le
 (m
².j
))
(a) 
(b) 
 
 
FIG. 5 : densité spectrale des résidus laser. a) sans      
       déconvolution, b) avec déconvolution 
 
 
½ jours-1, la méthode de déconvolution ne permet pas 
d’explorer le signal en raison de la fréquence de coupure 
qu’on s’est imposé en faisant des moyennes journalières afin 
de satisfaire les exigences de la méthode.  
 
L’analyse des résidus laser avec CLEAN a permis de 
montrer : 
 
• Un phénomène de décomposition des raies autour 
d’une raie principale (splitting), caractéristique du 
couplage d’un phénomène d’oscillation avec une 
rotation. Ce phénomène peut être dû à une 
modélisation insuffisante de la marée terrestre dans 
le calcul des résidus. 
• L’énergie des ondes détectées varie suivant une loi 
de puissance avec leur rang. Une partie des résidus 
laser-lune pourrait être liée à un phénomène naturel 
comme la sismologie terrestre.  
• Une partie notable de l’énergie correspond à des 
termes périodiques. Aucun effet non stationnaire n’a 
pu être détecté. 
 
 
7. Conclusion 
 
Les résidus laser-lune issus des observations faites à 
l’Observatoire de la Côte d’Azur de 1987 à 2000 montrent 
des variations durant toute la période d’observation. Depuis le 
démarrage de la station du laser-Lune jusqu’à maintenant, les 
mesures de distances sont faites quotidiennement à 
l’exception des jours où les conditions atmosphériques ou 
expérimentales sont mauvaises. Ces discontinuités 
d’observation introduisent des particularités dans les données 
des résidus que sont la non-régularité de l’échantillonnage et 
la présence de trous d’observation. Des méthodes spectrales 
adéquates sont requises pour extraire des données les termes 
périodiques significatifs. Pour cela, deux méthodes qui 
tiennent compte des particularités des données ont été 
développées, l’une basée sur l’algorithme CLEAN et l’autre 
cherchant à déconvoluer la densité spectrale de la fenêtre 
d’observation.  
 
L’analyse montre qu’il faut peut être ajouter au modèle 
théorique actuel de nouveaux paramètres afin d’expliquer la 
décomposition des raies dans le spectre obtenu. 
 
 
 
Références    
 
[1]  E. Samain, J.F. Mangin, C. Veillet et al.,  1998,     
       Millimetric Lunar Laser Ranging at OCA. Astron.    
       Astrophys. Suppl. ser. 130, 235-244. 
 
[2]  A. N Kolmogorov, Dissipation of energy in localy- 
       isotropic turbulence. Doklady. Acad.  Sci. U. S. S. R,  
       32(1), 1941. 
 
[3]  N. R. Lomb, Least squares frequency analysis of  
       unequally spaced data. Astrophysics and space Science       
       39 (1976) 447-462. 
 
[4] E. Fossat., 1992, Astron. Astrophys. 263, 443-452 
 
 


Analyse spectrale des résidus de la télémétrie laser sur la lune

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues