Nous présentons un algorithme de segmentation en régions non supervisé qui utilise la théorie des champs de Markov. Ces techniques de relaxation markoviennes amènent à de bons résultats mais présentent cependant les inconvénients, dans leur implantation classique, de conduire à des temps de calcul élevés et de nécessiter l'introduction de plusieurs seuils. Nous nous sommes donc proposé de résoudre ces deux problèmes majeurs et avons développé une nouvelle technique de relaxation markovienne. Une étude comparative des différentes stratégies d'utilisation des relaxations markoviennes est ensuite menée, de manière rigoureuse, aussi bien du point de vue qualité des résultats que du point de vue coût algorithmique. Des conclusions intéressantes en découlent

BONTON, Pierre

ROUQUET, Catherine

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 31
Segmentation en régions non supervisée
par relaxation markovienne,
une étude comparative
Catherine ROUQUET et Pierre BONTON
LAboratoire des Sciences et Matériaux pour l’Electronique, et d’Automatique
UMR 6602 du CNRS - Université Blaise Pascal
24,avenue des Landais - 63110 Aubière Cedex
RÉSUMÉ
Nous présentons un algorithme de segmentation en régions non su-
pervisé qui utilise la théorie des champs de Markov. Ces techniques
de relaxation markoviennes amènent à de bons résultats mais pré-
sentent cependant les inconvénients, dans leur implantation classique,
de conduire à des temps de calcul élevés et de nécessiter l’introduc-
tion de plusieurs seuils. Nous nous sommes donc proposé de résoudre
ces deux problèmes majeurs et avons développé une nouvelle tech-
nique de relaxation markovienne.
Une étude comparative des différentes stratégies d’utilisation des re-
laxations markoviennes est ensuite menée, de manière rigoureuse,
aussi bien du point de vue qualité des résultats que du point de vue
coût algorithmique. Des conclusions intéressantes en découlent.
ABSTRACT
We present a non-supervised region based segmentation algorithm
which uses Markov Random Fields. These markovian relaxation
techniques lead to good results but present some inconvenients
in their classic implementation. Indeed, they lead to important
computation times and need using some threshods. So, we proposed
to resolve these problems and have developped a new markovian
relaxation technique.
A comparative study on the different strategies of use of markovian
relaxation is then led on synthesis images. It takes into account
quality of results as well as computation times. Interesting results of
comparison are presented.
La segmentation reste un des problèmes fondamentaux de
l’analyse d’images. Son rôle consiste, à partir des données,
de retrouver l’information utile et de la coder sous une forme
de liste de primitives, plus facilement exploitable par un futur
processus d’interprétation. Afin de résoudre ce problème, nous
utilisons des méthodes de relaxation markovienne, particuliè-
rement réputées pour la qualité des résultats auxquels elles
amènent. Celles-ci possèdent cependant les inconvénients de
demander de grands temps de calcul et de nécessiter l’intro-
duction de plusieurs seuils. Afin de remédier à ces inconvé-
nients, nous avons mis en place une méthode de relaxation
particulière. En effet, elle est réalisée, non pas sur des pixels
comme usuellement, mais sur des régions déterminées anté-
rieurement lors d’un processus de division. Ceci permet de di-
minuer considérablement le nombre d’entités présentes dans
la relaxation et par la suite, les temps de calcul. D’autre part,
certains éléments, comme par exemple une étude de la varia-
tion d’énergie au cours de la relaxation, permettent de fixer,
de manière adaptative, tous les seuils de l’algorithme, rendant
celui-ci entièrement non supervisé.
Dans le premier chapitre, nous développons la technique
de division utilisée. La fusion, fondée sur une relaxation
markovienne définie sur le graphe d’adjacence, est décrite
dans le second chapitre. Elle amène à présenter des résultats
expérimentaux. Afin d’estimer la qualité de ceux-ci, nous
menons lors du troisième chapitre une étude comparative entre
les résultats obtenus par différentes techniques de relaxation
markovienne.
1 La division
L’algorithme de division est fondé sur l’étude de la forme
des matrices de cooccurrence définies par Haralick [HSD73] et
plus particulièrement, sur celle de leur diagonale [HG91]. En
effet, cette diagonale peut être utilisée comme un histogramme
de niveaux de gris : recherche des pics et des vallées, puis ex-
traction des classes. L’avantage des matrices de cooccurrence
dans ce contexte est que celles-ci sont basées sur des statis-
tiques d’ordre deux et utilisent donc la notion de voisinage ; ce
qui les rend beaucoup moins sensible au bruit. Ceci a été mon-
tré, de manière théorique sur des modèles de bruit simples, et
de manière pratique sur plusieurs images réelles bruitées dans
le cadre de la division [ROU96].
L’algorithme de division se décompose en cinq phases :
– Découpage de l’image en secteurs.
L’image est découpée en fenêtres rectangulaires à l’in-
térieur desquelles sera effectuée la division.
– Calcul de la diagonale de la matrice de cooccurrence.
La matrice de cooccurrence est déterminée à partir
d’une distance de 1 pixel et des orientations 0 et 90
degrés. De plus, une échelle de niveaux de gris réduite
de façon linéaire à 64 est utilisée.
32
– Extraction des classes.
Une classe est définie à partir d’un pic de la diagonale
et de ses deux vallées.
– Ré-étiquetage de l’image.
L’image est ré-étiquettée afin de donner une étiquette
différente à chaque ensemble de pixels connexes appar-
tenant à la même classe.
– Suppression des petites régions.
Toutes les régions dont la taille est inférieure à 25 pixels
sont supprimées par fusion avec la région voisine ayant
la moyenne de niveaux de gris la plus proche.
Cet algorithme de division, basé sur des statistiques d’ordre
deux, permet d’obtenir de bons résultats qui maintenant,
initialisent le processus de fusion.
2 La fusion
2.1 Les données
Les données d’entrée du processus de fusion sont les
régions issues de la division. Celles-ci sont modélisées par un
graphe d’adjacence. Le vecteur de caractéristiques des régions
est composé de trois paramètres :
- la moyenne des niveaux de gris, notée  ;
- l’énergie, notée E ;
- l’homogénéité, notée H .
Les deux derniers paramètres sont liés à la texture. Ils
sont définis par Haralick [HSD73] à partir des matrices de
cooccurrence.
2.2 Approche statistique
Afin de résoudre le problème de la fusion, nous nous
plaçons dans le cadre des champs de Markov. Les régions
forment le champ de données R D fR1; :::; RN g. Le problème
est de mettre en correspondance ce champ de données et un
champ d’étiquettes E D fe1; e2; :::; eN g. Nous nous plaçons
dans le contexte de la maximisation a posteriori et des champs
de Gibbs et nous ramenons à la minimisation de la somme de
deux énergies :
U.E=R/ D U.R=E/C  U.E/ (1)
où  est utilisé pour ajuster les deux énergies.
Pour minimiser cette somme, nous utilisons l’algorithme
IC M (Iterated Conditional Mode) [DJ89] qui consiste à
minimiser l’énergie de manière locale, en chaque région. De
plus amples détails sur la relaxation peuvent être trouvés dans
[RCCB96]. D’autres méthodes de relaxation sur des régions
sont exposées dans [AG92] [MZ92]. Pour une région Ri ,
d’étiquette ei , l’énergie affectée à cette région est :
U.ei=Ri ;GRi / D U.Ri=ei/C  U.ei=eGRi / (2)
où :
- GRi représente le voisinage de la région Ri .
- eGRi
représente les étiquettes des régions voisines à Ri .
Nous modélisons l’énergie de transposition U.Ri=ei/ par la
distance euclidienne entre le vecteur de caractéristiques de la
région Ri et celui de l’étiquette ei :
U.Ri=ei / D 4 .Ri Ä ei /
2 C .HRi Ä Hei /
2 C .ERi Ä Eei /
2
(3)
L’énergie a priori U.ei=eGRi
/ est modélisée par une fonc-
tion linéaire :
U.ei=eGRi
/ D 1Ä
X
R j2GRi
.e j D ei /
X
R j2GRi
1
(4)
où .x/ D 1 si x est vraie et est nulle dans les autres cas.
