- Dans un contexte de synthèse de profil routier, cet article présente l'extension d'une méthode de synthèse monodimensionnelle à la génération d'un terrain fractal auto-similaire 2-D. L'objectif est de fournir un terrain dont la dimension fractale est isotrope en terme d'évolution spatiale. La méthode de synthèse s'appuie sur une décomposition de Cholesky. Nous montrons en outre le lien qu'il existe entre les matrices issues de la décomposition selon l'élongation longitudinale et transversale

BERTHOUMIEU, Y.

GUGLIELMI, M.

MOREAU, X.

OUSTALOUP, A.

I-Revues

Extension de la méthode de Cholesky pour la
synthèse d’un signal 2-D à incréments
autosimilaires 1
Y. Berthoumieu1, X. Moreau2, M. Guglielmi3 et A. Oustaloup2
1Laboratoire IXL UMR 5818
2Laboratoire d’Automatique et de Productique (L.A.P.) E.P. 2026
E.N.S.E.R.B./Université de Bordeaux I
351, Cours de la libération 33405 Talence Cedex
 
3
 Institut de Recherche en Cybernétique de Nantes(IRCyN) UMR 6597
Ecole Centrale de Nantes/Université de Nantes/Ecole des Mines de Nantes
1 rue de la Noë, 44072 Nantes Cedex 03
berthoumieu@ixl.u-bordeaux.fr, moreau@lap.u-bordeaux.fr,
 Michel.Guglielmi@ircyn.ec-nantes.fr, oustaloup@lap.u-bordeaux.fr
                                                          
