La transformée de Fourier-Mellin est utilisée pour estimer les paramètres de mouvement relatifs entre des objets à niveaux de gris de même forme mais de taille et d'orientation différentes. Nous définissons une énergie basée sur la distance euclidienne exprimée sur l'espace de Fourier-Mellin et le théorème du retard appliqué au groupe des similitudes vectorielles. La localisation du minimum de cette énergie fournie une estimation des paramètres de mouvement. Les résultats expérimentaux confirment la robustesse des différentes approximations numériques du spectre de Fourier-Mellin et la fiabilité des paramètres de mouvement estimés

DERRODE, Stéphane

GHORBEL, Faouzi

I-Revues

Transformée de Fourier-Mellin numérique - Reconstruction et
estimation de mouvement d'objets à niveaux de gris
Stéphane Derrode, Faouzi Ghorbel
Groupe de Recherche Images et Formes
Ecole Nouvelle d'Ingénieurs en Communication
Institut National des Télécommunications
Cité scientifique - rue G. Marconi, 59658 Villeneuve d'Ascq
Tél : 03 20 33 55 16, Fax : 03 20 33 55 98, e-mail : derrode@enic.fr
RÉSUMÉ
La transformée de Fourier-Mellin est utilisée pour estimer les paramètres de
mouvement relatifs entre des objets à niveaux de gris de même forme mais de
taille et d’orientation différentes. Nous définissons une énergie basée sur la
distance euclidienne exprimée sur l’espace de Fourier-Mellin et le théorème du
retard appliqué au groupe des similitudes vectorielles. La localisation du
minimum de cette énergie fournie une estimation des paramètres de
mouvement. Les résultats expérimentaux confirment la robustesse des
différentes approximations numériques du spectre de Fourier-Mellin et la
fiabilité des paramètres de mouvement estimés.
ABSTRACT
In order to assess motion parameters between gray-level objects having the
same shape with distinct scale and orientation, we use the Fourier-Mellin
transform. We define an energy based on the Euclidean distance expressed in
the Fourier-Mellin domain and the shift theorem applied to the group of planar
similarities. The location of the minimum energy gives the motion parameters.
Experimental results are presented, confirming the robustness of the discrete
estimations of the Fourier-Mellin spectrum and the reliability of the estimated
motion parameters.
1  Introduction
La description de formes planes à niveaux de gris est un
problème important et difficile de l'analyse d'images. Elle
trouve notamment application en reconnaissance de formes,
en codage orienté-objet de séquences animées, en
indexation d'objets dans une base de données multimédia.
Dans cette étude, nous nous intéressons à l’estimation de
mouvement d'objets à niveaux de gris extraits d’une scène
complexe par prétraitements. Nous supposons que le
mouvement est approximativement décrit par une similitude
(transformation géométrique composée de translation,
rotation et homothétie).
Dans ce cas, la transformée de Fourier-Mellin (TFM)
fournit une description pertinente des objets puisqu’elle
convertit une similitude dans le domaine spatial en un
déphasage dans le domaine de Fourier-Mellin. De
nombreuses études portent d’ailleurs sur son utilisation en
reconnaissance de formes [3]. Nous utilisons la TFM pour
estimer les paramètres de mouvement entre deux objets de
même forme mais de taille et d'orientation différentes.
Il est cependant bien connu que l’approximation de la
TFM soulève des problèmes cruciaux (notamment de
divergence de l’intégrale [4]). Nous proposons donc au
préalable, 3 méthodes numériques d’estimation du spectre
de Fourier-Mellin. Nous les comparons en termes de temps
de calcul, de fiabilité de reconstruction de l’objet original et
de robustesse de l’estimation des paramètres de mouvement.
2  La transformée de Fourier-Mellin
analytique
La théorie des groupes et de l’analyse harmonique [1]
permettent de généraliser la transformée de Fourier
classique. Il a en effet été démontré que cette dernière est
liée au groupe additif ( , )R + . L’objet de cette généralisation
consiste en la définition d’une transformée de Fourier sur un
groupe suffisamment régulier (groupe commutatif, groupe
localement compact, ...).
2.1  La transformée de Fourier-Mellin
La transformée de Fourier-Mellin (TFM) est la
transformée de Fourier sur le groupe des similitudes planes
vectorielles G R S= ×+
× 1
, où S1 est le cercle unité de R2. Ce
groupe, muni de la loi de composition
( , ).( , ) ( , )α β ρ θ αρ β θ= +  est commutatif et localement
compact. Posons d d dr rGµ θ= . / , la mesure normalisée,
invariante et positive du groupe. Notons L G d G1( , )µ ,
l’espace vectoriel normé des fonctions à valeurs réelles
définies sur G. Un élément de L G d G1( , )µ  est une fonction
définie en coordonnées polaires vérifiant :
f f r dr
r
dL G d G1 0
2
0( , )
( , )µ
pi
θ θ= < ∞∫∫∞
La TFM d’une telle fonction s’écrit :
M k iv f r e r dr
r
df
ik iv( , ) ( , ). .= − −
+∞ ∫∫12 020pi θ θθpi (1)
avec k Z∈  et v R∈
Il est bien connu en analyse harmonique que la TFM
inverse est définie comme la transformée de Fourier sur le
groupe dual de G , G R Z= ×  où Z  désigne l'ensemble des
entiers relatifs. La mesure invariante de ce groupe est
donnée par d dv dGµ δ = ⊗  où dδ  représente la mesure de
comptage sur Z. Si M L G df G∈
1 (  , )

