- Nous étudions une énergie de segmentation d'image pour laquelle la solution minimisante peut être déterminée explicitement. L'approche estime à la fois le nombre inconnu d'objets et les frontières associées en sélectionnant un ensemble restreint de lignes de niveau de l'image. Dans notre cas, aucune minimisation d'énergie est requise et l'algorithme résultant est non-itératif. Des techniques de filtrage anisotropique sont introduites pour lisser les lignes de niveau des images bruitées

HOEBEKE, Mark

KERVRANN, Charles

TRUBUIL, Alain

I-Revues

Segmentation d'Images par Selection de Courbes de Niveau
Charles Kervrann, Mark Hoebeke, Alain Trubuil
INRA { Biomerie
Domaine de Vilvert, 78352 Jouy en Josas, France
Charles.Kervrann@jouy.inra.fr, Mark.Hoebeke@jouy.inra.fr, Alain.Trubuil@jouy.inra.fr
Resume { Nous etudions une energie de segmentation d'image pour laquelle la solution minimisante peut e^tre determinee
explicitement. L'approche estime a la fois le nombre inconnu d'objets et les frontieres associees en selectionnant un ensemble
restreint de lignes de niveau de l'image. Dans notre cas, aucune minimisation d'energie est requise et l'algorithme resultant est
non-iteratif. Des techniques de ltrage anisotropique sont introduites pour lisser les lignes de niveau des images bruitees.
Abstract { We study an image segmentation energy, which minimizer can be determined. The approach estimates the unknown
number of objects and draws object boundaries by selecting the \best" level lines computed from level sets of the image. As a
consequence, no energy minimization methods is necessary, yielding to a fast and non-iterative segmentation algorithm. Finally,
anisotropic diusion is used to smooth level lines in noisy images.
1 Introduction
Nous considerons ici le probleme de la segmentation
d'image lorsque l'image reconstruite est supposee constante
par morceaux. L'analyse bayesienne d'image [5] procure
des solutions elegantes a ces problemes de segmentation.
Elle conduit en denitive a la formulation du probleme
comme celui de la minimisation globale d'une fonction-
nelle d'energie me^lant variables observables et parametres
du modele [5, 3, 7, 11, 10, 13]. Cette fonctionnelle se de-
compose elle-me^me en deux termes distincts : un premier
terme mesurant la qualite de l'approximation et un second
terme qui encourage a priori l'emergence de regions deli-
mitees par des bords reguliers. Les modeles mis en jeu dans
ce contexte peuvent e^tre discrets (modeles markoviens [5])
ou continus (contours actifs [4], fonctionnelle de Mumford
et Shah [11, 10, 13]). Cependant, la mise en uvre de
ces methodes peut s'averer delicate en raison de la charge
calculatoire necessaire pour mener la minimisation globale
des energies [5, 3, 7].
Nous nous interessons ici aux questions de performance
et de rapidite des schemas de segmentation non-supervises
s'appuyant sur une minimisation de fonction d'energie. On
peut remarquer qu'il n'est pas toujours aise d'expliciter le
minimum global de fonctions non-convexes utiles dans les
applications [10]. Il appara^t donc pertinent d'etudier les
fonctionnelles pour lesquelles les solutions peuvent e^tre
determinees a l'avance. On peut alors s'aranchir de re-
courir a des procedures iteratives de minimisation lors de
la mise en uvre de l'algorithme de segmentation. Nous
avons choisi ici des energies simples qui se declinent par le
choix judicieux de termes de regularisation adjoints a un
modele de log-vraisemblance des observations. Pour ces
choix de modeles de segmentation, il s'avere que les fron-
tieres des regions extraites se superposent a des lignes ou
courbes de niveau de l'image. Ces modeles d'energie intro-
duits par Beaulieu et Goldberg [1] dans un cadre discret
ne permettent pas cependant de contro^ler la regularite des
frontieres des regions. Nous introduisons donc un ltrage
anisotropique [2] de maniere a lisser les lignes de niveau et
reduire le bruit ambiant. L'algorithme complet de segmen-
tation realise ainsi d'une part une selection non-iterative
d'un sous-ensemble de lignes de niveau de l'image qui mi-
nimise l'energie globale de segmentation et d'autre part
un ltrage anisotropique de l'image contraint par la seg-
mentation. Quelques iterations susent pour obtenir la
stabilite de la carte de segmentation.
2 Formulation du probleme
On suppose l'existence d'une fonction inconnue f , i.e.
l'image originale denie de [0; 1]
2
sur R. Nous observons
un vecteur y = f + " discret de variables bruitees ou " est
un bruit blanc gaussien. Les observations sont reparties
regulierement sur une grille 2D :
y(s) = f(s) + "(s) (1)
ou y(s) est l'intensite observee au pixel s = (x; y) 2 [0; 1]
2
et N est le nombre de pixels de l'image. On suppose que
la minimisation de l'energie sur f permet de denir un
partitionnement de l'image en regions.
Soit 