1
 Ce travail est parrainé par le Gdr Automatique « la dérivation
non entière en isolation vibratoire »
Résumé - Dans un contexte de synthèse de profil routier, cet article présente l’extension d’une méthode de synthèse monodimensionnelle à la
génération d’un terrain fractal auto-similaire 2-D. L’objectif est de fournir un terrain dont la dimension fractale est isotrope en terme
d’évolution spatiale. La méthode de synthèse s’appuie sur une décomposition de Cholesky. Nous montrons en outre le lien qu’il existe entre
les matrices issues de la décomposition selon l’élongation longitudinale et transversale.
Abstract -  In the road profile synthesis framework, this article  presents an extension of a monodimensional synthesis method in order to
generate a 2-D self-similar landscapes. The purpose is to obtain a surface which the fractal dimension is an isotropic feature along all
dimensions. The method to generate this surface is based on the Cholesky factorisation. Moreover, we show the relation between matrices
obtained  after the factorisation according the longitudinal and transversal profile.
1. Introduction
Suite à de nombreuses études [1] [2], l’élongation d’un
profil de route est assimilé à un processus stochastique ayant
un caractère fractal lié à sa mémoire longue. Dans le cadre de
la conception optimisée d’une suspension, thème privilégié au
sein de l’équipe CRONE [3], il paraît intéressant de pouvoir
générer des excitations possédant un caractère statistique
autosimilaire. Conformément à cet objectif, la possibilité de
synthèse bidimensionnelle d’un terrain permet de généraliser
l’excitation aux niveaux des quatre points de contacts que
sont les roues. L’étude des méthodes de synthèse de signaux
1-D, qui se rapprochent du mouvement brownien
fractionnaire (Mbf), a permis de montrer que certaines
méthodes étaient plus ou moins robustes vis-à-vis de la
restitution des propriétés statistiques et spectrales
recherchées. Une méthode présentant un bon compromis mise
en œuvre/performance a été proposée par Lundahl [4] pour
les signaux monodimensionnels. Dans ce contexte, le présent
article propose une extension de cette méthode dans le cas de
la génération d’un terrain afin de pouvoir contrôler la
propriété sur les statistiques d’ordre deux, avantage premier
de cette approche. Dans une première partie, nous rappelons
les principales propriétés du signal de référence. Puis, nous
présentons la méthode de Cholesky 2-D que nous proposons.
La dernière partie de notre article est relative à la présentation
des résultats. Nous y trouvons notamment les mesures
relatives au coefficient de Hurst suivant plusieurs directions
de lecture du profil de la surface générée. Nous montrons par
ce biais l’isotropie de la dimension fractale. Les methodes
d’évaluation du paramètre longue mémoire sont spatiale avec
le test d’Higuchi [5] et fréquentielle avec une mesure de la
pente de la densité spectrale de puissance du processus
généré.
2. Propriétés
Un Mouvement brownien fractionnaire (Mbf) isotrope est
un processus gaussien à moyenne nulle noté ),( yx ttB  qui
satisfait les relations suivantes:
B(0,0)=0
[ ]{ } 22 ),(),( σyxyx rrfrrBE =∆ (1)
( ) Hyxyx rrrrf 222),( += (2)
où ),(),(),( yxyyxxyx ttBrtrtBrrB −++=∆ est appelé
incrément du Mbf et où H est le coefficient de Hurst à valeur
dans l’intervalle [0,1]. Ce paramètre contrôle la rugosité du
signal et permet donc de générer des terrains de différents
types. H est lié à la dimension fractale par la relation D = 3 –
H. En outre, le paramètre σ2 est la variance du signal.
Les équations (1) et (2) constituent les conditions
d'autosimilarité isotrope en deux dimensions. Elles entraînent
l’insensibilité des variances des incréments à leur direction
d’évolution, les rendant seulement fonction de leur longueur.
Dans le cadre de la génération d’un terrain anisotrope, les
extensions de ces relations sont proposées dans les travaux de
Pesquet-Popescu [6]. Sur le plan de la corrélation, la propriété
d’autosimilarité a pour conséquence la stationnarité des
fonctions d’autocorrélation des incréments spatiaux. Cet état
de fait va nous fournir un point de départ pour la méthode de
synthèse stochastique car le Mbf est lui-même un processus
non-stationnaire. Dans le cas 2-D, nous devons tenir compte
des incréments qui vont exprimer l’isotropie par rapport à une
évolution spatiale du paramètre de Hurst. Pour cela, nous
allons introduire des incréments qui vont représenter une
évolution longitudinale, transversale et diagonale. Les deux
premiers seront appelés incréments du premier ordre et le
troisième incrément du second ordre. Cet incrément du
second ordre a été introduit par Kaplan [7]. Il permet de
considérer un voisinage quart de plan causal pour la
reconstruction. Les incréments du premier ordre du fBm deux
dimensions (2-D) sont :
),(),1(),( nmBnmBnmI x −+= (3)
),()1,(),( nmBnmBnmI y −+= (4)
avec (m,n) représentant la position spatiale du pixel
(ligne/colonne). Le nombre de pixels est donné par N, nous
avons alors :
0 ≤ m ≤ N - 1 et 0 ≤ n ≤ N - 1.
L’incrément du second ordre du Mbf 2-D est défini comme :
),()1,(),(),1(
),(2
nmInmInmInmI
nmI
xxyy −+=−+=
ce qui s’exprime en fonction des échantillons du Mbf :
),1()1,(),()1,1(
),(2
nmBnmBnmBnmB
nmI
+−+−+++=
(5)
Notons que les échantillons du Mbf B(m,n) peuvent être
calculés pour m
 
≥ 0 et pour n ≥ 0 en utilisant les valeurs des
incréments du premier et second ordre comme nous le verrons
dans le paragraphe 3 de notre article. Les incréments du
premier et du second ordre sont stationnaires. Leurs fonctions
d'autocorrélation discrètes respectives sont les suivantes :
- pour les incréments le long des lignes :
{ }
[ ]),(2),1(),1(
2
),(),(),(
2
nmfnmfnmf
nlmkIlkIEnmr xxI x
−−++
=++=
σ (6)
- pour les incréments le long des colonnes :
[ ]),(2)1,()1,(
2
),(
2
nmfnmfnmf
nmr
yI
−−++
=
σ
(7)
- pour les incréments du second ordre :
[[
]
[
]
]),(4
)1,1()1,1(
)1,1()1,1(
)1,()1,(
),1(),1(2
2
),(
2
2
nmf
nmfnmf
nmfnmf
nmfnmf
nmfnmf
nmrI
−
−−++−
+−++++−
−++
+−++
=
σ (8)
Si nous exprimons maintenant leurs matrices
d’autocorrélation, nous savons que pour une processus 2-D
réel nous obtenons une forme bloc-toeplitz donnée par la
relation :








