Parmi les nombreux critères d'estimation du nombre de sources ou de composantes fréquentielles disponibles dans la littérature, nous nous intéressons au critère GDE qui repose sur l'estimation des rayons des disques de Gerschgôrin. Ce critère requiert au préalable la modification de la matrice de covariance à l'aide d'une transformation unitaire, afin de séparer les disques de Gerschgôrin en deux jeux distincts, l'un associé aux sources du signal, l'autre associé au bruit. Notre contribution consiste à modifier ce critère en un nouveau critère appelé SGDE utilisant la somme des rayons des disques. De plus, nous proposons d'appliquer une technique de déflation à la matrice de covariance avant l'utilisation de ce nouveau critère, afin de le rendre moins sensible à des sources de puissance différente. Les résultats obtenus montrent que le critère présente de bonnes performances, notamment avec du bruit coloré, des signaux comprenant peu d'échantillons et des sources de puissance différente

CASPARY, Olivier

NUS, Patrice

I-Revues

Estimation du nombre de composantes d’un signal
à l’aide du critère GDE amélioré
Olivier Caspary et Patrice Nus
Centre de Recherche en Automatique de Nancy
Université H. Poincaré, Nancy 1
11, rue de l’Université - 88100 Saint-Dié
Tél. : 03.29.51.65.38 - Fax : 03.29.51.65.21
E-mail : ocaspary@cran.iutsd.u-nancy.fr
RÉSUMÉ
Parmi les nombreux critères d’estimation du nombre de
sources ou de composantes fréquentielles disponibles dans la
littérature, nous nous intéressons au critère GDE qui repose sur
l’estimation des rayons des disques de Gerschgörin. Ce critère
requiert au préalable la modification de la matrice de covariance à
l’aide d’une transformation unitaire, afin de séparer les disques de
Gerschgörin en deux jeux distincts, l’un associé aux sources du
signal, l’autre associé au bruit. Notre contribution consiste à
modifier ce critère en un nouveau critère appelé SGDE utilisant la
somme des rayons des disques. De plus, nous proposons
d’appliquer une technique de déflation à la matrice de covariance
avant l’utilisation de ce nouveau critère, afin de le rendre moins
sensible à des sources de puissance différente. Les résultats obtenus
montrent que le critère présente de bonnes performances,
notamment avec du bruit coloré, des signaux comprenant peu
d’échantillons et des sources de puissance différente.
ABSTRACT
Among the numerous criteria which are available in
literature to estimate the number of sources or of frequential
components, we have chosen to examine the GDE criterion. This
criterion is based on the estimation of the Gerschgorin disks’ radii
and can be applied to the estimation mentioned above, provided the
covariance matrix has been changed beforehand with a unitary
transformation, so as to separate the Gerschgorin disks in two
distinct sets : one associated to the signal sources, the other related
to the noise. In this paper, we aim at modifying that criterion into a
new one called SGDE by using the sum of the disks’ radii. Besides,
we suggest applying a deflation method to the covariance matrix
before using the new criterion, in order to make it less sensitive to
sources of different power. The results show that the SGDE
criterion can be applied in many situations, particularly in the case
of coloured noise, of signals containing few samples or of sources
with different power.
1  Introduction
En analyse spectrale, l’estimation du nombre de
sources ou de composantes fréquentielles est un problème
crucial car les performances des méthodes d’analyse
spectrale dites "haute résolution" dépendent généralement
des dimensions des sous-espaces signal et bruit. De
nombreux critères sont apparus, parmi lesquels des critères
directs utilisant le profil des valeurs propres [1], des critères
plus élaborés intégrant les propriétés statistiques du bruit tels
que les critères AIC et MDL [2], et plus récemment un
critère exploitant le profil des valeurs propres du bruit [3].
Cependant, si le nombre d’échantillons est faible, si le bruit
n’est pas un bruit blanc gaussien, si l’écart de puissance
entre les composantes est important, alors la plupart de ces
critères perdent de leur efficacité ou ne sont plus
applicables. Il faut donc disposer d’informations a priori
pour pouvoir choisir le ou les critères adaptés.
Pour éviter ce cas de figure dans la mesure du possible, nous
portons notre intérêt sur un critère récent, le critère GDE
(Gerschgorin Disk Estimator), qui utilise les rayons des
disques de Gerschgörin. En effet, il est par nature
géométrique, contrairement à la nature statistique des
critères bien connus AIC et MDL. Par conséquent, les
modèles de bruit peuvent être inconnus [4].
Dans la section suivante, nous présentons le
théorème de Gerschgörin et une transformation unitaire
permettant de l’exploiter avec la matrice de covariance. Les
critères GDE et SGDE (Sum of Gerschgorin Disk Estimator)
sont décrits dans la section 3. Ensuite, la technique de
déflation que nous associons au critère SGDE est présentée
dans la section 4. Enfin, la dernière section est consacrée
aux simulations que nous avons effectuées dans le but de
comparer les performances de notre approche avec le critère
GDE.
2  Le théorème de Gerschgörin
Le théorème de Gerschgörin permet de localiser les
valeurs propres d’une matrice. Soit une matrice carrée A
d’ordre N, alors toutes les valeurs propres λ  de A
appartiennent à l’union des N disques de Gerschgörin telles
que :
λ ∈ ∪
=k
N
kD1 (1)
où chaque disque de Gerschgörin Dk  est défini dans le plan
complexe par un rayon  rk  de la forme :
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 535
r ak kl
l
l k
N
=
=
≠
∑
1
(2)
et un centre O ak kk= .
Cependant, dans la référence [4], les auteurs ont montré que
le théorème de Gerschgörin n’est pas applicable sous cette
forme pour estimer le nombre de sources, car les disques
sont fortement entrelacés et les rayons sont grands au point
de ne pouvoir distinguer les sous-espaces signal et bruit.
L’exemple suivant illustre cet entrelacement.
Nous considérons un signal x(t) de 20 échantillons
comprenant deux sinusoïdes de même amplitude et de
fréquences normalisées f1 = 0,20 , f2 = 0,25 noyées dans un
bruit blanc gaussien b(t) de variance unitaire, tel que :
x t A f t A f t b t( ) sin( ) sin( ) ( )= + +1 1 2 22 2pi pi (3)
où t = 1, 2, ... , 20  ,  A1 = A2 = 4,47 (10 dB). La matrice de
covariance C, de dimension N = 8, est estimée sous forme
covariance modifiée. L’application directe du théorème de
Gerschgörin sur l’estimation de la matrice C donne les
résultats de la figure 1.
-5 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0
-8 0 0
-6 0 0
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
axe réel
a x e  im a g in a ire
Fig. 1. Disques de Gerschgörin de la matrice de covariance
( * : centres des disques ).
Le domaine d’appartenance des valeurs propres associées au
bruit recoupe le domaine d’appartenance des valeurs propres
associées au signal. La distinction en sous-espaces signal et
bruit n’est pas réalisable.
Aussi, dans la référence [4], une solution possible
nécessitant une transformation unitaire de la matrice de
covariance a été proposée. Cette solution ne modifie pas les
valeurs propres et se présente succinctement sous la forme
suivante :
Soit la matrice de covariance :
C
C
=




1 c
c H cNN
(4)
alors il existe une matrice unitaire :
U
U
=




1
1
0
0 H (5)
où U1 est également une matrice unitaire formée des
vecteurs propres de C1 , telle que la matrice de covariance
transformée devienne :
S U CU
S U
U c
H
NN
= =




1 1
H
1
 c
cH
(6)
La matrice diagonale S1 contient les valeurs propres λ’ ,
ordonnées dans le sens décroissant, de la sous-matrice C1.
Comme U est une matrice unitaire formée par les vecteurs
propres de C, les valeurs propres de S sont identiques à
celles de C, et il a été démontré que les disques de
Gerschgörin ont les rayons et centres suivants :
r Uk
H
= 1 c    ,   Ok = λ' (7)
pour k = 1, ... , N-1.
En théorie, dans le cas d’un nombre infini d’échantillons, les
rayons associés au sous-espace bruit sont nuls tandis que
ceux associés au sous-espace signal ne le sont pas. Ceci est
dû au principe d’orthogonalité entre les vecteurs propres
estimés de U1 et le vecteur c qui contient les directions des
sources du signal. En pratique, comme le nombre
d’échantillons est fini et la matrice de covariance estimée,
on recherche un ensemble de disques avec de grands rayons,
pour le sous-espace signal, distinct d’un second ensemble de
disques avec de faibles rayons, pour le sous-espace bruit.
Les rayons définis par l’équation (7) sont pratiquement
indépendants de la nature du bruit. Ils dépendent cependant
de la précision sur l’estimation des vecteurs propres de U1,
donc de la taille du signal à étudier. Avec la transformation
unitaire, la figure 1 de l’exemple précédent devient :
2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
-4 0 0
-3 0 0
-2 0 0
-1 0 0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
ax e  ré e l
a x e  im a g in a ir e
Fig. 2. Disques de Gerschgörin de la matrice de covariance
calculés après la transformation unitaire.
D’une part, les centres des disques associés au sous-espace
signal sont distincts des autres centres regroupés près de 0,
d’autre part, leurs rayons sont bien plus grands. On distingue
bien 4 sources complexes, soit un signal contenant 2
sinusoïdes. Dans la section suivante, nous tentons d’exploiter
les résultats obtenus par l’équation (7), et illustrés par la
figure 2, à l’aide de critères judicieux.
536
3  Les critères GDE et SGDE
Les critères heuristiques les plus naturels sont ceux
qui reposent uniquement sur les rayons des disques. Il s’agit
de distinguer les plus grands rayons des autres pour pouvoir
estimer la dimension M du sous-espace signal. A cet égard,
on peut faire l’analogie avec les critères simples employant
les valeurs propres, facilement applicables et d’un coût de
calcul négligeable devant celui de la décomposition en
valeurs propres [1]. Ainsi un critère que l’on peut
couramment employer consiste à chercher un rayon très
grand par rapport au rayon suivant, soit :
r rM M>> +1 (8)
En normalisant par le rayon le plus grand, on peut déduire le
critère ci-après :
 
r
r
r
r
M
MAX
M
MAX
> > +δ 1 (9)
où δ est un seuil arbitraire.
Une autre manière de définir un seuil raisonnable
consiste à enlever la moyenne des rayons à chacun d’entre
eux, soit le critère GDE décrit par :
GDE k r
F L
N
rk i
i
N
( ) ( )= −
−
=
−∑1
1
1
(10)
avec k = 1, ... , N-1 , et F(L) est un facteur ou une fonction
ajustable selon le nombre d’échantillons L du signal.
Généralement, F(L) = 1. Ce critère repose sur l’hypothèse
que le nombre de sources M est tel que M<N-1. Sous une
autre écriture, le critère GDE devient :
GDE k r F Lk( ) ( )= − r (11)
où le vecteur r est défini par r
 = [ r1  ...  rN-1 ] et r
représente la moyenne de r. Quand la première valeur
négative de GDE(k) est atteinte, l’estimation de M est alors
M = k-1.
Cependant, le critère GDE n’est pas satisfaisant
parce que, contrairement aux valeurs propres qui sont
ordonnées dans un ordre décroissant lors de la
décomposition, les rayons des disques ne le sont pas. Pour
une valeur propre significative, nous pouvons avoir un rayon
plus faible que ceux correspondant aux autres valeurs
propres significatives (voir par exemple la figure 2). Le
critère GDE s’arrête donc à la première valeur négative
obtenue alors que les valeurs suivantes de ce critère peuvent
à nouveau être positives. Pour éviter dans la mesure du
possible ce cas de figure, nous proposons le critère SGDE
suivant :
SGDE k r F L
N
ri
i k
N
i
i l
N
l
N
( ) ( )= −
−
=
−
=
−
=
−∑ ∑∑1 1
1
1
1
(12)
dans les mêmes conditions d’utilisation que le critère GDE.
Sous une autre écriture, en posant :
r k rS i
i k
N
( )=
=
−∑1 (13)
pour k variant de 1 à N-1, le critère SGDE devient :
SGDE k r k F LS( ) ( ) ( )= − rS (14)
où le vecteur rS est défini par rS = [ rS1  ...  rSN-1 ] et rS
représente la moyenne de rS.
Le fait d’utiliser les sommes des rayons plutôt que les rayons
offre une plus grande robustesse au  critère SGDE par
rapport au critère GDE. D’autres critères heuristiques
peuvent être élaborés, par exemple en combinant à la fois les
rayons et les centres des disques.
Sans se limiter à la famille des critères heuristiques,
une autre approche présentée dans la référence [4] est
l’approche de la fonction de vraisemblance développée à
partir de la matrice de covariance transformée. Elle conduit
à des critères GAIC et GMDL qui sont à nouveau
dépendants des statistiques du bruit.
4  Déflation sur la matrice de covariance
Dans le cas où les sources ont des puissances
différentes, les valeurs propres "signal" sont difficilement
dissociables des valeurs propres "bruit". En effet, certaines
d’entre elles peuvent présenter le même profil que les
valeurs propres "bruit" [3]. Les critères heuristiques reposant
sur des seuils de valeurs propres sont alors mis en échec.
Pour tenter de remédier à ce problème, une technique de
déflation sur la matrice de covariance estimée C peut être
mise en place. Elle consiste à enlever le vecteur propre de C
correspondant à la valeur propre la plus élevée pour former
une matrice de projection P sur le sous-espace bruit supposé,
puis nous projetons C dans ce sous-espace. Cette technique
est répétée jusqu’au dernier vecteur propre et peut se
résumer de la manière suivante :
1. Décomposition de C(N,N) en valeurs propres et en
vecteurs propres.
2. Technique de déflation :
Pour i = 1 à N
2.1 Matrice de projection P = Up UpH ( avec Up
contenant les N+1-i derniers vecteurs propres de U).
2.2 Projection Cp = P C .
2.3 Formation de la matrice C1 et du vecteur c .
2.4 Décomposition de C1 en valeurs propres λ’ et en
vecteurs propres ( matrice U1 ).
2.5 Calcul des rayons à l’aide de l’équation (7).
2.6 Calcul des variables pour les critères :
- critère GDE : rp(i) = r1
- critère SGDE : rS(i) = rj
j
N
=
−∑
1
1
fin_pour
3. Calcul des critères d’estimation GDE (r
 = rp) et SGDE.
Cette technique de déflation permet de mieux séparer les
valeurs propres "signal" des valeurs propres "bruit". Elle
permet également de réduire les rayons des disques associés
537
au sous-espace bruit, sans conséquence importante sur ceux
associés au sous-espace signal. Cependant, son coût de
calcul est élevé. La figure 3, qui reprend l’exemple présenté
dans la section 2, illustre cette amélioration : 4 disques se
détachent nettement des autres.
2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
-4 0 0
-3 0 0
-2 0 0
-1 0 0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
ax e  ré e l
a x e  im a g in a ir e
Fig. 3. Disques de Gerschgörin calculés après déflation
de la matrice de covariance.
Comme dans le cas de la transformation unitaire, la
technique de déflation dépend de la précision sur
l’estimation des vecteurs propres de la matrice de covariance
C, donc de l’estimation de cette matrice.
5  Résultats
Les performances des critères GDE et SGDE sont
illustrées par des résultats de simulation. Lors de ces
simulations, le nombre d’échantillons est L = 32 et la
matrice de covariance estimée C est de dimension N = 16
sous la forme covariance modifiée. Pour chaque résultat, 200
simulations de Monte-Carlo sont réalisées. F(L) est fixé à 1.
En premier lieu, nous considérons 2 sinusoïdes de
même amplitude dans un bruit blanc gaussien, soit
l’équation (3) avec les paramètres suivants : deux fréquences
normalisées f1 = 0,25 et f2 = 0,27 noyées dans un bruit blanc
gaussien b(t) de variance unitaire, et des amplitudes A1 = A2 
qui varient de  -5 dB à +20 dB. Comme le montre la figure
4, le taux de détection du critère SGDE sans déflation est
supérieur de 2 à 3 dB à ceux des critères GDE sans déflation
et SGDE avec déflation. Le taux de détection du critère
GDE avec déflation est faible, en raison de la faible
précision sur l’estimation des vecteurs propres.
Nous effectuons de nouvelles simulations en
remplaçant uniquement le bruit blanc gaussien b(t) par un
bruit coloré. Ce bruit est généré par un filtrage autorégressif
du bruit blanc gaussien avec un coefficient de 0,9. Les taux
de détection des critères SGDE avec et sans déflation sont
supérieurs aux critères GDE (voir figure 5).
A présent, nous nous intéressons aux différences
d’amplitude des deux sinusoïdes en fixant l’amplitude de A1
à 10 dB et en faisant varier la seconde de 10 dB à 25 dB. Le
critère SGDE avec déflation présente un taux de détection de
100 % jusqu’à une différence d’amplitude de 7 dB, soit une
amélioration de l’ordre de 4 dB par rapport au critère SGDE
sans déflation, comme le montrent les figures 6 et 7. On peut
également remarquer que les performances des critères
SGDE sont pratiquement indépendantes de la nature du bruit
puisqu’elles sont similaires dans le cas d’un bruit blanc et
d’un bruit coloré (cf. figures 6 et 7).Quant aux critères GDE,
leurs performances sont bien plus faibles.
Sans déflation : GDE (  ) et SGDE ( *  )
Avec déflation : GDE (  ) et SGDE ( *  )
R S B  (d B )
ta
ux
 