i
 [0; 1]
2
; i = 1; : : : ; P une region ou objet de
l'image. Nous associons un modele energetique inspire de
[1, 6], aux regions dont les supports sont inconnus :
E(f;

1
; : : : ;

P
) =
P
X
i=1
Z


i
(f(x; y)   f


i
)
2
dxdy +  J(P;

i
) (2)
ou f


i
designe la luminance moyenne calculee sur le sup-
port de la region 

i
:
f


i
=
1
j

i
j
Z


i
f(x; y) dxdy ; j

i
j =
Z


i
dxdy; (3)
 est un reel positif et J(P;

i
) est une fonctionnelle a
priori qui permet d'imposer des contraintes sur la solution.
Notre objectif est de selectionner une collection C
P
de
regions (f

1
; : : : ;

P 1
g; P  1) disjointes, strictement
inclues dans [0; 1]
2
, simplement connexes, se superposant
sur le fond 

P
de l'image et telles que [
P
i=1


i
= [0; 1]
2
. Si
P = 1, l'image ne contient pas de regions. Une segmenta-
tion optimale de l'image f (si elle existe) est par denition
un minimum global de l'energie :
(

?
1
; : : : ;

?
P
?
) =
argmin
P1
argmin
(

1
;:::;

P
)2C
P
E(f;

1
; : : : ;

P
) : (4)
Une minimisation directe de cette energie sur les domaines
inconnus des regions 

i
et les parametres f


i
s'avere extre-
mement complexe. Dans le paragraphe suivant, nous prou-
vons que les frontieres des regions qui minimisent ce critere
correspondent a des lignes de niveau de l'estimateur non
parametrique de f . Pour cela, nous devons prendre par
exemple J(P;

i
) = P ou J(P;

i
) =
P
P 1
i=1
j

i
j. Ce choix
de fonctionnelle permet de penaliser uniquement l'emer-
gence d'un trop grand nombre de regions dans l'image et 
peut e^tre interprete comme un parametre d'echelle [1, 10].
3 Estimateur
Notre estimateur
b
f est un estimateur deni de la ma-
niere suivante :
(
c


1
; : : : ;
b


b
P
) =
argmin
P1
argmin
(

1
;:::;

P
)2C
P
E(
b
f ;

1
; : : : ;

P
) : (5)
La question de l'existence d'un minimumglobal admissible
pour des modeles de segmentation deni par Beaulieu and
Goldberg [1] ou Mumford et Shah [11] a ete abordee dans
[10] mais ne sera pas discutee ici.
3.1 Description du minimiseur
Nous faisons l'hypothese ad-hoc assurant l'existence d'un
minimumglobal de l'energie pour des fonctions prises dans
le voisinage de l'image originale f [6]. Dans ces conditions,
nous proposons le lemme suivant:
Lemme S'il existe un minimum global admissible pour
chaque fonction prise dans un voisinage de f et qu'aucun
minimum pathologique existe [6], alors
b
f
j@

i
 
i
; i = 1; : : : ; P   1 :
i.e. le bord @

i
de chaque objet 

i
est une frontiere d'un
ensemble de niveau de la fonction
b
f .
Preuve Sans perte de generalite, nous prouvons ce lemme
pour un objet 
 et un fond 

c
, ou 

c
designe l'ensemble
ferme complementaire de 
. Pour deux ensembles A et
B, on notera
Z
A B
b
f 
Z
A
b
f  
Z
B
b
f . Soit egalement 


une faible perturbation de 
, i.e. la distance de Hausdor
d
1
(


;
)   : On denit alors
Z



 

1I = j


j   j
j ; (6)

Z



b
f

2
 

Z


b
f

2
= 2
Z


b
f
Z



 

b
f +

Z



 

b
f

2
:
La dierence entre les energies est egale a E(f;