La première énergie, U.R=E/, diminue au cours des itéra-
tions, tandis que la deuxième, U.E/, augmente avec celles-ci.
Une valeur de  inférieure à 1 favorise l’énergie U.R=E/ au
départ, ce qui tend à créer de nouvelles étiquettes. A la fin du
processus, les deux énergies sont équilibrées de manière à sta-
biliser le système. Le problème est que l’on ne connaît pas le
minimum d’énergie à atteindre et donc, qu’il est impossible de
déterminer la valeur de  rigoureusement, dés de début de la
relaxation. Pour pallier ce problème et obtenir une segmenta-
tion adaptative, nous faisons varier  au cours des itérations.
L’idée est de le faire varier de manière inverse à l’énergie. Une
faible valeur de  au début de la relaxation (forte énergie) per-
mettra la création de nouvelles étiquettes, alors qu’une forte
valeur à la fin des itérations (faible énergie) stabilisera le pro-
cessus. Nous présentons ci-dessous l’évolution de  au cours
des itérations :
– k D 0,  D 0 ; Stabilisation du processus et extraction
de l’énergie U.Ri=ei / maximale : U0 max ;
– Pour les itérations suivantes, et jusqu’à la stabilisation
du processus : extraction de Uk max . La nouvelle valeur
de  est fixée à :  D U0 max ÄUk max
Nous avons implanté cette méthode de variation du para-
mètre  dans notre algorithme et avons obtenu de bons résul-
tats. L’algorithme est devenu adaptatif.
2.3 Résultats expérimentaux
Afin de montrer la généralité de l’algorithme, nous pré-
sentons des résultats de segmentation sur des images de taille
512 512 et de types différents (figures 1, 2).
Pour ces images, de bons résultats de segmentation sont
obtenus, sans changer aucun seuils. Nous avons fortement
diminué les temps de calcul mis par la relaxation markovienne
en initialisant celle-ci par le graphe d’adjacence des régions
obtenu par la méthode de division. Afin d’estimer les gains
de temps réalisés, nous devons comparer cette méthode aux
autres méthodes de relaxation existantes.
3 Etude comparative
Afin de comparer plusieurs algorithmes de segmentation,
nous utilisons une image de synthèse provenant de la banque
33
FIG. 1 — Résultat de segmentation.
FIG. 2 — Résultat de segmentation.
de donnée du GdR TDSI (figure 3). Les différentes segmen-
tations sont évaluées par rapport à la segmentation idéale,
connue a priori, en utilisant la mesure de Vinet. Celle-ci, pré-
sentée dans [VIN91], mesure la distance entre deux segmen-
tations. Une faible valeur de la mesure correspond à deux seg-
mentations très proches, tandis qu’une forte valeur représente
deux cartes de régions assez éloignées.
Dans le premier paragraphe, nous définissons les algo-
rithmes que nous comparons. Les résultats expérimentaux
sont présentés dans un second paragraphe et amènent à tirer
quelques conclusions.
FIG. 3 — Image de synthèse.
3.1 Présentation des algorithmes utilisés
Quatre algorithmes de relaxation markovienne sont étudiés.
Pour tous, la relaxation est fondée sur l’algorithme IC M et le
modèle markovien utilisé est :
U.si=ei/ D .si Ä ei /
2 (5)
U.ei=eGsi
/ D 1Ä
X
s j2Gsi
.e j D ei/
X
s j2Gsi
1
(6)
Nous détaillons ci-dessous chacun de ces algorithmes.
1 - Relaxation définie sur un graphe d’adjacence. L’al-
gorithme considéré ici est une version légèrement modifiée de
celui décrit dans ce document car la texture n’intervient plus.
