L'évaluation précise de la variation temporelle du volume d'une lésion est très importante pour diverses applications : recherche pharmaceutique et médicale, suivi des patients, prise de décision thérapeutique. Dans cet article, nous décrivons un modèle de croissance de lésions, qui nous sert à valider une technique originale de mesure de variation de volume. Dans un premier temps nous effectuons un recalage rigide des images, ensuite nous calculons le champ des déformations résiduelles que nous intégrons sur des surfaces emboîtées épousant la forme de la structure évolutive. Le maximum du profil obtenu correspond à la variation de volume cherchée dans le cas synthétique et conduit à des valeurs cohérentes avec l'intuition dans le cas d'un patient atteint de sclérose en plaques

CALMON, Guillaume

THIRION, Jean-Philippe

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 721
Calcul de variations de volume de lésions
dans des images médicales tridimensionnelles
Guillaume Calmon et Jean-Philippe Thirion
INRIA, Projet ÉPIDAURE,
2004, route des Lucioles
BP 93, 06 902 Sophia Antipolis Cedex, France.
Guillaume.Calmon@sophia.inria.fr
RÉSUMÉ
L’évaluation précise de la variation temporelle du volume d’une lé-
sion est très importante pour diverses applications : recherche phar-
maceutique et médicale, suivi des patients, prise de décision théra-
peutique. Dans cet article, nous décrivons un modèle de croissance
de lésions, qui nous sert à valider une technique originale de mesure
de variation de volume. Dans un premier temps nous effectuons un
recalage rigide des images, ensuite nous calculons le champ des dé-
formations résiduelles que nous intégrons sur des surfaces emboîtées
épousant la forme de la structure évolutive. Le maximum du profil
obtenu correspond à la variation de volume cherchée dans le cas syn-
thétique et conduit à des valeurs cohérentes avec l’intuition dans le
cas d’un patient atteint de sclérose en plaques.
ABSTRACT
Evaluating precisely the temporal variations of lesion volumes is
very important for various applications: pharmaceutical and medical
research, patients follow-up, therapeutical decision making. In this
paper, we present a lesion growth model we used to validate an
original volume variation measure technique. First, we perform
a rigid registration of the images, then we compute the residual
deformation field which we integrate along embedded surfaces that
follow the shape of the evolving structure. The maximum of the
obtained profile corresponds to the volume variation we are looking
for in the synthetical cases, and leads to intuition-coherent value in
the case of a patient with multiple sclerosis.
1 Introduction
Les Images par Résonance Magnétique (IRM) montrent
les structures anatomiques internes de manière non-invasive.
La segmentation, qui consiste à classifier les voxels (équiva-
lents tridimensionnels des pixels) selon les tissus qu’ils repré-
sentent, est la principale technique pour extraire des informa-
tions quantitatives de ces images [1, 2].
Cependant, la segmentation donne une valeur absolue à
un instant donné et ne prend pas en compte l’évolution des
structures au cours du temps (de quelques semaines à quelques
mois). Dès lors, lorsque l’on cherche à quantifier une variation
de volume, les erreurs de mesure s’ajoutent, pouvant parfois
excéder la variation de volume elle-même.
Nous utilisons une méthode basée sur une modélisation de
la croissance d’une lésion par un champ de déplacement. Nous
présentons tout d’abord ce modèle, puis nous donnons une
description générale de notre algorithme. Les deux dernières
étapes du traitement sont les plus originales : utilisation d’un
opérateur de détection pour les lésions évolutives ; quantifi-
cation de la variation de volume. La validation de ce travail
repose sur des tests synyhétiques et in vitro. Une expérience in
vivo, sur les images d’un patient atteint de sclérose en plaques,
met en évidence un effet de masse que la segmentation ne
prend pas en compte. À notre connaissance, c’est la première
fois qu’un tel effet est décrit quantitativement.
 http://www.inria.fr/Equipes/EPIDAURE-fra.html
2 Modélisation de la lésion
Nous effectuons la synthèse d’une lésions en inscrustant,
par addition d’images, une sphère dont les bords ont été lissés
(filtrage gaussien).
Nous supposons alors que la lésion croît selon un champ
de déplacement sphérique : sur une région donnée (malade) le
volume est multiplié par J (> 1) ; au-delà, les tissus (sains)
sont incompressibles (div. f / D 0). Ces deux charactéris-
tiques correspondent au champ suivant :
f .x; y; z/ D

