Les Statistiques d'Ordre Élevé (SOE) sont de plus en plus utilisées dans les applications de traitement du signal. Toutefois, des formules générales d'estimation récursive des cumulants d'ordre supérieur à trois font jusqu'à aujourd'hui défaut. Cet article comble en partie cette lacune en présentant une formule récursive pour l'estimation des cumulants d'ordre quatre. Cette formule est ensuite utilisée dans le cadre de l'identification de modèles paramétriques de type Réponse Impulsionnelle Finie (RIF). Une version moindres carrés de l'algorithme C(Q,k), basée sur cette formule, est proposée. Des résultats de simulation illustrant le comportement de cette méthode d'identification sont présentés

DEMBELE, Doulaye

FAVIER, Gérard

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 159
Estimation Récursive des Cumulants d’Ordre
Quatre avec Application à l’Identification
Doulaye Dembélé et Gérard Favier
Laboratoire I3S, CNRS/UNSA, Bât. SPI n04, Les Lucioles 1
250, rue Albert Einstein, Sophia Antipolis, F-06560 Valbonne
favier@alto.unice.fr,Doulaye.Dembele@alto.unice.fr
RÉSUMÉ
Les Statistiques d’Ordre Élevé (SOE) sont de plus en plus utilisées
dans les applications de traitement du signal. Toutefois, des formules
générales d’estimation récursive des cumulants d’ordre supérieur à
trois font jusqu’à aujourd’hui défaut. Cet article comble en partie
cette lacune en présentant une formule récursive pour l’estimation
des cumulants d’ordre quatre. Cette formule est ensuite utilisée
dans le cadre de l’identification de modèles paramétriques de type
Réponse Impulsionnelle Finie (RIF). Une version moindres carrés
de l’algorithme C(Q,k), basée sur cette formule, est proposée. Des
résultats de simulation illustrant le comportement de cette méthode
d’identification sont présentés.
ABSTRACT
High Order Statistics (HOS) are used nowadays in many signal pro-
cessing applications. However, general recursive formulae for esti-
mating cumulants of order greater than three are lacking. This paper
fills in a gap by presenting a recursive formula for estimating fourth-
order cumulants. This formula is then used for the identification of
Finite Impulse Response (FIR) models. A least squares form of the
C(Q,k) algorithm, based on the proposed formula, is proposed. Some
simulation results illustrate the behaviour of this new identification
method.
1 Introduction
Les Statistiques d’Ordre Élevé (SOE) sont utilisées dans plu-
sieurs applications de traitement du signal : estimation des pa-
ramètres de modèles ARMA (AutoRegressif à Moyenne Ajus-
tée) [12, 8], déconvolution et égalisation aveugle [4, 11], : : : .
Par SOE, nous entendons les moments ou cumulants d’ordre
supérieur à deux et leurs transformées multidimensionnelles de
Fourier appelées spectres d’ordre élevé ou polyspectres [3]. En
pratique, on utilise les statistiques d’ordre trois quand la loi de
la densité de probabilité du processus modélisé est asymétrique
et les statistiques d’ordre quatre quand cette loi est symétrique.
Comparativement aux Statistiques du Second Ordre (SSO),
les SOE nécessitent une charge de calcul plus élevée. Ceci peut
limiter leur utilisation dans certaines applications de traitement
du signal. C’est généralement le cas pour les applications en
temps réel. Pour les méthodes d’identification non récursive
basées sur les SOE, les cumulants sont d’abord estimés à
partir des échantillons du signal, puis utilisés dans l’algorithme
d’identification. Dans les applications en temps réel et lorsque
les paramètres du modèle du processus à identifier peuvent
varier au cours du temps, il est nécessaire de réactualiser
l’estimation des cumulants.
Après avoir rappelé, dans le d’ 2, les définitions des moments
et des cumulants d’ordres deux et quatre, nous présentons dans
le d’ 3, une nouvelle formule récursive et générale pour l’estima-
tion des cumulants d’ordre quatre d’un processus stochastique
scalaire, centré et à valeurs réelles ou complexes. Cette formule
est ensuite utilisée dans le cadre de l’identification de modèles
paramétriques de type Réponse Impulsionnelle Finie (RIF), et
D. Dembélé est actuellement à l’Institut Français du Pétrole, 1 et 4,
Avenue de Bois Préau, Division Gisements, RF40, 92852 Ruel-Malmaison
cedex, France ; Doulaye.Dembele@ifp.fr
une version moindres carrés de l’algorithme C(Q,k), basée sur
cette formule, est proposée dans le d’ 4. Des résultats de simula-
tion illustrant le comportement de cette méthode d’identification
sont présentés dans le d’ 5.
2 Définitions et propriétés
Soit un processus stochastique scalaire, stationnaire, centré,
non gaussien et à valeurs complexes fy.n/nD1;::: ;t g. Nous suppo-
sons que tous les cumulants d’ordre inférieur ou égal à k (k > 8)
de ce processus, existent et sont finis. Nous définissons les mo-
ments d’ordres deux et quatre par :
M2y. /
defD Efy.t/y.t C  /g D M2y.Ä / (1)
M2y;d. /
defD Efy.t/y.t C  /g
D M2y;d .Ä / D M2y;c. / (2)
M4y.1; 2; 3/
defD Efy.t/y.t C 1/y.t C 2/y.t C 3/g
(3)
où Ef:g est l’opérateur expérance mathématique et y.t/ désigne
le conjugué du nombre complexe y.t/. Les cumulants d’ordres
deux et quatre du processus fy.n/nD1;::: ;t g sont définis comme
suit :
C2y. /
defD M2y. / (4)
C2y;d. /
defD M2y;d . / D C2y;c. / (5)
C4y.1; 2; 3/
defD M4y.1; 2; 3/Ä M2y.1/M2y.3 Ä 2/
ÄM2y;c.2/M2y;d .3 Ä 1/
ÄM2y.3/M2y.1 Ä 2/ (6)
160
Les cumulants d’ordre quatre vérifient la relation de symétrie
suivante :
C4y.1; 2; 3/ D C4y.1 Ä 2;Ä2; 3 Ä 2/ (7)
Les définitions (4), (5) et (6) sont également valables pour
les processus à valeurs réelles en omettant l’opérateur de
conjugaison.
3 Formule d’estimation récursive
Dans la pratique, les moments (ou les cumulants) sont
estimés à partir d’un nombre fini d’échantillons du processus
observé. Cette estimation est obtenue en remplaçant l’opérateur
expérance mathématique qui intervient dans les définitions des
moments et des cumulants, par une somme empirique, ce qui
suppose que l’hypothèse d’ergodicité est vérifiée. Ainsi, une
estimation du cumulant d’ordre quatre basée sur t échantillons
du processus fy.n/nD1;::: ;t g est donnée par
OCt4y.1; 2; 3/
D 1
t
tX
sD1
y.s/y.s C 1/y.s C 2/y.s C 3/
Ä
 