de
 
dé
te
ct
ion
 
( %
 
)
-5 0 5 1 0 1 5 2 00
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
   
RS B  (d B )
ta
ux
 de
 
dé
tec
tio
n 
( %
 
)
-5 0 5 1 0 1 5 2 00
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
Fig. 4. Performances de GDE
et SGDE avec du bruit blanc
(amplitudes identiques)
Fig. 5. Performances de GDE
et SGDE avec du bruit coloré
(amplitudes identiques)
10 15 20 2 50
20
40
60
80
100
RS B  (d B )
ta
ux
 
de
 
dé
te
ct
ion
 
( %
 
)
    
10 15 20 250
20
40
60
8 0
100
R S B  (d B )
ta
ux
 
de
 
dé
te
ct
ion
 
( %
 
)
Fig. 6. Performances de GDE
et SGDE avec du bruit blanc
(amplitudes différentes)
Fig. 7. Performances de GDE
et SGDE avec du bruit coloré
(amplitudes différentes)
6  Conclusion
Le critère SGDE proposé améliore les performances
du critère GDE initial. Cependant, il est utile de lui associer
une technique de déflation pour se prémunir des écarts de
puissance des composantes du signal. La nature géométrique
du critère semble une voie intéressante pour envisager
l’élaboration de nouveaux critères encore plus performants,
applicables dans de nombreuses situations.
Références
[1] Konstantinides K., Yao K., "Statistical analysis of
effective singular values in matrix rank determination",
IEEE Trans. on ASSP, vol. 36, n°5, pp. 757-763, May 1988.
[2] Wax M., Kailath T., "Detection of signals by
information theoretic criteria", IEEE Trans. on ASSP, vol.
33, n°2, pp. 387-392, April 1985.
[3] Grouffaud J., Larzabal P., Clergeot H., "Some
properties of ordered eigenvalues of a Wishart matrix :
application in detection test and model order selection",
Proc. of ICASSP, Atlanta, 7-9 May 1996.
[4] Wu H-T, Yang J-F, Chen F-K, "Source number
estimators using transformed Gerschgorin radii", IEEE
Trans. on SP, vol. 43, n°6, pp. 1325-1333, June 1995.
538


Estimation du nombre de composantes d'un signal à l'aide du critère GDE amélioré

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