µ , la TFM inverse
existe et s’écrit :
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 655
f r M k iv e r dv
avec r R
f
ik iv
k Z
( , ) ( , ). .
[ ; [
θ
θ pi
θ
=
∈ ∈
∈
−∞
+∞
+
×
∑∫
 et 0 2
(2)
2.2  Le prolongement analytique de la TFM
Pour réaliser une description invariante par rapport aux
translations, l’objet est souvent décrit en coordonnées
polaires par rapport à son centre d’inertie. Or, dans ce cas,
le support de l’objet n’est généralement pas contenu dans un
compact de G, i.e. une couronne fermée, bornée, centrée à
l’origine des coordonnées et privée de celle-ci. L’intégrale
(1) diverge en général. Deux solutions ont été proposées
pour résoudre ce problème. Soit annuler la fonction sur un
disque de rayon ε  où ε  est suffisamment petit pour
minimiser la perte d’information [2]. Soit modifier la
fonction f r( , )θ  par g r r f r( , ) ( , )θ θσ= 0  avec σ 0 0>  [4].
Ainsi définie, g est intégrable sur G et sa TFM est appelée
TFM analytique de f :
M k iv r f r r e d dr
rf
iv ik( , ) ( , ). .− + = − −
∞ ∫∫σ pi θ θσ θpi0 02012 0 (3)
Cette transformée peut être vue comme la transformée
de Laplace sur G. Elle admet une transformée inverse qui
s'exprime par la formule suivante :
f r M k s r e dv
avec s iv
f
s ik
k Z
( , ) ( , ). .
,
θ
σ σ
θ
=
= − + >
∈
−∞
+∞∑∫
0 0 0 
(4)
La transformée de Fourier-Mellin analytique a permis de
construire une famille de paramètres invariants par rapport
aux translation, rotation et homothétie [4]. Cette famille est
convergente et complète (à l’instar des descripteurs de
Fourier-Mellin [3]). Ces deux propriétés ont pour
conséquence de définir une vraie distance entre les objets.
3  Approximations numériques de la
TFM et reconstruction des objets
Il est bien connu que l’approximation de la TFM soulève
des problèmes numériques cruciaux. La TFM analytique a
été introduite pour résoudre le problème de divergence de
l’intégrale. Nous présentons 3 méthodes d’estimation
numériques de cette transformée basées sur des ré-
échantillonnages différents de l’image initialement décrite
en coordonnées cartésiennes. Ces méthodes nécessitent une
interpolation de la surface image [5].
3.1  Approximations de la TFM Analytique
1ère méthode : elle consiste en une approximation directe
de l’intégrale de Fourier-Mellin analytique (3) par
échantillonnage de l’image en coordonnées polaires.
L’intégration numérique est réalisée en utilisant une
transformée de Fourier discrète (TFD) sur chaque cercle
suivie d’une approximation de l’intégrale de Mellin :
{ }
{ }
 ( ) ( ( , )) , ,.
 ( , ) .  ( ).( ) . .
,
max/
F q TFD f q m ..N
M k s F q q V V
avec s iv R
k
f k
s
q
R
ξ ξ β
ξ
pi
ξ ξ
σ
ξ
= ∈ −
= ∈ −
= − + ∈
−
=
+
×
∑
 pour k
 ,  v
 V
01 1
2
1
1
0
ξ  et β  représentent respectivement les pas
d'échantillonnage radial et angulaire.
2ème méthode : Il est possible d’écrire l’intégrale de
Mellin en une transformée de Fourier sur R par changement
de variable log-polaire ( q r= ln ). Ainsi, on peut écrire
M f  comme :
M k s e f e e d dqf q q i qv k( , ) ( , ). .( )= − +
−∞
+∞ ∫∫12 002pi θ θσ θpi
La TFM est alors estimée par une TFD bidimentionnelle
de l’image en coordonnées log-polaires. Elle a été décrite
dans [2].
3ème méthode : Il est possible d'exprimer la TFM
directement en coordonnées cartésiennes par changement de
variable polaires - cartésiennes :
M k s f x y x iy x y dxdyf k
k s
( , ) ( , ).( ) .( )= + +−
−
−
−∞
+∞
−∞
+∞∫∫12 2 2 2 1pi
Cette méthode ne nécessite pas de ré-échantillonnage de
l’image. Par contre, elle requiert l’approximation numérique
d'une double intégrale.
3.2  Comparaison des différentes méthodes
