Dans le cadre de la détection d'une cible évoluant à site bas ou d'une cible éclairée par un radar à haute résolution distance, la nature impulsionnelle du bruit environnant écarte l'hypothèse gaussienne généralement retenue pour la modélisation de la statistique de ce fouillis. Nous proposons, dans ce papier, une modélisation par approximants de Padé de la fonction génératrice de moments de l'enveloppe du bruit additif, et, éventuellement des lois de fluctuations de la cible. Cette méthode permet l'évaluation des performances de détection d'un radar sans connaissance a priori sur la nature statistique du bruit environnant

JAY, Emmanuelle

OVARLEZ, Jean-Philippe

I-Revues

Estimation Paramétrique des Performances de Détection
Radar en Environnement Inconnu
Emmanuelle Jay
1,2
, Jean-Philippe Ovarlez
2
1
ENSEA/UCP-ETIS
6, avenue du Ponceau, BP 44, 95014 Cergy-Pontoise, France
2
ONERA DEMR/TSI
BP 72, 92322 Châtillon Cedex, France
jay@onera.fr, ovarlez@onera.fr
Résumé  Dans le cadre de la détection d'une cible évoluant à site bas ou d'une cible éclairée par un radar à haute résolution
distance, la nature impulsionnelle du bruit environnant écarte l'hypothèse gaussienne généralement retenue pour la modélisation
de la statistique de ce fouillis. Nous proposons, dans ce papier, une modélisation par approximants de Padé de la fonction
génératrice de moments de l'enveloppe du bruit additif, et, éventuellement des lois de uctuations de la cible. Cette méthode
permet l'évaluation des performances de détection d'un radar sans connaissance a priori sur la nature statistique du bruit
environnant.
Abstract  The spiky nature of the clutter encountered in surface-sited radar for the detection of target illuminated at low
grazing angles or in high resolution radar tends to have a statistic which strongly diers from the gaussian assumption. The
parametric modelisation of the moment generating function of the noise envelope by Padé approximation proposed here leads
to a powerful estimation of its probability density function and allows to evaluate the radar detection performances of target
embedded in any noise without knowledge a priori of the closed form of its statistic. It allows in the same way to take into
account any possible uctuation of the target.
1 Description du problème
Des mesures de fouillis de sol issues d'expérimentation
de l'ONERA ainsi que d'organismes extérieurs tel le MIT
[1] ont montré le net écart entre la réalité et les modèles
statistiques classiquement utilisés dès lors que la cible évo-
lue à site très bas (incidence inférieure à quelques degrés)
ou que le pouvoir de résolution distance du radar aug-
mente (baisse du nombre de réecteurs élémentaires du
fouillis de sol). Dans ces situations, la statistique globale
du fouillis peut ne plus s'apparenter à une loi gaussienne
(le théorème central limite ne s'applique plus) mais à des
lois possédant un nombre de degrés de liberté plus élevé
(ex: loi de Weibull ou K-distribution).
L'utilisation de la méthode des approximants de Padé ap-
pliquée à l'estimation de la densité de probabilité (DP) de
l'enveloppe du bruit permet de ne plus se donner de mo-
dèle a priori sur sa statistique. En eet, basées sur une es-
timation de la fonction génératrice de moments (FGM), les
expressions des DP associées sont entièrement déterminées
par deux jeux de coecients complexes de petite taille,
obtenus directement à partir des données via la connais-
sance ou l'estimation de leurs moments d'ordre supérieur.
Ces expressions se présentent sous la forme d'une somme
d'exponentielles décroissantes, et leur utilisation quant à
l'évaluation des performances de détection (expressions de
la probabilité de détection P
d
; calcul du seuil de détection
 à probabilité de fausse alarme P
fa
constante) simplie
considérablement les calculs à la fois pour les expressions
littérales et pour leur mise en ÷uvre.
Après avoir testé son ecacité sur signaux synthétiques,
nous avons appliqué la méthode sur des relevés de fouillis
de forêt (avec une cible virtuelle d'enveloppe constante)
an de comparer les résultats obtenus à ceux d'une hypo-
thèse gaussienne généralement retenue pour ce type d'ana-
lyse.
2 Théorie générale de la détection
La théorie de la détection suivant le critère deNeymann-
Pearson xe la probabilité de fausse alarme P
fa
et maxi-
mise la probabilité de détection P
d
. Le schéma de détec-
tion classiquement rencontré en radar est le suivant:
Hypothèse H
0
: x(t) = n(t) + c(t)
Hypothèse H
1
: x(t) = s(t) + n(t) + c(t) (1)
Si on note par p
H
0
(r) la densité de probabilité de l'enve-
loppe du signal x(t) complexe sous l'hypothèse H
0
(bruit
thermique gaussien et fouillis : jn(t)+c(t)j), pour une pro-
babilité de fausse alarme P
fa
xée, le seuil de détection 
est donné par la résolution de l'équation :
P
fa
=
Z
+1