1
t
tX
sD1
y.s/y.s C 1/
! 
1
t
tX
sD1
y.s C 2/y.s C 3/
!
Ä
 
1
t
tX
sD1
y.s/y.s C 2/
! 
1
t
tX
sD1
y.s C 1/y.s C 3/
!
Ä
 
1
t
tX
sD1
y.s/y.s C 3/
! 
1
t
tX
sD1
y.s C 2/y.s C 1/
!
(8)
ou de façon plus compacte :
OCt4y.1; 2; 3/
D OMt4y.1; 2; 3/Ä OCt2y.1/ OCt2y.3 Ä 2/
Ä OCt2y;c.2/ OCt2y;d.3 Ä 1/Ä OCt2y.3/ OCt2y.1 Ä 2/ (9)
On peut vérifier aisément que la formule suivante permet
d’estimer de façon récursive le cumulant d’ordre deux d’un
processus stochastique scalaire, stationnaire, centré et à valeurs
complexes.
OCt2y. / D OCtÄ12y . /C
1
t
h
y.t/y.t C  /Ä OCtÄ12y . /
i
(10)
En utilisant la relation (8), on peut montrer que :
OCt4y.1; 2; 3/ D OCtÄ14y .1; 2; 3/
C1
t
h
At Ä Bt C Ct Ä OCtÄ14y .1; 2; 3/
i
Ä 1
t2