2 - Relaxation double-échelles définie sur un gra-
phe d’adjacence. Cet algorithme contient deux niveaux ou
échelles. Le premier est l’algorithme présenté ci-dessus où les
champs de Markov sont définis sur un graphe d’adjacence. Le
second niveau de relaxation est initialisé par le résultat de seg-
mentation du premier. Ici, la modélisation des champs de Mar-
kov est réalisée directement sur le champ d’observation (les
pixels).
3 - Relaxation définie sur le champ d’observation.
C’est l’algorithme de relaxation markovienne classique où
les champs de Markov sont directement définis sur le champ
d’observation.
4 - Relaxation multi-échelles définie sur le champ d’ob-
servation. L’algorithme repose sur l’approche multi-échelles
introduite par Heitz et al. [HPB94] où la minimisation des
énergies est fondée sur une structuration pyramidale des éti-
quettes. Cette méthode amène à de bons résultats, avec des
temps de calcul plus faibles que ceux obtenus par une relaxa-
tion classique
3.2 Comparaison des résultats
Nous avons appliqué les quatre algorithmes précédents à
deux images de synthèse. Celles-ci correspondent à l’image
présentée ci-dessus additionnée par des bruits blancs de distri-
butions gaussienne et exponentielle. Nous appelons B RU I T 1
et B RU I T 2 ces deux images.
Dans le tableau ci-dessous, nous présentons la mesure de
Vinet estimée à partir des segmentations déterminées et de
la segmentation idéale. Les temps (en milli-secondes) ont été
obtenus sur une station de travail H P9000=735 en considérant
une seule trame de l’image. Les différents algorithmes sont
référencés en fonction du numéro qui leur a été attribué.
Algorithme 1 2 3 4
Image BRUIT1
Mesure de Vinet 2.12 1.58 2.37 1.91
Temps (ms) 450 2800 28960 3320
Image BRUIT2
Mesure de Vinet 2.02 1.76 2.22 1.99
Temps (ms) 410 1870 21060 4070
34
Plusieurs conclusions peuvent être tirées de ce tableau.
Tout d’abord, de manière générale, l’algorithme de relaxation
défini sur un graphe d’adjacence (1) mène à des temps de
calcul faibles pour une qualité de résultats comparable à celle
obtenue avec la relaxation sur le champ d’observation (3).
De plus, l’algorithme proposé est moins sensible aux mi-
nima locaux que les méthodes de relaxation sur le champ d’ob-
servation. En effet, beaucoup de pixels sont déjà regroupés
au début du processus markovien. La relaxation est initiali-
sée avec une carte de régions proche de la solution finale, ce
qui permet à l’algorithme IC M d’éviter un grand nombre de
minima locaux.
Cependant, un des inconvénients de cette méthode est que
les régions issues de l’étape de division sont figées, elles
ne peuvent pas être changées lors de la relaxation. Afin de
résoudre ce problème, nous avons développé l’algorithme
double-échelles (2) : suite à l’algorithme précédent, une se-
conde relaxation, initialisée par le résultat du premier algo-
rithme, est réalisée directement sur le champ d’observation.
Cette étape permet d’affiner les contours des différentes ré-
gions et donc, d’amener à de meilleurs résultats. Les temps
de calcul eux sont bien évidemment augmentés. Ils restent ce-
pendant inférieurs à ceux obtenus avec une relaxation sur le
champ d’observation (cinq fois plus faibles). Du point de vue
qualité des résultats, nous voyons que ceux obtenus avec cette
méthode sont meilleurs que les segmentations obtenues avec
une relaxation sur le champ d’observation (3).
Nous avons également comparé notre méthode avec la
relaxation multi-échelles définie sur le champ d’observation
(4). Nous avons pu conclure que les résultats de notre méthode
sont obtenus plus rapidement et de plus, sont de meilleure
qualité.
De manière générale, la méthode développée conduit à des
résultats de meilleure qualité que ceux obtenus avec d’autres
méthodes de relaxation. De plus, les temps de calcul sont plus
faibles.
3.3 Conclusion
Nous proposons une méthode de segmentation en régions
non supervisée, de type division-fusion. La division est réali-
sée afin d’initialiser un processus de relaxation markovienne.