p
H
0
(r) dr; (2)
tandis que, en notant p
H
1
(r) la densité de probabilité de
l'enveloppe du signal noyé dans le bruit js(t)+n(t)+c(t)j,
la probabilité de détection P
d
est donnée par le calcul de :
Pd
=
Z
+1

p
H
1
(r) dr: (3)
Sous l'hypothèse d'une densité de phase uniforme entre
les voies I et Q en quadrature du signal x(t) reçu, il est pos-
sible de lier la densité de probabilité de l'enveloppe bruit
+ cible avec celle de l'enveloppe du bruit seul, en passant
par les fonctions caractéristiques cohérentes radiales des
diérents processus.
Après quelques calculs élémentaires [2] la fonction ca-
ractéristique cohérente radiale d'un processus de densité
d'enveloppe p(r) s'écrit :
C() =
Z
+1
0
p
r
(r) J
0
( r)dr; (4)
avec J
0
(x) fonction de Bessel d'ordre 0. En inversant la
formule (4), on peut exprimer p
r
(r) à partir de C() :
p
r
(r) =
Z
+1
0
r C() J
0
( r)d (5)
Dans notre cas, où x(t) = s(t) + n(t) + c(t), on obtient
grâce à la formule précédente :
p
H
1
(r) =
Z
+1
0
r C
s+n+c
() J
0
( r)d
Le signal s(t) étant indépendant du bruit n(t) + c(t), on
a C
s+n+c
() = C
s
()C
n+c
().
Dans le cas où A est déterministe, p
r
(r) = (r A) ((:)
étant la distribution de Dirac) et, d'après (4), C
s
() =
J
0
(A). On obtient alors :
p
H
1
(r=A) =
Z
+1
0
Z
+1
0
r  J
0
( r) J
0
( y)p
H
0
(y)
 J
0
(A) dy d; (6)
Dans le cas d'une cible de loi de uctuations p(A;A
0
)
(où A
2
0
est la puissance moyenne des uctuations), on a :
p
H
1
(r) =
Z
+1
0
Z
+1
0
r  J
0
( r) J
0
( y)p
H
0
(y)


Z
+1
0
J
0
(A) p(A;A
0
) dA

dy d (7)
Cette relation est très importante, car la seule détermi-
nation de la densité de probabilité de l'enveloppe du bruit
seul permet d'obtenir toutes les autres expressions d'inté-
rêt. La méthode décrite ci-dessous va nous permettre de
simplier cette DP (dès lors que p
H
0
est approximée par
une somme d'exponentielles décroissantes), et de calculer
P
d
.
3 Les approximants de Padé
Pour une variable aléatoire R de densité d'enveloppe
p(r), de fonction génératrice de moments(u) = E(e
 uR
),
on a (u) =
X
n0

n
( u)
n
n!
, où 
n
désignent les moments
d'ordre n de R. La théorie des approximants de Padé
[3, 4] consiste à construire une approximation de (u)
sous forme de fraction rationnelle dont le dénominateur
et le numérateur sont respectivement de degré M et L, de
telle sorte à ce que son développement en puissance crois-
sante coïncide à l'ordre n avec celui de (u) jusqu'à l'ordre
L+M . En notant par P
[L=M ]
(u) cette approximation, on
a, par dénition :
P
[L=M ]
(u) =
L
X
n=0
a
n
u
n
M
X
n=0
b
n
u
n
=
L+M
X
n=0
c
n
u
n
+O(u
L+M+1
) (8)
où les coecients fa
n
g et fb
n
g sont dénis pour avoir cette
égalité.
La notation O(u
L+M+1
) signie que l'on néglige les
termes de puissance strictement supérieure à L +M . La
détermination des coecients fa
n
g et fb
n
g, qui constitue
l'approximation de Padé à 1 point (u ! 0) de la FGM,
est décrite dans [2].
Il est désormais possible de calculer très simplement la
densité de probabilité et la fonction de répartition de la
variable R par transformée de Laplace inverse, dès lors que
la fonction génératrice de moments peut se mettre sous la
forme d'une fraction rationnelle du type (8), décomposée
en éléments simples :
P
[L=M ]
(u) =
M
X
k=1

k
u  
k
Re(
k
< 0) (9)
En supposant que P
[L=M ]
(u) n'ait que M pôles simples
{
k
} distincts et à partie réelle négative, les expressions
de la densité de probabilité et de la fonction de répartition
s'écrivent :
p(r) =
M
X
k=1

k
e

k
r
; F (r) = 1 +
M
X
k=1

k

k
e

k
r
(10)
Le réglage des paramètres L etM nécessaires à la déter-
mination des coecients fa
n
g et fb
n
g se fait selon le signe
de la partie réelle des pôles 
k
(changement de valeurs si
elle n'est pas négative). Dans la suite, nous considérons le
cas des approximations subdiagonales (cas où L = M   1)
pour lesquelles la convergence et l'unicité ont été établies
[5] ainsi que la convergence vers 0 de la FGM en l'1.
4 Application à la détection
4.1 Cible non uctuante
Dans le cas d'une cible d'enveloppe constante js(t)j = A
noyée dans un bruit supposé inconnu, mais dont la statis-
tique de test p
H
0
(r) est entièrement déterminée par les
deux jeux de M coecients f
k
g et f
k
g, le calcul du
seuil de détection  à P
fa
xée est donné par la résolution
de l'équation suivante (recherche de zéros par la méthode
de Newton) :
Pfa
=  
M
X
k=1

k

k
e

k

; (11)
et la probabilité P
d
de détecter la cible devient
P
d
= 1 
Z
+1
0
M
X
k=1

k

J
0
(A) J
1
( )
p

2
+ 
2
k
d; (12)
où J
n
(x) est la fonction de Bessel d'ordre n, et d'après les
tables [6].
4.2 Cible uctuante
Il est également possible de prendre en compte les uc-
tuations de la cible, en modélisant la loi p(A;A
0
) (où A
2
0
est la puissance moyenne des uctuations) comme (10),
grâce à deux autres jeux de N coecients f
i
g et f
i
g,
calculés pour A
2
0
= 1 :
p(A;A
0
) =
N
X
i=1

i
A
0
e

i
A
0
A
(13)
On obtient alors, après intégration de (12) sur A selon
(13), et avec le même seuil  calculé avec (11) :
P
d
= 1 
Z
+1
0
M
X
k=1
N
X
i=1