3
p
J :r:u si r < Rlésion
3
q
.J Ä 1/R3lésion C r3:u si r > Rlésion
(u : vecteur unitaire issu du centre de la lésion).
La variation de volume est alors : 4=3.J Ä 1/R3lésion. Bio-
logiquement, cette expansion peut correspondre à la proliféra-
tion de cellules malades et elle se caractérise par un effet de
masse, i.e. par le repoussement des tissus environnants.
Ce procédé permet de fixer l’intensité de la lésion au ni-
veau souhaité. Notamment, il permet de créer des lésions « in-
visibles », i.e. de la même intensité que le tissu sain, qui sont
impossibles à mettre en évidence par simple segmentation.
3 Description générale de la méthode
La figure 1 présente le schéma général de la méthode,
décrite en détails dans [3].
722
Mise en correspondance 
T
Image I1
Recalage rigide
Non rigide
Détection (x,y,z,r,...)
Quantification (dV,...)
Analyse des déformations
Champ de déformation
Image I2
Image I’2
Re-échant.
FIG. 1 — Schéma général de la méthode.
Le recalage rigide s’appuie sur un algorithme de mise en
correspondance de points extrémaux [4] ; sa précision est de
l’ordre du dixième de voxel pour une image isotrope [5].
Le calcul du champ de déformation utilise la méthode des
« Démons de Maxwell » [6] qui retourne la transformation
non-rigide passant d’une image à l’autre.
Nous émettons l’hypothèse que ce champ de déformation
correspond au déplacement réel engendré par la croissance
de la lésion.
3.1 Détection
La détection de lésion dans des images médicales repose
traditionnellement sur la segmentation et donc sur l’analyse
locale ou statistique des intensités et des textures [7]. Il est
souvent plus robuste d’utiliser plusieurs modalités pour déter-
miner les différentes classes [8, 9]. Cependant, ces techniques
ne prennent pas en compte l’information dynamique contenue
dans les images. Une approche, que nous n’avons pas suivie,
dans cette étude consisterait à extraire la composante connexe
correspondant à la lésion en 4 dimensions (espace + temps)
[10].
Une première méthode utilisant cette information consis-
terait à simplement soustraire deux images successives pour
analyser les différences. La méthode que nous proposons est
basée sur le déplacement des tissus (alors que la précédente
s’appuie sur les variations d’intensités). Le champ de déplace-
ment n’est accessible que par sa discrétisée f D .u; v;w/ telle
que .xCu; yCv; zCw/ sont les coordonnées dans I 02 du point
correspondant dans I1, de coordonnées .x; y; z/.
Nous nous intéressons aux endroits où les déformations
sont importantes, soit k fk grand, et aussi à ceux où se produit
une variation locale de volume, soit jdiv.f/ j grand. Pour
corréler ces deux opérateurs, nous considérons leur produit
k :k  div.:/ (voir figure 2). Nous utilisons notamment le
résultat suivant :
Une estimation de la divergence du champ f , de discrétisée
f D .u; v;w/ est donnée par la formule
@g
@x
? u C @g
@y
? v C @g
@z
? w
où g est une gaussienne d’intégrale 1 (approximation de
l’unité).
Cela découle des propriétés de l’opérateur de convolution :
@g
@x ?h D g? @h@x . Pour le calcul dans le cas discret, nous utilisons
une un filtre séparable.
            
(a)
            
(b)
            
(c)
            
(d)
            
(e)
            
(f)
FIG. 2 — (a), (b) Images, à trois semaines d’intervalle,
d’un patient atteint de sclérose en plaques. (c) Image de
soustraction. (d) k fk. (e) div.f/. (f) k fk div.f/.
3.2 Quantification
Cherchant les variations de volume sur une région d’intérêt,
nous savons que :
Théorème 3.1 (Green-Ostrogradsky) —Z
V
div. f /dV D
Z
@V
f :nd S
quand f dérive d’un potentiel ( f D grad P) et V est un
volume fermé dont n est la normale sortante.
Lorsque f représente le déplacement de la matière, la
quantité précédente est exactement la variation de volume. Le
premier membre revient à dériver pour intégrer, ce qui amplifie
le bruit. Il vaut mieux utiliser le second membre qui exploite
f directement. (Notons qu’un champ radial f D .r/u dérive
d’un potentiel P D R .r/dr ).
Étant donné un volume V englobé dans une surface fermée
S, et une grille régulière G qui recouvre V (voir figure 3,
gauche). Le nombre de nœuds de G contenus dans V multiplié
par le volume d’un voxel, Vvox , de G est une approximation
du volume de V et tend vers la valeur exacte lorsque le pas
723
de G tend vers 0 (si S possède une certaine régularité). De
même, le nombre de nœuds de de la grille G à l’intérieur de la
surface déformée fÄ1.S/ donne une approximation du volume
de fÄ1.V / (figure 3, droite). Nous remarquons que dénombrer
les nœuds de G dans fÄ1.S/ est équivalent à dénombrer les
nœuds de la grille déformée f.G/ dans la surface originale S
(figure 3, milieu).
-1
Image 2 Image 2
S
G
F(G) Image 1
-1
F(S)V(S)~21 V(F(S))~9
FIG. 3 — Principe de la quantification.
La méthode que nous utilisons est simple mais contre-
intuitive : dénombrer le nombre NS.G/ de nœuds de G à
l’intérieur de S et le nombre NS.F.G// de nœuds de f.G/
également à l’intérieur de S. Une approximation de la variation
de volume pour la surface S est alors .NS.G/ Ä NS.f.G///
Vvox .
Nous considérons une famille de sphères de rayons crois-
sants et nous calculons pour chacune de ces sphères la varia-
tion de volume associée par la méthode ci-dessus. Nous obte-
nons alors un profil de variation en fonction du rayon. Théo-
riquement, pour notre modèle de croissance, ce profil devrait
croître en r3 sur [0; Rlésion] puis être constant ensuite. Nous ob-
servons à l’intégration du champ de synthèse des oscillations
stochastiques prévisibles que nous retrouvons dans l’intégra-
tion du champ retrouvé (voir figure 4-a). Pour limiter ce phé-
nomène, nous ne prenons pas en compte les « petits » dépla-
cement (si k fk < seuil nous posons f D 0). Ainsi, la courbe
tend vers 0 quand le rayon tend vers l’infini.
0.0 5.0 10.0
radius (mm)
0.0
500.0
1000.0
vo
lum
e (
mm
3)
Champ synthetique
Champ retrouve
FIG. 4 — Profil d’intégration par des sphères concentriques
(Rlésion D 5).
Pour adapter la technique précédente à des formes quel-
conques, il faut remplacer les sphères par des surfaces emboî-
tés épousant la forme de la lésion : à partir d’une segmentation,
même approximative, de la lésion (de l’image k :k  div.:/
par exemple) des dilatations et érosions successives permettent
d’engendrer les isosurfaces. Le profil obtenu dépend alors non
plus du rayon mais d’une variable caractéristique de l’éloigne-
ment à la surface originale.
4 Validation
4.1 Tests synthétiques
Nous avons testé cette méthode dans de nombreux cas avec
des lésions de synthèse [3].
En outre, nous avons élaboré, en collaboration avec l’Hô-
pital Pasteur, Nice, un protocole de validation in vitro utilisant
de la cervelle animale. Les expériences se poursuivent et per-
mettrons, nous l’espérons, de quantifier l’erreur de mesure sur
une évolution tumorale avec effet de masse seul.
4.2 Suivi d’un patient atteint de sclérose en
plaques
L’étude a porté sur 20 IRM volumiques d’un patient atteint
de sclérose en plaques, dont la principale lésion croît puis
décroît avec un effet de masse visible : les circonvolutions sont
repoussées puis reprennent leur place. Ce déplacement a lieu
jusqu’à une « grande » distance de la lésion (le repoussement
du tissu sain devrait diminuer en 1=r2) ; il suggère une
variation de volume due à une partie invisible de lésion.
Cette impression est d’ailleurs renforcée par la présence d’un
halo entourant la plaque. Nous avons comparé la mesure
par segmentation (seuillage par hystérésis, application d’un
masque, extraction de la plus grande partie connexe) à celle
obtenue par le champ de déformation (voir figure 5).
0.0 28.0 56.0 84.0 112.0 140.0 168.0 196.0 224.0
days
−500.0
500.0
1500.0
2500.0
3500.0
4500.0
5500.0
6500.0
7500.0
m
m
3
Segmentation
Spheres
Isosurfaces
FIG. 5 — Suivi du volume d’une lésion au cours du temps.
La mesure confirme l’intuition quant à l’effet de masse,
et en donne une quantification. La validation médicale est
cependant très difficile. Actuellement à l’étude, elle passe
par une analyse statistique. Nous observons, au bout de 20
mesures successives, une valeur très proche de la valeur
segmentée (200 mm3 d’erreur en final à comparer aux 7500
mm3 de l’extension maximale). Cela donne un ordre de
grandeur de l’erreur systématique de l’opérateur.
5 Conclusion
Grâce à un recalage tridimensionnel précis suivi d’une
mise en correspondance non rigide, nous caractérisons l’évo-
724
lution d’une lésion par un champ de vecteurs. L’intégration
de ce champ sur des coquilles emboîtées qui peuvent être des
sphères ou des surfaces plus générales conduit à une méthode
robuste et reproductible. Dans une série d’images portant sur
une lésion (cérébrale) de sclérose en plaques, nous observons
une déformation avec effet de masse. C’est, à notre connais-
sance, la première tentative de quantification de ce phénomène
in vivo. Cependant, nous pensons que cet outil ne doit pas se
limiter à l’étude des plaques de scléroses mais qu’il peut éga-
lement servir à caractériser l’évolution d’autres structures ana-
tomiques saines ou pathologiques.
Remerciements
Nous tenons à remercier tout particulièrement le Dr. N. Ro-
berts du Magnetic and Research in Image Analysis Centre
(MARIARC), Liverpool, pour son aide et surtout sa connais-
sance de l’imagerie et des pathologies cérébrales. Nous remer-
cions également les Dr. R. Kikinis et C. Guttmann du Brigham
and Women’s Hospital, Harvard Medical School, Boston, pour
les images de la série temporelle, et le Pr. C. Marsault, Hôpital
de la Pitié-Salpêtrière, Paris. Enfin, ce travail s’inscrit dans le
cadre du projet européen BIOMORPH.
Références
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Ron Kikinis. Segmentation of brain tissues from MRI.
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Calcul de variations de volume de lésions dans des images médicales tridimensionnelles

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