=
−
−
oL
o
Lo
I
rrr
r
rr
rrr
R
11
1
1
11
 


(9)
avec








−
−
=
),0(),1(),1(
),1(
),0(),1(
),1(),1(),0(
iririLr
ir
irir
iLririr
r
III
I
II
III
i



Les matrices 
xI
R , 
yI
R  et 
2I
R  sont alors des matrices de
dimensions (L.L,L.L).
2. Méthode de Cholesky 2-D
Par définition, une matrice d’autocorrélation est une
matrice définie positive, elle admet une factorisation régulière
et unique de Cholesky. Nous pouvons donc introduire pour
chacune des matrices :
x
T
xI TTR x =   y
T
yI TTR y =   222 TTR
T
I = (10)
Cette décomposition génère des matrices T qui sont
triangulaires supérieures. A ce stade de la mise en équation,
nous pouvons utiliser les différentes matrices T comme des
matrices de passage comme suit :
ITy T−= (11)
où les vecteurs y  et I  représentent deux vecteurs
d’observation d’un processus 2-D défini sur L lignes et L
colonnes. Les processus générateurs sont, dans ce cas, les
incréments du premier et du second ordre. En reconsidérant,
les matrices d’autocorrélation, nous obtenons alors :
{ } { } LTTTy TIIETyyER ℑ=== −− 1  
où Lℑ est la matrice identité de taille (L.L,L.L). Cette
relation entraîne donc que les différents processus engendrés
par les trois incréments sont donc des processus gaussiens
blancs, centrés et de variance unité.
D’après les trois relations que l’on peut déduire de (11),
associées successivement à Ix, Iy et I2, nous pouvons
synthétiser les différents incréments en vue de générer le
processus autosimilaire 2-D. En effet, nous avons les
relations :
0)0,0( =B (12)
)0,1()0,1()0,( −+−= mImBmB x
)1,0()1,0(),0( −+−= nInBnB y
)1,1()1,1(),1()1,(
),(
2 −−+−−−−+−
=
nmInmBnmBnmB
nmB
3. Relations entre les incréments
3.1 Incréments du premier ordre
L’obtention du Mbf 2-D passe donc par le calcul des trois
matrices de passage Tx, Ty et T2. Afin de réduire le coût
calculatoire, nous proposons de mettre en évidence la relation
qu’il existe entre Tx et Ty. D’après les relations (5) et (6),
nous avons :
),(),( mnrnmr
yx II
=
Ceci nous permet d’écrire la relation matricielle suivante :
LILI GRGR xy =
où GL est une matrice de permutation définie par la relation :
∑∑
= =
⊗=
L
i
L
j
L
ij
L
jiL EEG
1 1
,,
avec 
L
jiE ,  la matrice élémentaire de taille (L,L) définie par la
seule valeur non-nulle égale à 1 positionnée en (i,j) et ⊗ le
produit de Kronecker.  Notons que nous avons :
1−
== L
T
LL GGG
En posant QRGT Lx =  et après quelques manipulations
algébriques, nous obtenons la relation permettant d’engendrer
une matrice triangulaire supérieure :
GQTT xy =
Les matrices Q et R sont respectivement une matrice unitaire
et une matrice triangulaire supérieure associée à la
décomposition de TxGL. La matrice Q peut facilement se
calculer car elle correspond à une succession limitée de
rotations de Givens.
3.2 Incréments du second ordre
Les incréments du second ordre peuvent être calculés à
partir des incréments du premier ordre. Les relations
matricielles permettant d’obtenir les valeurs des incréments
du second ordre sont données par les égalités suivantes :
yx IHIHI 122 ==
où LL GHGH 211 −=
La matrice H1 est une matrice rectangulaire représentant les
différences successives des pixels sur une même ligne.
5. Synthèse d’un champ autosimilaire
Le principal problème pour la synthèse est la non-
possibilité de connaître simultanément les processus
générateurs associés à chacun des incréments. Ce problème
n’est pas rencontré en monodimensionel mais est crucial en
bidimensionnel. En outre, conformément au groupe
d’équations récursives (12), si nous prenons des vecteurs
indépendants pour générer les deux incréments du premier
ordre, nous allons engendrer une erreur d’initialisation sur les
bords. Après analyse, nous avons mis en valeur le fait que
cette erreur se propage sous la forme d’un rehaussement
moyen du profile suivant la dimension opposée à celle qui
sert de base à la génération de l’incrément du second ordre.
En enlevant la valeur moyenne de ces lignes, ou
respectivement de ces colonnes suivant l’incrément qui a
servis à générer l’incrément du second ordre, nous faisons
disparaître ces traînages dans l’image synthétisée. Cependant,
la régularité du profile sur lequel a été enlevé le traînage
chute. Pour éviter cela, nous synthétisons les deux surfaces
que nous associons par la suite.
7. Exemples et validation
Comme le montre la figure n°1, notre méthode de
synthèse génère des champs qui présentent bien une rugosité
décroissante lorsque le paramètre de longue mémoire croit.
Les valeurs mesurées par Higuchi et par l’évaluation de la
pente de la densité spectrale moyennée sont données dans le
tableau ci-dessous.
Orientation 0° 45° 90°
Higuchi 0.205 0.1996 0.208
DSP 0.187 0.202 0.2137
6. Conclusion
Dans cet article, nous nous sommes intéressés à la
synthèse d’un signal autosimilaire en imagerie. Cette étude a
pour contexte la génération de terrain ayant une
caractéristique fractale. Nous nous sommes particulièrement
attachés à réaliser une étude rigoureuse permettant de garantir
une isotropie dans l’évolution du paramètre de Hurst suivant
les directions d'évolution sur le terrain. En outre, nous avons
montré qu’il existait des relations matricielles liant les
différents incréments et permettant de réduire la complexité
de l’extension proposée dans cet article de la méthode de
Cholesky.
Références
[1]  C.J. Dodds, J.D. Robson The description of road surface
roughness Journal of sound and vibration (1973) , 175-183.
[2]  M. Guglielmi, J.L. Levy-vehel Analysis and simulation of
road profile by means of fractal model AVCS’98 – IEEE
International Conference in Advances in vehicule Control
Safety, Amiens, July 1998.
[3]  A. Oustaloup, X. Moreau and M. Nouillant The CRONE
suspension. Control Engineering Practice, a Journal of the
International Federation of Automatic Control, Vol. 4, N°8,
pp. 1101-1108.
[4]  T. Lundahl, W.J. Ohley, S.M. Kay, R. Siffert Fractional
brownian motion : a maximum likelihood estimator and its
applications to image texture IEEE Transactions on medical
imaging, vol MI-5 (n°3), 152-161 1986.
[5]  T. Higuchi Approach to an irregular time series on the
basis of the fractal theory Physica D, vol 31 1988 pp 227-
283.
[6]  B. Popescu, P. Larzabal 2D self-simlar processes with
stationary fractional increments Fractals engineering
Springer verlag, pp138-152, arcachon.
[7]  L. Kaplan, C.C. Jay Kuo An improved method for 2D
self-similar image synthesis IEEE transactions on image
processing, vol. 5, n°5, 754-761, 1996.
H = 0.2 H = 0.5
H = 0.8
FIG. 1 : Exemples de synthèse pour différentes valeurs de H.


Extension de la méthode de cholesky pour la synthèse d'un signal 2-D à incréments autosimilaires 1

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