k

i
A
0
 J
1
( )
p

2
+ 
2
k
r

2
+

2
i
A
2
0
d;
(14)
Cette expression est un résultat important car elle per-
met de calculer toute performance de détection radar (d'en-
veloppe), pour une cible de comportement quelconque noyée
dans un bruit totalement inconnu. La méthode par modéli-
sation paramétrique réduit les temps de calculs nécessaires
à l'évaluation de P
d
, des sommes discrètes intervenant dé-
sormais à la place d'intégrales généralisées.
4.3 Schéma générique d'application
Approximation par Padé
de la densité de l'enveloppe
des fluctuations de la cible
Approximation par Padé
de la densité de
l'enveloppe du bruit (H0)
Données
expérimentales
du bruit
 Fluctuations
de la cible
Données
expérimentales
Enveloppe
constante
Détermination
de la loi de
probabilité
de l'enveloppe
bruit + cible
 (H1)
Seuil de
détection
obtenu à
 Pfa fixée
Expressions Analytiques Simplifiées
de la Probabilité de Détection Pd
Fig. 1: Schéma générique d'application de la méthode des
approximants de Padé
5 Exemples de résultats
5.1 Signaux synthétiques
La méthode a été testée sur un bruit de nature très
éloignée d'un bruit gaussien, de densité d'enveloppe K-
distribuée de puissance 
2
= 1, de paramètre de forme
 = 0:1, et de paramètre b = 2
p


2
= 2
p
0:1, de densité
de probabilité :
p
b
(r) =
2 b
 ()

br
2


K
 1
(b r);
de fonction de répartition
F (r) = 1 
(br)

 () 2
 1
K

(b r);
et de fonction caractéristique cohérente radiale
C() =

1 +

2
b
2

 
où K

(x) est la fonction de Bessel modiée de deuxième
espèce.
Le seuil théorique  de détection dans un tel bruit est
donné par la résolution de : P
fa
= 1 F (), et l'expression
de P
d
pour une cible d'enveloppe constante s'écrit :
P
d
= 1 
Z
+1
0

J
0
(A) J
1
( )

1 +

2
b
2


d: (15)
Nous allons considérer comme uctuations de la cible
A, une loi de Swerling I, qui a pour densité p(A;A
0
) (de
puissance A
2
0
) :
p(A;A
0
) =
2A
A
2
0
e
 A
2
=A
2
0
:
En intégrant alors l'expression (15) sur A selon p(A;A
0
),
l'expression théorique de la probabilité de détection d'une
cible uctuant selon une loi de Swerling I noyée dans un
bruit K-distribué de paramètre  = 0:1 et de puissance
unité s'écrit :
P
d
= 1 
Z
+1
0

J
1
( ) e
 
2
A
2
0
=4
(1 + 
2
=b
2
)

d: (16)
La gure 2 (gauche) illustre des tracés théoriques de courbes
P
d
=P
fa
pour un rapport Signal à Bruit variant de 10 à 50
dB, alors que la gure de droite expose des tracés simi-
laires, obtenus par simulation puis estimation par approxi-
mants de Padé. Un seul calcul des coecients de Padé est
nécessaire pour les uctuations de la cible (pour A
2
0
= 1) ;
la loi en est déduite pour chaque valeur du RSB.
10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rapport Signal à Bruit (RSB)
Pd
Courbes théoriques
Pfa = 10
−3
Pfa = 10
−9
10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rapport Signal à Bruit (RSB)
Pd
Courbes obtenues par Padé
Pfa = 10
−3
Pfa = 10
−9
Fig. 2: Courbes théoriques (gauche) et ap-
proximées (droite) de détection pour P
fa
=
10
 3
; 10
 4
; 10
 5
; 10
 6
; 10
 9
: cible (Swerling I) dans
du bruit K-distribué ( = 0:1, 
2
= 1).
5.2 Signaux réels
Le signal réel analysé ici correspond à du fouillis de forêt
enregistré spatialement dans 246 cases distance de 0.5 m
(cf gure 3). Par commodité, la puissance du bruit a été
normalisée à un. Les diérents moments des données x
i
ont été estimés classiquement (^
n
=
1
N
N
X
i=1
x
n
i
) jusqu'à
l'ordre 11.
La gure 3 montre la densité de probabilité obtenue
grâce aux approximations de Padé à l'ordre [5=6]. Sur la
première courbe, l'enveloppe du bruit a été tracée et on
peut se rendre compte des diérences notables entre les
deux seuils de détection calculés pour une même probabi-
lité de fausse alarme de P
fa
= 10
 6
: le premier, 
1
= 6:47
calculé par résolution de l'équation (11) correspond au vé-
ritable seuil de détection de ce bruit et l'autre, 
2
= 3:71,
au seuil classique obtenu dans le cas de l'hypothèse gaus-
sienne.
Pour calculer les performances théoriques de détection
d'enveloppe d'une éventuelle cible d'enveloppe constante
et non uctuante noyée en amplitude et phase dans ce
bruit complexe (normalisé ici à la puissance unité 
2
= 1),
la probabilité de détection de l'expression (12) a été calcu-
lée numériquement pour diérents rapports signal à bruit
A
2
=
2
. La gure 4 montre ainsi les performances obte-
nues par rapport à l'hypothèse gaussienne. On peut voir
d'après cette gure que le taux de fausses alarmes aug-
mente considérablement dans le cas d'une hypothèse gaus-
sienne (le tracé correspond, pour la réalité du fouillis, à
P
fa
= 1:34:10
 4
).
50 100 150 200
0
2
4
6
8
10
Seuils de détection à Pfa=10−6
θ1 = 6.47
θ2 = 3.71
Cases Distance
En
ve
lo
pp
e
a) Enveloppe du fouillis de sol analysé
Seuil réel
Seuil hyp. gaussienne
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
b) Densité de probabilité du fouillis de sol
Niveau de l’enveloppe
Fig. 3: Résultat d'approximation obtenu sur bruit réel de
fouillis de forêt.
6 Conclusion
Ce papier propose une méthode de modélisation par un
petit nombre de paramètres de la vraie densité de probabi-
lité d'un processus complexe à partir de sa fonction géné-
ratrice de moments, mise sous forme d'une fraction ration-
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Comparaison entre probabilités de détection
S/B (dB)
Pd
Données réelles 
Hyp. gaussienne
Fig. 4: Comparaison entre les performances de détection
dans un bruit réel (fouillis de forêt) et un bruit complexe
gaussien de même puissance pour une P
fa
= 10
 6
.
nelle. Elle rappelle les méthodes de modélisation de den-
sité spectrale AR, ARMA, et permet de simplier consi-
dérablement les calculs pour l'analyse des performances
de détection d'un radar. Elle nécessite (entre autres) l'es-
timation des moments d'ordre supérieur des données, et à
cet eet, plus on dispose de données, meilleure sera cette
estimation. Ce problème n'a pas été abordé ici, puisque
soit un nombre susant de variables a été simulé pour
prétendre à des estimations de bonne qualité, soit les ex-
pressions analytiques des moments ont été utilisées.
Références
[1] J.B. Billingsley, "Ground Clutter Measurements
for Surface-Sited Radar", Technical Report 780, MIT,
February 1993
[2] J.P. Ovarlez, E. Jay, New Methods of Ra-
dar Detection Performances Analysis, Proc.IEEE-
ICASSP99, Phoenix USA, March 1999
[3] H. Amindavar, J. A. Ritcey, "Padé Approxima-
tions for Detectability in K-Clutter and Noise, IEEE
Trans.-AES, Vol.30, No.2, April 1994
[4] H. Amindavar, J. A. Ritcey, "Padé Approxima-
tions of Probability Density Functions, IEEE Trans.-
AES, Vol.30, No.2, April 1994
[5] H. Amindavar, "Applications of Padé Approxima-
tions in Signal Analysis", UMI Dissertations Services,
Ph.D., University of Washington, 1991
[6] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of
Mathematical Functions", National Bureau of Stan-
dard, AMS 55, June 1964
[7] M. Rangaswamy, D. Weiner, A. Öztürk, "Com-
puter Generation of Correlated Non-Gaussian Radar
Clutter", IEEE Trans.-AES, Vol.31, No.1, January
1995


Estimation paramétrique des performances de détection radar en environnement inconnu

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