At Ä Bt C 3Ct (11)
où :
At D OCtÄ12y .1/ OCtÄ12y .3 Ä 2/
C OCtÄ12y;c.2/ OCtÄ12y;d.3 Ä 1/
C OCtÄ12y .3/ OCtÄ12y .1 Ä 2/ (12)
Bt D OCtÄ12y .1/y.t C 2/y.t C 3/
C OCtÄ12y;c.2/y.t C 1/y.t C 3/
C OCtÄ12y .3/y.t C 2/y.t C 1/
C OCtÄ12y .3 Ä 2/y.t/y.t C 1/
C OCtÄ12y;d.3 Ä 1/y.t/y.t C 2/
C OCtÄ12y .1 Ä 2/y.t/y.t C 3/ (13)
Ct D y.t/y.t C 1/y.t C 2/y.t C 3/ (14)
La relation (11) est une formule récursive exacte pour l’estima-
tion des cumulants d’ordre quatre d’un processus stochastique
scalaire stationnaire, centré et à valeurs complexes. La valeur
estimée à l’instant t du cumulant d’ordre quatre est ainsi obte-
nue à partir de la valeur estimée précédente additionnée à deux
termes de correction proportionnels à 1t et à
1
t2
respectivement.
Pour de grandes valeurs de t (t !1), At , Bt et Ct sont finis et
le terme de correction proportionnel à 1
t2
peut être négligé com-
parativement à celui en 1t . D’où, la formule simplifiée suivante
pour l’estimation récursive des cumulants d’ordre quatre :
OCt4y.1; 2; 3/ D OCtÄ14y .1; 2; 3/
C1
t
h
At Ä Bt C Ct Ä OCtÄ14y .1; 2; 3/
i
(15)
Les quantités At et Bt sont elles-mêmes calculées récursivement
en utilisant la formule (10).
De la formule (15), nous obtenons une formule de cal-
cul récursif du kurtosis ( OK ty
defD OCt4y.0; 0; 0/) du processus
fy.n/nD1;::: ;t g, en posant (1 D 2 D 3 D 0), soit :
OK ty D OK tÄ1y C
1
t
h
At0 Ä Bt0 C Ct0 Ä OK tÄ1y
i
(16)
avec :
At0 D 2

OCtÄ12y .0/
2
C
 OCtÄ12y;c.0/2 (17)
Bt0 D 4 OCtÄ12y .0/jy.t/j2 C OCtÄ12y;c.0/y2.t/
C OCtÄ12y;d.0/
Ä
y.t/
2
(18)
Ct0 D jy.t/j4 (19)
Dans le cas d’un processus stochastique scalaire, station-
naire, centré et à valeurs réelles, en posant