;

c

)  
E(f;
;

c
) = T
1
+ T
2
+ T
3
+ T
4
; avec
T
1
=
Z



b
f
2
 
Z


b
f
2
; T
2
= 
1
j


j

Z



b
f

2
+
1
j
j

Z


b
f

2
;
T
3
=
Z
[0;1]
2
 


b
f
2
 
Z
[0;1]
2
 

b
f
2
;
T
4
= 
1
1  j


j
 
Z
[0;1]
2
 


b
f
!
2
+
1
1  j
j
 
Z
[0;1]
2
 

b
f
!
2
:
En utilisant (6), on obtient
T
1
=
Z



 

b
f
2
; (7)
T
2
=  
2
j
j
Z



 

b
f
Z


b
f  
1
j
j

Z



 

b
f

2
+
1
j
j
2
Z



 

1I

Z


b
f

2
+ O

Z





1I

2
et des expressions similaires pour T
3
et T
4
. On denit
m
0
=
Z


1I ; m
1
=
Z


b
f ; K
1
=
Z
[0;1]
2
b
f ; (8)
P
0
=  
2m
1
m
0
+
2(K
1
 m
1
)
1 m
0
; P
1
=
m
2
1
m
2
0
 
(K
1
 m
1
)
2
(1 m
0
)
2
:
Soit M un point xe appartenant au bord @
 et 


tel que @


= @
 excepte sur un petit voisinage de M .
L'energie admettant un minimumpour 
,
b
f (M ) doit e^tre
solution de l'equation
P
0
b
f (M ) + P
1
= 0 (9)
qui admet une solution unique. P
0
and P
1
ne dependent
pas du choix de M et P
0
6= 0 . Donc,
b
f (M ) est constant
lorsque M couvre @
. 2
Nous venons de montrer que le minimiseur est une fa-
mille de courbes d'iso-intensite sur l'image pouvant e^tre
identiees par les frontieres d'ensembles de niveau.
3.2 Representation par lignes de niveau
Matheron a propose une representation ((morphologique))
des images par des ensembles de niveaux S

[8] :
S

= fs 2 [0; 1]
2
: f(s)  g (10)
pour des valeurs  situees dans la gamme de f . Cette
representation morphologique permet une reconstruction
complete et invariante aux changements de contraste, des
images [8]. Les ensembles de niveau peuvent e^tre identies
a partir des composantes connexes de l'image qui decrivent
les relations spatiales entre les intensites lumineuses. Une
operation de seuillage permet de construire une carte bi-
naire de l'ensemble S

, contenant plusieurs composantes.
Une representation analogue consiste a considerer seule-
ment les frontieres de ces ensembles de niveau, i.e. les
lignes de niveau [9]. On supposera que ces lignes sont
determinees par les frontieres des composantes connexes
pour des objets simplement connexes. Une region 

i
cor-
respondra a une composante connexe et les lignes de ni-
veau apparaissent commedes lignes continues d'iso-valeurs
situees aux bords des composantes. Notons que ces lignes
(frontieres des objets) n'ont aucun propriete de regularite.
Une ltrage anisotropique est donc preconise pour lisser
l'image au prelable tout en preservant les structures.
3.3 Regularisation des lignes de niveau
Black et al. ont montre que la diusion anisotropique
pouvait e^tre interpretee comme une procedure d'estima-
tion robuste d'une image constante par morceaux [2]. Il
est notamment etabli que, formulee dans un cadre discret,
l'equation de diusion construite autour de l'estimateur de
Tukey [12] preserve davantage les discontinuites et evite
un lissage trop important des structures de l'image. Les
equations de diusion correspondantes s'ecrivent :
f
t+1
(s) = f
t
(s) +

jG
s
j
X
p2G
s
z
sp
(f
t
(p)  f
t
(s)) (11)
z
sp
=


1  ((f
t
(p)  f
t
(s))=)
2

2
jf
t
(p)   f
t
(s)j  
0 sinon
ou t designe le nombre d'iterations,  est une constante
positive qui contro^le le taux de diusion, G
s
represente
le voisinage au 1
er
ordre de s, jG
s
j est le nombre de voi-
sins de s, z
sp
2 [0; 1] est un processus analogue a un pro-
cessus ligne qui indique la presence (z
sp
proche de 0) ou
l'abscence (z
sp
proche de 1) de discontinuites et  est un
parametre d'echelle.
Le parametre d'echelle  inuence les resultats du l-
trage et peut e^tre estime de maniere robuste [12, 2]. Dans
notre approche, nous privilegions une estimation robuste
de 
i
= k ~
i
adaptee a chaque objet 