d'estimations
Nous avons estimé le spectre de l'objet de la figure 1 par
les trois méthodes présentées ci-dessus. Les figures 2, 3, 4
Figure 1 : Image représentant un objet à niveaux de gris
Figure 2 : Amplitude du spectre de Fourier-Mellin de
l'objet de la fig. 1 estimé par la 1ère méthode.
656
représentent l'amplitude de la partie centrale du spectre
obtenu (32*32 composantes).
La figure 5 présente les reconstructions de l'objet de la
figure 1 obtenues à l'aide des 3 approximations de la TFMA
inverse.
L'approximation numérique de la TFM analytique par
changement de variable log-polaire fournit la reconstruction
la plus fidèle des 3 méthodes (figure 5b). Cela s'explique
par l'utilisation de transformées discrètes exactes (TFD et
TFD Inverse). Elle est également plus rapide que les 2
autres pour les mêmes raisons (FFT 2D). Cependant, des
expériences en comparaison de formes [4] et en estimation
des paramètres de mouvement (paragraphe suivant)
montrent que le spectre est moins bien estimé que celui
obtenu par la 1ère méthode (figure 2). La 3ème méthode
s’avère, quand à elle, peu pertinente puisque ni le spectre ni
l’objet reconstruit ne sont bien estimés (figures 4 et 5c).
Elle est, de plus, particulièrement coûteuse en temps de
calcul.
Aux vues des résultats, la méthode d'estimation basée
sur la représentation polaire à pas radial constant de l'image
(1ère méthode) est la plus robuste. Elle semble en effet
fournir le meilleur compromis entre stabilité numérique et
temps de calcul.
4  Estimation des paramètres de
mouvement
Dans ce qui suit, nous décrivons une méthode d'estimation
originale des paramètres de mouvement. Cette méthode est
basée sur le calcul de la distance euclidienne exprimée dans
l’espace de Fourier-Mellin. Elle présente un certain nombre
de propriétés souhaitables : rapidité, robustesse...
4.1  Distance euclidienne entre objets
D'après le théorème de Plancherel-Parseval appliqué au
groupe des similitudes planes, la TFM analytique est une
isométrie de L G d G2 ( , )µ  dans L G d G2 (  , )µ . Par
conséquent, la distance entre deux objets f et g supposés
dans L G d L G dG G1 2( , ) ( , )µ µ∩  s'exprime de manière
strictement équivalente sur ces deux espaces :
d f g r g r r f r dr
r
d
M k s M k s dvg f
k Z
2
2
0
2
0
2
0 0( , ) ( , ) ( , ) .
( , ) ( , ) .
= −
= −
∫∫
∫∑
+∞
−∞
+∞
∈
σ σ
pi
θ θ θ
(5)
D’un point de vue numérique, l’estimation de la distance
sur l'espace de Fourier-Mellin s’avère plus rapide et mieux
adaptée. En effet, l'énergie du spectre est concentrée au
voisinage de l'origine (théorème de Riemann-Lebesgue). La
troncature du spectre de Fourier-Mellin (inévitable d’un
point de vue numérique) a donc une influence modérée sur
la qualité de l’estimation de cette distance, contrairement au
calcul de cette même distance sur l'espace original où tous
les pixels des objets doivent être considérés.
4.2  Notion de forme et théorème du retard
On dit que deux objets f1  et f2  de L G L G1 2( ) ( )∩  ont
la même forme au sens de la transformation géométrique
similitude si et seulement si :
( )∃ ∈α β, G ,  ( )∀ ∈r G,θ ,  f r f r2 1( , ) ( , )θ α θ β= +
Une forme est donc définie comme la classe des objets
se différenciant uniquement par une similitude vectorielle.
Pour de tels objets, le théorème du retard s’écrit :
M k iv e M k ivf iv ik f2 1( , ) ( , )= α
β
En tenant compte des modifications apportées à f et g
Figure 3 : Amplitude du spectre de Fourier-Mellin de
l'objet de la fig. 1 estimé par la 2ème méthode.
Figure 4 : Amplitude du spectre de Fourier-Mellin de
l'objet de la fig. 1 estimé par la 3ème méthode.
   