Cette technique permet, comme nous l’avons montré, de dimi-
nuer considérablement les temps d’exécution mis pour obtenir
les segmentations.
La division, utilisant uniquement les niveaux de gris, a été
présentée lors d’une première partie. Son originalité réside
dans le fait que des statistiques d’ordre deux ont été choisies
pour rechercher les différentes régions et rendre ainsi la
division plus robuste.
La fusion est détaillée dans un second temps. Afin d’obte-
nir des résultats de bonne qualité, nous utilisons une relaxa-
tion markovienne. Celle-ci présente cependant l’inconvénient
de conduire à des temps de calcul élevés. Pour pallier ce pro-
blème, la relaxation proposée est réalisée de manière particu-
lière. En effet, le champ de Markov est modélisé sur le graphe
d’adjacence des régions issues de la division. Ceci entraîne
une diminution du nombre de sites et permet, comme nous
l’avons montré lors d’une étude comparative, de diminuer
énormément les temps de calcul tout en gardant des résultats
de bonne qualité. Par l’introduction d’un nouveau paramètre
lors de la relaxation markovienne, nous avons rendu celle-
ci entièrement autonome et indépendante du type d’images
traitées. En effet, celui-ci varie directement en fonction de
la baisse d’énergie, permettant ainsi de réguler les différents
termes intervenant lors de la relaxation.
Lors d’une dernière partie, nous avons montré la nécessité
de comparer notre méthode de segmentation avec d’autres déjà
existantes. Cette étude, menée de manière rigoureuse sur des
images de synthèse, a permis de mettre en avant les avantages
de notre algorithme (temps de calcul et qualité des résultats).
Références
[AG92] AZENCOTT (R.) et GRAFFIGNE (C.). – Non
Supervised Segmentation using Multi-Level Mar-
kov Random Fields. Pattern Recognition, vol. 3,
Août 1992, pp. 201–205. – The Hague.
[DJ89] DUBES (R.C.) et JAIN (A.K.). – Random Field
Models in Image Analysis. Journal of Applied
Statistics, vol. 16, n2, 1989, pp. 131–164.
[HG91] HOUZELLE (S.) et GIRAUDON (G.). – Seg-
mentation en régions par modélisation de matrices
de cooccurrence. Reconnaissance des Formes et
Intelligence Artificielle, vol. 3, 1991, pp. 1177–
1183. – Lyon Villeurbanne.
[HPB94] HEITZ (F.), PEREZ (P.) et BOUTHEMY (P.). –
Multiscale Minimization of Global Energy Func-
tions in some Visual Recovery Problems. Com-
puter Vision, Graphics and Image Processing,
vol. 59, n1, Janvier 1994, pp. 125–134.
[HSD73] HARALICK (R.M.), SHANMUGAM (K.) et
DINSTEIN (I.). – Textural Features for Image
Classification. IEEE Trans. Systems, Man, and
Cybernetics, vol. 3, n6, 1973, pp. 610–621.
[MZ92] MODESTINO (J.W.) et ZHANG (J.). – A Markov
Random Field Model-Based Approach to Image
Interpretation. IEEE Trans. Pattern Analysis and
Machine Intelligence, vol. 14, n6, 1992, pp. 606–
615.
[RCCB96] ROUQUET (C.), CHAUSSE (F.), CHAPUIS (R.)
et BONTON (P.). – Segmentation non-supervisée
d’images de scènes routières, une approche multi-
critères. Traitement du Signal, vol. 3, n13, 1996,
pp. 195–208.
[ROU96] ROUQUET (C.). – Segmentation en régions non
supervisée par relaxation markovienne. – LAS-
MEA, Thèse de PhD, Université Blaise-Pascal,
Clermont-Ferrand, Juin 1996.
[VIN91] VINET (L.). – Segmentation et mise en corres-
pondance de régions de paires d’images stéréo-
scopiques. – Thèse de PhD, Université de Dau-
phine, Paris IX, 1991.


Segmentation en régions non supervisée par relaxation markovienne, une étude comparative

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues