Nous présentons une méthode régularisée pour l'extraction des coefficients d'ondelettes significatifs dans le cadre de l'algorithme multirésolution de Mallat. En imagerie astronomique les méthodes de filtrage par ondelettes consistent à éliminer les coefficients non significatifs en les forçant à zéro. Avec une transformée en ondelettes non redondante des artéfacts peuvent alors apparaître lorsque les seuils sont élevés. En introduisant une contrainte de régularisation de Tikhonov multirésolution afin de restaurer les coefficients seuillés, on montre qu'il est possible de supprimer les effets de bloc introduit par les méthodes de filtrage et de compression basées sur la transformée de Haar. Une version régularisée de l'algorithme hcompress est présentée. On montre comment cette méthode permet de stabiliser l'algorithme de déconvolution de Richardson-Lucy et l'on présente un algorithme de compression régularisé par la fonction d'étalement (PSF) où sont couplés le filtrage, la compression et la déconvolution dans un cadre multirésolution

BIJAOUI, Albert

BOBICHON, Yves

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 821
Algorithmes multirésolution régularisés
pour la restauration des images astronomiques
Yves Bobichon et Albert Bijaoui
Observatoire de la Côte d’Azur
Dpt CERGA UMR CNRS 6527
Boulevard de l’observatoire
B.P. 4229, 06304 Nice Cedex 4 - France
RÉSUMÉ
Nous présentons une méthode régularisée pour l’extraction des
coefficients d’ondelettes significatifs dans le cadre de l’algorithme
multirésolution de Mallat. En imagerie astronomique les méthodes
de filtrage par ondelettes consistent à éliminer les coefficients non
significatifs en les forçant à zéro. Avec une transformée en ondelettes
non redondante des artéfacts peuvent alors apparaître lorsque les
seuils sont élevés. En introduisant une contrainte de régularisation de
Tikhonov multirésolution afin de restaurer les coefficients seuillés, on
montre qu’il est possible de supprimer les effets de bloc introduit par
les méthodes de filtrage et de compression basées sur la transformée
de Haar. Une version régularisée de l’algorithme hcompress est
présentée. On montre comment cette méthode permet de stabiliser
l’algorithme de déconvolution de Richardson-Lucy et l’on présente
un algorithme de compression régularisé par la fonction d’étalement
(PSF) où sont couplés le filtrage, la compression et la déconvolution
dans un cadre multirésolution.
ABSTRACT
We present a regularized method for the extraction of significant
wavelet coefficients in a multiresolution framework. For astronomical
applications, classical wavelet-based methods perform a standard
thresholding by setting to zero the non-significant coefficients. With
non redundant multiresolution transforms, artifacts caused by the
spectral recovering appear for high-level thresholding. We propose
to introduce a regularization constraint that allows one to give
a new values for each non-significant coefficients. We show that
a multiresolution Tikhonov constraint allows one to remove the
blocking effect when using filtering or compression methods based
on the Haar transform. A regularized compression algorithm based
on the hcompress scheme is presented. In a final application we
show how the regularization constraint can be used to stabilized the
Richardson-Lucy deconvolution algorithm. We present a regularized
compression scheme that includes the point spread function (PSF) as
an additional constraint for the restoration of images compressed with
algorithms based on a multiresolution transform.
1 Introduction
Nous présentons une méthode régularisée pour l’extrac-
tion des coefficients d’ondelettes significatifs dans le cadre
de l’algorithme multirésolution de Mallat [10]. Une première
application montre comment l’utilisation d’une contrainte de
Tikhonov [13] permet de supprimer les effets de bloc lors
de l’utilisation de méthodes de filtrage et de compression
d’images basées sur la transformée de Haar [6]. Ceci est illus-
tré par une application à la restauration des images compres-
sées par hcompress [14], et une version régularisée de cet al-
gorithme est présentée. Une dernière application montre com-
ment l’algorithme multirésolution régularisé peut être utilisé
pour stabiliser l’algorithme de déconvolution de Richardson-
Lucy [12].
2 Filtrage multirésolution
On considère le cas d’un signal à une dimension pour
simplifier la présentation des algorithmes. Mais ceux ci, tout
comme l’algorithme multirésolution sont facilement étendus à
deux dimensions par séparation des variables. Soit c0 le signal
à traiter et c j l’approximation de c0 à une résolution donnée j .
En accord avec la théorie de la multirésolution on peut calculer
l’approximation et le signal détail à la résolution j C 1 par :
c. jC1/.k/ D
1X
lDÄ1
c/ j/.l/h.l Ä 2k/ (1)
w. jC1/.k/ D
1X
lDÄ1
c. j/.l/g.l Ä 2k/ (2)
Le signal original peut être exactement reconstruit par :
c. j/.k/ D 2
1X
lDÄ1
c. jC1/.l/ Qh.k Ä 2l/Cw. jC1/.l/ Qg.k Ä 2l/ (3)
Si le signal est bruité, les coefficients d’ondelettes w. j/ sont
aussi bruités. En général le bruit dans les images astrono-
miques est approximé par une distribution gaussienne. Cepen-
dant pour des images provenant de caméra CCD un modèle de
bruit poissonnien ou mixte Gauss+Poisson est mieux adapté.
L’application préalable d’une transformation d’Anscombe [1]
permet dans ce cas de traiter les données comme des variables
aléatoires gaussiennes de variance unité. Les propriétés de li-
néarité de la transformation en ondelettes garantissent que le
bruit reste de nature gaussienne à chaque échelle. La variance
de ce bruit varie en fonction de l’échelle selon une loi qui dans
le cas d’une transformée orthogonale à une dimension est telle
822
FIG. 1 — image originale
que :
V . jC1/ D V . j/
X
n
g2.n/ (4)
Pour effectuer une sélection des coefficients significatifs on
introduit un critère de signification statistique permettant de
dire si un coefficient w j .k/ est dû au bruit ou au signal. On
utilise la méthodologie classique de la théorie de la décision
[7]. Soit H0, l’hypothèse qu’à l’échelle j , le coefficient w
j .k/
est dû au bruit. Dans cette hypothèse il suit une certaine loi de
probabilité p. j/.w/. Le rejet de H0 dépend de la probabilité P ,
qui pour un coefficient positif s’écrit :
P D Prob.u > w. j/.k// D
Z C1
w. j /.k/
p. j/.u/du (5)
et pour un coefficient négatif :
P D Prob.u < w. j/.k// D
Z w. j /.k/
C1
p. j/.u/du (6)
On fixe le seuil de décision statistique " tel que si P > ",
l’hypothèse H0 n’est pas exclue. Par contre si P < ", la valeur
du coefficient ne peut être considérée comme due uniquement
au bruit, l’hypothèse H0 est donc rejetée : le coefficientw
. j/.k/
est alors dit statistiquement significatif. Dans le cas gaussien
la distribution des coefficients d’ondelettes p. j/.w/ s’écrit :
p. j/.w/ D 1p
2 . j/
exp
Ä
h
w. j /.k/p
2. j /
i2
(7)
En considérant la stationnarité du bruit, il suffit de comparer la
valeurw j .k/ à ~ . j/. Pour le filtrage, on choisit généralement
~ entre 3 et 4, on a.
w. j/.k/ D
(
0 8 j w. j/ j< ~. j/
w. j/.k/ 8 j w. j/ j> ~ . j/ (8)
La reconstruction à partir des coefficients d’ondelettes si-
gnificatifs permet d’obtenir un signal sans bruit. Cependant,
lorsque ~ augmente au delà de 3 ou 4 (ce qui sera le cas en
compression) la suppression d’un nombre important de coeffi-
cients d’ondelettes conduit à des artéfacts qui peuvent devenir
génants.
FIG. 2 — image compressée par hcompress TC=75 :1
3 Compression
En compression, la transformation en ondelettes est utilisé
pour éliminer la redondance présente dans l’image. Le bruit,
peu compressible, est supprimé par un seuillage des coeffi-
cients non significatifs selon la méthode présentée précédem-
ment. La quantification permet d’éliminer les bits non sigifi-
catifs et de réduire la dynamique des coefficients restants. La
quantification est effectuée en arrondissant le rapport suivant :
q. j/.k/ D w
. j/.k/
~ 0 . j/
(9)
Afin d’achever la compression, les coefficients quantifiés sont
codés par un code 4-bits hiérarchique [8]. Ce codage considère
successivement les plans de bits de la transformée en ondelette
selon l’algorithme suivant :
1. Le plan de bits est divisé en 4 quadrants. Chaque
quadrant contenant au moins un bit à 1 est codé 1. Un
quadrant qui ne contient que des 0 est codé 0.
2. On itère l’opération précédente uniquement sur les
quadrants codés 1.
3. Les opérations 1 et 2 sont effectuées tant qu’il y a des
quadrants codés 1 de taille supérieure à un bit.
Ce type de codage permet d’éliminer l’uniformité de zéro. Il
est particulièrement adapté à la structure d’une transformée
en ondelettes seuillée qui possède des valeurs nulles sur de
grandes plages. Dans le cas du filtrage, les seuils sont bas
(typiquement 3 à 4 ) et les artéfacts dus au seuillage sont peu
visibles. Parce qu’on seuille plus haut (5 à 6 , voir plus), le
cas de la compression est bien différent et des effets de bloc
peuvent apparaîtrent dès que le taux de compression devient
supérieur à 20 :1. La figure 2 montre cet effet de bloc dans
le cas de l’algorithme hcompress [14]. Ces blocs sont causés
par la discontinuité de l’ondelettes de Haar et par la perte de
l’information locale sur le gradient de l’image dû au seuillage
des coefficients d’ondelettes.
823
FIG. 3 — image compressée (75 :1) + régularisation
FIG. 4 — image compressée (75 :1) + régularisation +
déconvolution
4 Décompression et régularisation
Nous proposons une méthode de décompression qui
consiste à introduire une contrainte de régularisation lors de
la décompression. Le problème de l’inversion d’une transfor-
mée en ondelette seuillée est un problème inverse mal posé
au sens de Hadamard dans la mesure où il existe une infinité
d’images correspondant à toutes les combinaisons possibles
des valeurs que l’on peut attribuer aux coefficients seuillés. La
théorie de la régularisation offre une possibilité de réduire le
nombre de solutions d’un problème mal posé en introduisant
une contrainte supplémentaire qui tient compte de la connais-
sance a priori que l’on a de la solution. Ainsi pour éliminer
les blocs nous choisissons parmi toutes les valeurs possibles
des coefficients seuillés celles qui donnent à chaque échelle
l’approximation la plus régulière après inversion par la rela-
tion (3). Cette régularité est modélisée par une contrainte de
Tikhonov multirésolution [13]. Si D est l’opérateur de dérivé
première, cette contrainte revient à minimiser B j tel que :
B. j/ D .DC . j//2 (10)
A une échelle donnée le signal reconstruit est lié aux coeffi-
cients d’ondelettes à la résolution inférieure par la relation (3)
que l’on peut écrire sous la forme :
C . j/ D QHC . jC1/ C QGW . jC1/ (11)
Avec cette définition la contrainte (10) devient :
B. j/ D .D. QHC . jC1/ C QGW . jC1///2 (12)
Il s’agit d’une contrainte convexe dont le minimum vérifit :
@
@W . jC1/
[.D QHC . jC1/ C D QGW . jC1//2] D 0 (13)
ce qui conduit à résoudre le système d’équations :
ÄGL QHC . jC1/ D GL QG OW . jC1/ (14)
où L est l’opérateur de différence seconde (Laplacien, en deux
dimensions). Le système (14) est inversé par l’algorithme de
Van-Cittert [5]. Les coefficients restaurés OW jC1 sont alors
obtenus de manière itérative par :
OW . jC1/nC1 D OW . jC1/n Ä GL OC . j/n (15)
 est un paramètre de convergence. A deux dimensions les
résultats expérimentaux montrent que le meilleur taux de
convergence est obtenu avec  D 0:2 pour le filtre de Haar
g D  12 ;Ä 12 . Des contraintes secondaires peuvent être ajou-
tées pour restreindre les solutions en limitant la dynamique
des coefficients seuillés-restaurés à ~ . j/ autour de zéro, et
en limitant les variations des coefficients quantifiés-restaurés
à ~ 0 . j/=2 autour de la valeur q j . La figure 3 montre l’ef-
fet d’une décompression régularisée selon cet algorithme sur
l’image compressée par un facteur 75 :1. L’effet de bloc dispa-
raît et des simulations montrent également que l’information
qui est réinjectée dans l’image est significative [3]. Les objets
astronomiques dans les images décompressées avec régulari-
sation présentent non seulement un aspect plus lisse et plus ré-
gulier mais les précisions photométrique et astrométrique sont
aussi améliorées par rapport à une décompression brute [4].
5 Déconvolution
Nous considérons ici qu’une image est caractérisée par la
distribution d’intensité I .x; y/ correspondant à l’observation
d’un objet O.x; y/ à travers un système optique de fonc-
tion d’étalement P(x,y). En présence de bruit la relation ob-
jet/image s’écrit :
I .x; y/ D O.x; y/ ? P.x; y/C B.x; y/
La déconvolution permet de retrouver l’image de l’objet
O.x; y/ à partir de l’observée I .x; y/. L’algorithme de
Richardson-Lucy est dérive d’une approche stochastique du
problème de déconvolution. Il consiste à calculer l’objet O de
manière itérative :
OnC1.x; y/ D On.x; y/

I .x; y/
On.x; y/ ? P.x; y/
? P.Äx;Äy/

C’est une méthode très intéressante car elle conserve le flux et
la positivité de l’image mais l’algorithme tend à amplifier le
824
bruit. La méthode précédemment présentée est un moyen de
séparer les structures significatives du bruit. Des algorithmes
de déconvolution stabilisés par les structures significatives ont
été développés dans le cadre de transformations en ondelettes
redondantes [11]. L’itération consiste à calculer l’objet OnC1
en appliquant :
OnC1.x; y/ D On.x; y/
"
In.x; y/C NRn.x; y/
On.x; y/ ? P.x; y/
? P.Äx;Äy/
#
Où NRn D I Ä In est le résidu obtenu à partir des coefficients
significatifs et In D P ? On est l’image à l’iteration n.
Dans notre cas on utilise le résidu régularisé ORn obtenu à
partir des structures significatives issues de la décompression.
L’utilisation d’un algorithme multirésolution non redondant
permet le couplage avec la compression. L’introduction de
la fonction d’étalement comme contrainte supplémentaire
permet non seulement d’obtenir l’objet déconvolué On (figure
4) mais également l’image décomprimée In qui est encore
améliorée par l’introduction de la PSF dans le processus de
décompression.
6 Conclusion
Nous avons proposé une méthode de compression basée
sur l’extraction des coefficients d’ondelettes significatifs dans
un cadre multirésolution. Cette méthode, en éliminant le bruit
permet d’atteindre des taux de compression très élevés (jus-
qu’à 100 :1) en appliquant un algorithme de codage 4-bits
sur les coefficients d’ondettes quantifiés. Nous avons présenté
un algorithme de compression basé sur le même principe que
hcompress mais qui inclut la méthode d’extraction des coeffi-
cients significatifs ce qui permet d’obtenir une sélection opti-
male de l’information. Pour éviter l’effet de bloc introduit par
l’utilisation de ce type d’ondelette très discontinue nous avons
mis en œuvre une méthode de décompression régularisée par
une contrainte de Tikhonov multirésolution. Enfin, nous avons
montré, comment il est possible d’améliorer qualité de l’image
comprimée en introduisant la PSF comme contrainte supplé-
mentaire lors de la décompression.
Références
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