OCtÄ12y .0/
2
D
OCtÄ12y .0/y2.t/ dans (16), nous aboutissons à la formule propo-
sée dans [2].
4 Application à l’identification
Au cours des dix dernières années, de nombreux algorithmes
basés sur les SOE ont été proposés dans la littérature pour
l’identification des modèles RIF [1, 5, 6, 9, 10, 12]. À la dif-
férence des SSO, les SOE permettent de lever l’indétermination
relative à la phase. Elles sont également utilisées en raison de
leur insensibilité à un bruit additif Gaussien. La plupart des al-
gorithmes décrits sont du type “traitement en bloc des données”.
En utilisant la formule (15), une stratégie d’estimation récursive
des coefficients d’un modèle RIF basée sur l’utilisation des cu-
mulants d’ordre quatre peut être proposée :
1) Initialisation :
Estimation des cumulants d’ordres deux et quatre utilisés
par la méthode d’identification, à partir d’un bloc de don-
nées. OC04y.1; 2; 3/, OC02y.1/ et OC02y;d.1/ où (1; 2; 3)
D (0; 0; 0), (1; 0; 0), (:; :; :),
2) Début de la boucle de calcul,
3) Utilisation de la formule (15) pour réactualiser les estimés
des cumulants,
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI —15- 19 SEPTEMBRE 1997 —GRENOBLE 161
4 ) Utilisation de l’alg orithme d’ identificationpour obtenir
les paramètresestimés,
5) Si une nouvelle donnée est disponi ble, incrémenter le
temps (t  tC1) et aller à l’étape 3), sinon aller à l’étape
6),
6) Fin.
Dans la stratégie d’identification récursive présentée ci-
dessus, les paramètres estimés ne sont pas calculés récursive-
ment. Il est bien connu que les méthodes basées sur les SOE
donnent des résultats satisfaisants (faibles biais et variance) si le
nombre des échantillons utilisés est élevé. Notons que la straté-
gie présentée ci-dessus est générale. Nous allons nous intéresser
maintenant au cas particulier d’un processus du type Moyenne
Ajustée (MA).
Soit fy.n/g la sortie d’un filtre RIF (h.i/ D 0 si i 62 [0; Q]) :
y.n/ D
QX
iD0
h.i/w.n Ä i/C v.n/ (20)
où fw.n/g est un processus stochastique scalaire, stationnaire,
centré, non-Gaussien, à valeurs indépendantes et identiquement
distribuées (i.i.d.) et de kurtosis (4w
defD C4w.0; 0; 0/) non nul ;
fv.n/g est une séquence de bruit additif Gaussien indépendante
de fw.n/g ; h.i/ (i D 0; : : : ; Q) sont les coefficients inconnus
de la réponse impulsionnelle (r.i.) du système. En utilisant la
définition (6) et la relation (20), il est facile de montrer la
relation de Bartlett - Brillinger - Rosenblatt reliant les cumulants
d’ordre quatre aux coefficients de la r.i. du système [3] :
C4y.1; 2; 3/ D 4w
s2X
kDs1
h.k/h.k C 1/h.k C 2/h.k C 3/
(21)
où :
(
s1 D max.0;Ä1;Ä2;Ä3/
s2 D min.Q; Q Ä 1; Q Ä 2; Q Ä 3/
Dans la dérivation de (21) nous avons utilisé le fait que les
cumulants d’ordre supérieur à deux d’un processus Gaussien
sont nuls. La relation (21) est à la base de plusieurs méthodes
d’identification de modèle RIF [10, 5, 7]. Pour illustrer la
stratégie d’identification récursive proposée, nous considérons
la solution explicite proposée par Giannakis [10] et sa version
Moindres Carrés que nous allons décrire.
4.1 Algorithme C(Q,k) [10]
L’algorithme C(Q,k) proposé par Giannakis [10] est une
solution explicite pour l’estimation des coefficients de la r.i.
d’un processus RIF. En posant 2 D Q dans (21), nous
obtenons :
C4y.1; Q; 3/ D 4wh.0/h.1/h.Q/h.3/ (22)
En posant 3 D k et en choisissant h.0/ D 1, on peut montrer la
formule suivante :
h.k/ D C4y.1; Q; k/
C4y.1; Q; 0/
; k D 1; 2; : : : ; Q;  (23)
La relation (23) est appelée algorithme C(Q,k), le choix de
l’argument 1 étant libre. Dans [10], 1 est choisi constant. Dans
la suite nous faisons varier la valeur de 1 de façon à obtenir un
système surdimensionné d’équations linéaires algébriques.
4.2 Algorithme LS-C(Q,k)
En faisant varier 1 entre 0 et Q dans la relation (23) et en
utilisant la relation de symétrie (7), nous obtenons des équations
qui peuvent se mettre sous la forme suivante :266664
C4y.ÄQ;ÄQ;ÄQ/IQ
C4y.1Ä Q;ÄQ;ÄQ/IQ
:::
C4y.0;ÄQ;ÄQ/IQ
377775
26664
h.1/
h.2/
: : :
h.Q/
37775 D
h
C4y.ÄQ;ÄQ; 1Ä Q/ : : :  C4y.ÄQ;ÄQ; 0/
C4y.1Ä Q;ÄQ; 1Ä Q/ : : :  C4y.1Ä Q;ÄQ; 0/
: : :  C4y.0;ÄQ; 0/
iT
(24)
où IQ est la matrice identité d’ordre Q.
L’agorithme LS-C(Q,k) résulte de l’application des moindres
carrés pour la résolution du système surdimensonné (24).
5 Simulations
Les résultats de simulation présentés dans ce paragraphe
concernent deux choix de 1. Le premier choix (1 D 0)
correspond à l’algorithme C(Q,k) standard et le second choix
(1 D 0; 1; : : : ; Q) correspond à l’algorithme LS-C(Q,k). Ces
résultats permettent de comparer les deux algorithmes.
L’entrée utilisée, w.n/, est un signal de communication
PAM (Pulse Amplitude Modulation) à deux niveaux (1). Le
rapport signal à bruit SNR est fixé à 10d B. Deux modèles
ont été simulés. Nous notons par N le nombre total des
échantillons traités et par M le nombre des échantillons utilisés
pour initialiser la procédure d’identification récursive. Des
simulations du type Monte Carlo basées sur 20 séquences de
bruit différentes ont été utilisées.
Exemple 1 : h.1/ D Ä1:4, h.2/ D 0:48 ; N D 10000,
M D 200. Cet exemple correspond à un processus à déphasage
minimal. Les zéros associés sont égaux à 0:6 et 0:8. Les estimés
des coefficients sont représentés sur les figures 1 et 2.
0 500 1000 1500
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
__ C(Q,k)
−.− LS−C(Q,k)
FIG. 1 — Exemple 1, 1500 premières itérations, vrais coeffi-
cients (lignes horizontales) et leurs estimés
Exemple 2 : h.1/ D Ä2:05, h.2/ D 1:0 ; N D 10000,
M D 200. Cet exemple correspond à un processus à déphasage
nonminimal. Les zéros associés sont égaux à 0:8 et 1:25. Les
estimés des coefficients sont représentés sur les figures 3 et 4.
162
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
__ C(Q,k)
−.− LS−C(Q,k)
FIG. 2 — Exemple 1, vrais coefficients (lignes horizontales)
et leurs estimés
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
__ C(Q,k)
−.− LS−C(Q,k)
FIG. 3 — Exemple 2, 2000 premières itérations, vrais coeffi-
cients (lignes horizontales) et leurs estimés
Les résultats de simulation montrent que la formule récur-
sive d’estimation (15) des cumulants d’ordre quatre et la straté-
gie d’identification proposées fournissent de meilleurs résultats
que l’algorithme standard C(Q,k). Cette amélioration des per-
formances est très sensible au niveau du régine transitoire.
6 Conclusion
Dans cet article, nous avons présenté une nouvelle formule
récursive pour l’estimation des cumulants d’ordre quatre d’un
processus stochastique scalaire, stationnaire, centré et à valeurs
réelles ou complexes. Puis nous avons proposé une stratégie gé-
nérale pour l’identification de modèle RIF basée sur l’utilisation
de cette formule. Une version Moindres Carrés de l’algorithme
C(Q,k) a été présentée et testée en simulation. Une comparaison
avec l’algorithme C(Q,k) standard a été faite, montrant l’amélio-
ration des performances apportée par l’utilisation de la formule
récursive de l’estimation des cumulants d’ordre quatre.
Références
[1] S. A. Alshebeili, A. N. Venetsanopoulos, and A. E. Cetin.
Cumulant Based Identification Approaches for Nonmini-
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
__ C(Q,k)
−.− LS−C(Q,k)
FIG. 4 — Exemple 2, vrais coefficients (lignes horizontales)
et leurs estimés
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79(3) :278–305, March 1991.


Estimation récursive des cumulants d'Ordre quatre avec application à l'identification

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