i
ou k est un reel
positif,
~
i
= 2; 6477
v
u
u
t
2
j

i
j
j

i
j=2
X
l=0
r
2
0(l)
; (12)
et r
2
0(1)
 r
2
0(2)
     r
2
0(j

i
j=2)
est une suite ordonnee
de j

i
j=2 residus croissants [12], calcules a partir de l'ap-
proximation discrete des gradients de l'image [2].
Le lien entre l'extraction des lignes de niveau et le l-
trage adaptatif est ainsi clairement etabli.

A chaque itera-
tion t, les donnees sont lissees en fonction de 
i
calcule sur
le support de l'objet 

i
. Il est alors possible de contro^ler le
nombre d'iterations necessaire pour obtenir la stabilite de
la carte de segmentation. Invariablement, les me^mes lignes
de niveau sont extraites si l'image restauree est susam-
ment constante par morceaux, ce qui advient au bout de
cinq a dix iterations. Notons que le contro^le de la stabilite
de la restauration d'image par ltrage anisotropique eec-
tue independamment de la segmentation est delicat [2].
4 Implementation numerique
Soit les observations f
t
obtenues a l'iteration t apres l-
trage par diusion anisotropique. Quatre etapes sont ne-
cessaires pour construire une carte de segmentation.
Construction des ensembles de niveau Soit f
t
(s)
appartenant a [f
min
; f
max
] partitionne en K = 4; 8 ou 16
intervalles disjoints de me^me longueur f[l
1
; h
1
[; : : : ; [l
K
; h
K
]g.
Un pixel s est aecte a [l
j
; h
j
[ si l
j
 f
t
(s) < h
j
.
Extraction des objets On procede a un etiquetage
de l'image en composantes connexes permettant d'identi-
er chaque objet 

i
de taille signicative et le fond 

P
.
Ceci revient a construire K images g
j
t
; j = 1; : : : ;K pour
lesquelles g
j
t
(s) = ; 8s 2 S

et g
j
t
(s) = 0; 8s 62 S

. La
liste des composantes connexes pour chaque image permet
d'etablir la liste complete des objets f

1
; : : :

P 1
g.
D

etermination des configurations

A partir de la
liste f

1
; : : : ;

P 1
g, des congurations sont construites
en enumerant toutes les combinaisons possibles d'objets,
soit 2
P 1
congurations. Chaque conguration peut e^tre
indexee par une suite de bits exprimant la presence ou
l'absence d'un objet pour la conguration etudiee.
Calcul des

energies Les moyennes empiriques (3)
et les erreurs d'approximation (2) sont calculees une seule
fois pour tous les objets 

i
. Les quantites (2) et (3) as-
sociees au fond 

^
P
sont actualisees pour chaque congu-
ration traitee. La conguration qui minimise globalement
l'energie (2) determine la carte de segmentation optimale.
La complexite de l'algorithme depend essentiellement de
la longueur de la liste des objets.
Ces etapes sont enchainees au sein d'un algorithme:
{ Initialisation : Soit l'imageoriginale f
t
0
et un choix
de parametres K, ,  et k.
{ Tant que f
t+1
(s) 6= f
t
(s); 8s 2 [0; 1]
2
r

ep

eter
{ Segmentation d'images:
1. Construction des ensembles de niveau
2. Extraction des objets
3. Determination des 2
P 1
congurations
4. Calcul des energies et selection de la con-
guration optimale.
{ Diusion anisotropique: voir (11) et (12).
{ Actualiser 
i
et k: k  0:9 k et incrementer t;
Fin tant que.
5 Resultats experimentaux
La methode decrite a ete validee sur des images d'ori-
gine variees: imagerie satellitaire, medicale et de micro-
scopie confocale. Les parametres de l'algorithme prece-
dent sont les suivants : K = 8, J(P;

i
) =
P
P 1
i=1
j

i
j, les
regions dont la taille j

i
j est inferieure a 0:01  N sont
ecartees,  = 1 et k est xe a 5 puis abaisse lineairement
avec un coecient de 0:9 a chaque iteration. Les temps de
calcul sont mesures en secondes sur une station de travail
296MHz.
Nous presentons des resultats de segmentation d'images
(Figs.1-2) acquises a l'INSERM-Rouen en microscopie confo-
cale. La microscopie confocale est une technique 2D ou 3D
de visualisation optique non-invasive qui permet l'analyse
Fig. 1: Segmentation d'image (115  512) en microscopie
confocale obtenue au bout de 61s et 10 iterations ( = 650).
Fig. 2: Segmentation d'image (256  239) en microscopie
confocale obtenue au bout de 51s et 8 iterations ( = 3250).
en profondeur de tissus. La premiere serie de gures pre-
sente des cellules neuronales 2D observees en culture pour
lesquelles on mesure la uorescence (Fig. 1) voire leur mi-
gration (Fig. 2). On s'interesse ici a quelques regions d'in-
tere^t superposees sur un fond etiquete en blanc sur les
gures.
La seconde etude de cas concerne l'extraction du cortex
cerebral d'une section IRM (Fig. 3). Au prealable, la te^te
a ete isolee du fond par la methode que nous avons decrit.
L'image etant peu bruite, nous n'avons pas procede ici
a un ltrage de l'image et les regions d'intere^t ont ete
extraites au bout d'une seule iteration.
Enn, nous presentons des resultats de segmentation
d'imagerie satellitaire (Fig. 4). L'algorithme a isole les
couches nuageuses signicatives et l'ocean (fond). Les eti-
quettes correspondent ici aux valeurs moyennes estimees
sur chaque support des regions 

i
.
References
[1] J. Beaulieu et M. Goldberg. ((Hierarchy in picture segmenta-
tion: a stepwise optimization approach)). IEEE on Trans. on
Patt. Anal. and Mach. Int., 11(2): 150{163, 1989.
[2] M.J. Black, G. Sapiro,D. Marimont et D. Heeger. ((Robust ani-
sotropic diusion)). IEEE on Trans. Image Process., 7(3): 421{
432,1998.
[3] A. Blake et A. Zisserman. ((Visual reconstruction)). MIT Press,
1987.
[4] V. Caselles, R. Kimmel et G. Sapiro. ((Geodesic active
contours)). Int J. of Comp. Vis., 22(1): 61{79, 1997.
[5] S. Geman et D. Geman. ((Stochastic relaxation,Gibbs distribu-
tions, and the bayesian restoration of images)). IEEE on Trans.
on Patt. Anal. and Mach. Int., 6(6): 721{741, 1984.
[6] J. Istas. ((Statistitiques des processus, segmentation du signal
et de l'image)). HdR, Universite de Paris VII, 1997.
Fig. 3: Segmentation 2D d'image IRM (256  256) obtenue
au bout de 4s et une seule iteration ( = 32500).
Fig. 4: Segmentation d'image meteorologique (383 260) ob-
tenue au bout de 18s et d'une seule iteration ( = 2000).
[7] Y.G. Leclerc. ((Constructing simple stable descriptions for
image partitioning)). Int J. of Comp. Vis., 3: 73{102, 1989.
[8] G. Matheron. ((Random sets and integral morphology)). John
Wiley, New York, 1975.
[9] P. Monasse et F. Guichard. ((Fast computation of a contrast-
invariant image representation)). IEEE on Trans. on Image
Process., a para^tre.
[10] J.M. Morel et S. Solimini. ((Variational methods in image seg-
mentation)). Birkhauser 1994.
[11] D. Mumford et J. Shah. ((Optimal approximations by piecewise
smooth functions and variational problems)). In Communica-
tion on Pure and applied Mathematics, 42(5): 577{685, 1989.
[12] P. Rousseeuw et A. Leroy. ((Robust regression and outlier de-
tection)). Wiley Series in Probability and Mathematical Statis-
tics, Wiley, 1987.
[13] S.C. Zhu et A. Yuille. ((Region competition: unifying snakes,
region growing, and bayes/MDL for multiband image seg-
mentation)). IEEE on Trans. on Patt. Anal. and Mach. Int.,
18(9): 884{900, 1996.


Segmentation d'images par sélection de courbes de niveau

13 ref. *INRA, Laboratoire de Biométrie, Centre de Jouy-en-Josas Diffusion du document : INRA, Laboratoire de Biométrie, Centre de Jouy-en-JosasNational audienc

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