a/ 1ère méthode b/ 2ème méthode
c/ 3ème méthode
Figure 5 a, b, c : Reconstruction de l’objet de la fig. 1
par les 3 méthodes d’estimation de la TFM analytique
en utilisant seulement 32*32 composantes.
657
pour les raisons de convergence justifiées dans le
paragraphe 2.2, les équations (6) et (7) deviennent :
r f r r f r
M k s e M k sf s ik f
σ σ
β
θ α θ β
α
0 0
2 1
2 1( , ) ( , )
( , ) ( , )
= +
=


(6)
Une rotation d’angle β  et un facteur d'échelle α
appliqués à l'image dans le domaine spatial se traduisent par
un déphasage d’angle k vβ α+ ln  et un facteur d’amplitude
α σ− 0  dans le domaine fréquentiel.
4.3  Estimation des paramètres de mouvement
Estimer le mouvement relatif de deux objets f et g de
même forme revient à déterminer les paramètres α  et β  de
la similitude qui les distingue. Un algorithme consiste à :
• appliquer une similitude de paramètres ( , )ρ ψ  sur f,
• comparer l’objet ainsi obtenu avec le second objet.
Si les objets sont identiques alors ( , ) ( , )ρ ψ α β= , sinon
on réitère l’opération pour d’autres couples ( , )ρ ψ .
La difficulté réside dans le choix d’une méthode de
comparaison des objets qui soit suffisamment robuste sans
être trop coûteuse en temps de calcul. Pour cela, on propose
de modifier la distance euclidienne entre objets (5) pour
tenir compte de la transformation appliquée à f. On défini
alors une énergie dépendant de ( , )ρ ψ  :
E r g r r f r dr
r
dfg( , ) ( , ) ( , ) .ρ ψ θ ρ θ ψ θσ σ
pi
= − +∫∫+∞ 0 0 2020
Les paramètres de mouvement sont obtenus en
minimisant cette énergie :
( )( , ) min
,
α β
ρ ψ
= Arg E fg ,  ρ ∈ +×R  e t  ψ pi∈[ ; [0 2 (7)
En tirant parti de la distance euclidienne (Eq. 5) et du
théorème du retard (Eq. 6), cette énergie se réécrit :
E M k s e M k s dvfg g s ik f
k Z
( , ) ( , ) ( , ) .ρ ψ ρ ψ= −
∈
−∞
+∞∑∫ 2 (8)
4.4  Exemple numérique
La figure 7 représente la surface d’énergie entre les objets
des figures 1 et 6. Les spectres des objets sont estimés par la
1ère méthode numérique. Il apparaît très nettement que
l’énergie présente un minimum dont les coordonnées
coïncident avec les paramètres de mouvement fixés pour
l'expérience, à α = 11.  et β = °20 .
5  Conclusion
Nous avons utilisé la TFM analytique pour estimer les
paramètres de mouvement entre objets de même forme mais
de taille et d’orientation différentes. Nous avons construit
une énergie qui, lorsqu’elle est minimisée, fournit les
paramètres de mouvement. Parmi les 3 méthodes
d’approximation de la TFM, nous avons retenu celle qui
offrent le meilleur compromis entre temps de calcul,
fiabilité d’estimation du spectre et qualité de reconstruction.
Les résultats numériques permettent d’envisager son
utilisation dans un schéma de codage orienté-objet de
séquences animées, et en indexation, par le contenu,
d’objets à niveaux de gris.
Les auteurs tiennent à remercier G. Eude, O. Avaro
(CNET - Issy Les Moulineaux) et H. Sanson (CCETT -
Cesson-Sévigné) pour leur soutien financier.
6  Références
[1] J. Dieudonné. "Eléments d’Analyse Moderne",
Gauthier-Villars, 1974.
[2] PE. Zwicke, Z. Kiss. "A new Implementation of the
Mellin Transform and Its Application to Radar
Classification", IEEE Trans. on PAMI, Vol. 5 N°2, pp
191-199, March 1983.
[3] Y. Sheng, HH. Arsenault. "Experiments on Pattern
Recognition using Invariant Fourier-Mellin
Descriptors", J. of Opt. Soc. Am. A, Vol. 3, N° 6, pp
771-776, June 1986.
 [4] F. Ghorbel. "A Complete Invariant Description for
Grey-Level Images by the Harmonic Analysis
Approach", PRL, Vol. 15, pp 1043-1051, Oct. 1994.
[5] HE. Bez. "On Analysis of Symmetry for Plane Curves
and Plane Curve Algorithms", CAGD, Vol. 9, pp 125-
142, 1992.
Figure 6 : Objet identique à l'objet de la figure 1 mais
agrandi d'un facteur α = 11.  et tourné d'un angle β = °20 .
Figure 6 : Surface d'énergie entre les objets des figures 1
et 6. Les spectres sont estimés par la 1ère méthode. Le
minimum de la surface se situe au point ρ = 11.  et
ψ = °20 .
658


Transformée de Fourier-Mellin numérique : Reconstruction et estimation de mouvement d'objets à niveaux de gris

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues