Dans cet article nous proposons d'améliorer la robustesse des algorithmes d'autocalibration en 2D (gisement et site) à l'aide d'une régularisation. Nous avons introduit un a priori sur le module des gains des capteurs. En effet, lorsque l'on utilise une antenne omnidirectionnelle, nous montrons que l'estimée des gains des obtenue à l'aide des éléments diagonaux de la matrice de corrélation est une information très précieuse. Nous proposons alors deux techniques de régularisation qui exploitent ces résultats. La première, gràce à une contrainte sur la somme des modules exhibe une vitesse de convergence élevée. La seconde exploite chaque contrainte de gain simultanément et nécessite la mise en oeuvre d'une optimisation itérative. De nombreuses simulations viennent confirmer les résultats attendus et montrent les améliorations apportées

BERTAUX, N.

CHAUMETTE, E.

LARZABAL, P.

MULLER, D.

Bertaux, Nicolas

Larzabal, Pascal

Chaumette, Eric

Muller, Daniel

Hal-Diderot

Localisation 2D à l'aide d'un réseau phasé très perturbé

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 283
Localisation 2D à l’aide d’un réseau phasé très perturbé.
N.Bertaux.1/;.2/;.3/, P.Larzabal.1/;.3/, E.Chaumette.2/;.3/ et D.Muller.2/;.3/
.1/ LESiR-ENS Cachan, 61 avenue du président Wilson. 94235 Cachan Cedex, France
.2/ Thomson-CSF AirSys 7-9 rue des Mathurins. 92220 Bagneux, France
.3/ GRD-PRC-ISIS, ENST, 46 rue Barrault. 75013 PARIS, France
RÉSUMÉ
Dans cet article nous proposons d’améliorer la robustesse des algo-
rithmes d’autocalibration en 2D (gisement et site) à l’aide d’une ré-
gularisation. Nous avons introduit un a priori sur le module des gains
des capteurs. En effet, lorsque l’on utilise une antenne omnidirection-
nelle, nous montrons que l’estimée des gains des obtenue à l’aide des
élements diagonaux de la matrice de corrélation est une information
très précieuse. Nous proposons alors deux techniques de régularisa-
tion qui exploitent ces résultats. La première, gràce à une contrainte
sur la somme des modules exhibe une vitesse de convergence élevée.
La seconde exploite chaque contrainte de gain simultanément et né-
cessite la mise en œuvre d’une optimisation itérative. De nombreuses
simulations viennent confirmer les résultats attendus et montrent les
améliorations apportées.
ABSTRACT
This paper focuses on robustness inprovment of 2D selfcalibration
algorithm. We introduce an a priori on the modulus of sensors
gains. For omnidirectionnel sensors, we show that gain estimation
from correlation matrix is precious. So we propose two regulations
techniques. The first one, using a simple constraint on the modulus
sum provides a fast convergence. The second, more precise, requires
an iterative optimization. Simulations exhibit results and comfirm
expected improvments.
1 Introduction
Les méthodes à haute résolution introduites dans les do-
maines du traitement du signal et en particulier dans celui
de la recherche des directions d’arrivées (DOA) sont basées
sur l’adéquation d’un modèle aux données que l’on observe.
Lorsque ce modèle s’éloigne de la réalité (erreurs sur gains
et phases des capteurs, sur les positions des capteurs, etc) les
méthodes à haute résolution voient leurs performances grave-
ment affectées. La variance d’estimation des DOA augmente
et la dynamique des pseudo-spectres diminue. Il est donc sou-
haitable d’introduire des hyperparamètres afin d’assouplir le
modèle. Parmi les nombreuses méthodes dévolues à ce pro-
blème, nous pouvons citer la méthode de Weiss et Freidlander
(WF) [1] qui se distingue par sa simplicité. Elle se trouve à la
base des travaux que nous présentons dans cet article qui se
focalise sur l’amélioration de la robustesse de telles méthodes.
La seconde partie de cet article rappelle brièvement le
principe de l’algorithme de WF, algorithme d’optimisation
qui recherche les directions d’arrivées et les gains complexes
des capteurs par optimisation successives des deux jeux de
paramètres, DOA et gains des capteurs.
Dans le but de rendre la méthode de WF plus robuste, la
troisième partie permet d’obtenir un a priori sur le module
des gains complexes de chaque capteurs lorsque ceci sont
omnidirectionnels.
Les quatrième et cinquième parties présenteront deux solu-
tions de régularisation, respectivement une solution qui intro-
duit une contrainte sur la somme des modules et une seconde
qui introduit des contraintes de module sur chaque capteur du
réseau.
La sixième partie sera consacrée aux simulations et aux
comparaisons des différents algorithmes.
Modèle et notations utilisées : Le modèle utilisé dans cet
article est le suivant :
x.t/ D A.; /s.t/C b.t/ (1)
où x.t/ est le vecteur des observations, A la matrice des
vecteurs directionnels des sources, s.t/ les signaux émis par
les sources et b.t/ le bruit global supposé blanc, gaussien et
circulaire. On noteras N le nombre de capteurs, M le nombre
de sources et T le nombre d’échantillons.  est le vecteur de
correction (supposé indépendant de la direction d’arrivée) des
gains selon
ar ./ D a.; / D diag./a./ (2)
où ar est le vecteur directionnel réel. Le gain de chaque capteur
s’écrit :
 n D gne jn (3)
Soit 9 le vecteur des gains réels des capteurs et 90 le vecteur
des gains nominaux , alors
9 D diag./90 (4)
284
2 Rappel du principe de l’algorithme
de Weiss et Friedlander
Cette méthode optimise une fonction de coût multidimen-
sionnelle basée sur l’estimateur MUSIC auquel on ajoute des
inconnues supplémentaires (en plus des DOA). Dans notre cas
ces inconnues sont les gains complexes des capteurs. On ob-
tient le critère suivant :
. O; O/ D arg min
;
(
MX
mD1
aH .m; /5ba.m; /
)
(5)
où a.m; / est le vecteurs directionnel pointant dans la
direction m : 5b le projecteur sur le sous-espace bruit.
L’optimisation de ce critère n’est pas réalisée de façon
globale, elle va être effectuée de manière itérative. En effet,
à l’étape k C 1 de l’algorithme les angles kC1 sont recherchés
par l’algorithme MUSIC où  est fixé à son estimation
précédemment calculée k . Ensuite, une optimisation sur 
recherche le vecteur kC1 minimisant au mieux le critère
(6) connaissant l’estimée des angles kC1: L’intérêt de cet
algorithme réside dans l’existence d’une solution analytique
à l’optimisation sur . La solution minimise le critère :
JW F D H RW F (6)
avec H e1 D 1 afin d’éviter la solution nulle et où
RW F D
MX
m
diag.a.m//
H5bdiag.a.m// (7)
et e1 D [1; 0;    ; 0]T .
Cette solution analytique a certes l’avantage de ne recquérir
qu’une faible charge de calculs mais ne s’avère pas assez
robuste à de grandes erreurs sur les gains complexes des
capteurs [4]. Afin de pouvoir régulariser la solution obtenue
il est souhaitable d’introduire une information a priori.
3 Introduction d’une information a
priori (capteurs omnidirectionnels)
Considérons le cas où les sources sont décorrélées. Suppo-
sons que les gains complexes des capteurs ne dépendent pas
des directions d’arrivées. Compte tenue de la matrice d’auto-
corrélation RX donnée par
RX D ARSAH C  2b I; (8)
les éléments diagonaux s’expriment selon :
RX

n;n
D g2n
MX
mD1

RS

m;m
C  2b (9)
En normalisant par rapport au premier capteur (g1 D 1) nous
obtenons :
g2n D

RX

n;n
Ä  2b
RX

1;1 Ä  2b
(10)
En passant aux valeurs estimées dans le cas d’une matrice de
covariance estimée sur un nombre fini d’échantillons, T :
gn  Ogn D
vuuuut
h
ORX
i
n;n
Ä O 2bh
ORX
i
1;1
Ä O 2b
(11)
On connaît ainsi, si les sources sont décorrelées (ou peu
correlées), une estimée de la valeur des modules de chaque
gain complexe des capteurs.
Les algorithmes qui seront décrits dans les deux sections
suivantes exploiteront cette information :
La première méthode permet d’obtenir une solution analytique
(simplicité) au problème d’optimisation sur . Pour y parve-
nir, la contrainte introduite ne peut pas être aussi complète
qu’il serait souhaitable (une contrainte sur chaque module).
Une contrainte qui nous a permis de trouver une solution ana-
lytique est la contrainte sur la somme des modules.
La seconde méthode proposée cherche à utiliser toute l’infor-
mation disponible, c’est-à-dire d’introduire une contrainte sur
chaque module des gains complexes des capteurs. Pour cette
optimisation il est nécessaire d’utiliser une méthode numéri-
quement plus complexe, par exemple une méthode itératives
du deuxième ordre pour l’optimisation en .
4 Prise en compte d’une contrainte sur
la somme des modules
L’information a priori introduite dans le chapitre précédent
va permettre de robustifier l’algorithme WF. En effet, nous
pouvons alors introduire des contraintes supplémentaires dans
le critère (6) afin d’éviter que l’algorithme ne converge vers
des minima locaux très éloignés de la solution réelle.
La première solution envisagée est l’introduction d’une
seule contrainte sur la somme des modules des gains com-
plexes des capteurs : soit E la matrice diagonale :
E D diag

1
N
;
1
N Og22
;    ; 1
N Og2N

(12)
la contrainte sur la somme des modules du vecteurs s’écrit
alors :
H E D 1 (13)
La minimisation du critère (6) sous la contrainte (13) donne
lieu à la résolution du Lagrangien suivante :
L D H RW F Ä 
Ä
H E Ä 1 (14)
qui peut s’écrire
L D H E1=2EÄ1=2RW F EÄ1=2E1=2 (15)
Ä ÄH E1=2E1=2 Ä 1
En posant  D E1=2 et QRW F D EÄ1=2RW F EÄ1=2 le
Lagrangien devient :
L D  H QRW F Ä 
Ä
 H Ä 1 (16)
La résolution de ce Lagrangien nécessite le calcul de son
gradient :
@L
@ 
D 0 D QRW F Ä  (17)
Cette dernière équation nous permet de constater que le
paramètre de Lagrange solution O est alors la valeur propre
associée au vecteur propre solution O de la matrice QRW F . En
injectant cette solution dans le Lagrangien (14)
L. O / D O H O O D O (18)
on constate alors que O est la plus petite valeur propre de la
matrice QRW F pour minimiser le Lagrangien (14).
285
5 Prise en compte d’une contraintes
sur chaque module
Une solution plus complète, mais plus lourde consiste à
introduire une contrainte sur le module de chaque capteurs.
L’information a priori déterminée précédemment est exacte
dans le cas de sources décorrelées. Elle va devenir approchée
dés lors qu’une la corrélations entre les sources va apparaître.
Il n’est donc pas très contraignant d’introduire les contraintes,
notées Ci sous forme de fonction de pénalisation dans le
critère J . Nous introduisons un nouveau critère à minimiser
QJ
QJ D H RW F C 
 
NX
iD1
.H Ei Ä Og2i /2
!
(19)
où l’on définit la matrice
Ei D ei eTi (20)
avec ei. j/ D 0 quelque soit j 6D i et ei .i/ D 1(ei D
[0;    ; 0; 1; 0;    ; 0]T ).
Cette technique nécessite l’estimation, de façon empirique,
de l’hyper paramètre  optimal. Pour minimiser ce nouveau
critère une méthode de descente du second ordre est utilisée :
Il s’agit d’un algorithme de Newton (en complexe) dont la
formule de récurrence est donnée par
kC1 D k ÄH. QJ/Ä1k grad. QJ/k (21)
où H définit de hessien de QJ et grad son gradient.
La principale difficulté rencontrée se situe au niveau du
calcul du hessien complexe car QJ est une fonction réelle
de variables complexes. Pour cela, nous avons utilisé les
résultats de [2] et [3] sur l’utilisation des gradients et hessiens
complexes dans le cas particulier des fonctions à valeurs
réelles.
6 Simulations
Les simulations présentées mettent en œuvre un réseau cir-
culaire de quatre mètres de diamètre. Cette antenne est com-
posée de six capteurs réparties uniformément. Le rapport d ,
où d est la distance entre deux capteurs, vaut d D 0:46. Nous
considérons deux sources placées en [Ä20; 18] et [20; 20]
où les coordonnées sont respectivement le gisement et le site.
Notons qu’il s’agit ici d’un cas délicat car les sources sont
dans le lobe principal. Pour le calul de la matrice de corréla-
tion nous nous plaçons dans des conditions asymptotiques afin
de limiter les perturbations sur les performances intrinsèques
de MUSIC. Les performances de MUSIC ne sont plus limitées
que par les dimensions du maillage mis en œuvre lors de la re-
cherche des maximas du pseudo spectre en 2D.
Les figures suivantes proviennent d’une étude statistique effec-
tuée sur une centaine de tirage où l’on tire à chaque simulation,
suivant une loi de Rayleigh pour les modules et une loi uni-
forme pour les phases, le gain complexe de chaque capteur. Le
critère de qualité que nous avons retenu est l’écart type moyen
(sur les N capteurs) des modules et des phases des gains esti-
més aprés autocalibration.
Le faible nombre de capteurs de la simulation n’a pas
permis de distinguer les performances en estimation de WF
par rapport à l’autocalibration avec contrainte sur la somme
des modules. Par contre l’augmentation ainsi obtenue sur la
vitesse de convergence est sensible, mais les résultats n’ont
pas été reportés ici par manque de place.
La figure (1a) représente l’écart type des modules des gains
obtenus après autocalibration de WF par rapport aux modules
réels en fonction de l’écart type avant autocalibration. La fi-
gure (2a) est identique à la figure (1a) et représente l’écart type
des phases obtenues après autocalibration de WF. Les figures
(1b) et (2b) sont à comparer aux deux précédentes. Ces figures
reportent les mêmes paramètres avec une autocalibration pour
laquelle nous avons contraint chaque module des capteurs. Les
figures (3a) et (3b) reportent l’écart type sur les positions en
gisements déterminées respectivement avec une autocalibra-
tion sans contrainte et une autocalibration avec contrainte sur
chaque module. On peut remarquer que pour toutes les mé-
thodes les performances sont parfaites pour de faibles erreurs
de modèle. Plus les erreurs augmentent, plus les différences
de performances s’observent. En effet dans de telles condi-
tions l’algorithme de WF diverge et n’est plus exploitable. De
plus pour des erreurs de modèle supérieure à celles reportées
sur les courbes, la méthode de WF diverge et manque de ré-
solution ne permettant plus de détecter les sources présentes.
En contexte radar un tel comportement n’est pas acceptable.
Par contre, l’autocalibration contrainte continue à fonctionner
correctement pour des valeurs d’erreurs allant jusqu’à 0dB en
module et en phase.
−40 −30
−20 −10
0
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0
0.05
0.1
ga
in
s 
ap
re
s 
au
to
ca
lib
ra
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n 
   
   
   
‘
Ecart type sur les phases Ecart type sur les modulesavant autocalibration (dB)
avant autocalibration (dB)
−40 −30
−20 −10
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0.1
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ec
ar
t t
yp
e 
su
r l
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 m
od
ul
es
 d
es
Ecart type sur les phases Ecart type sur les modulesavant autocalibration (dB)
avant autocalibration (dB)
FIG. 1 — Comparaison des modules obtenus aprés autocali-
bration de WF fig.(a)(haut) et autocalibration avec contraintes
sur chaque modules fig.(b)(bas).
7 Conclusion
Nous avons abordé le problème de la calibration robuste
d’un réseau phasé en 2D. Nous avons montré comment la
simple estimation des gains des capteurs à l’aide de la ma-
trice de corrèlation pouvait améliorer les performances de la
286
−40 −30
−20 −10
0
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−30
−20
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0.2
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re
s 
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‘
Ecart type sur les phases Ecart type sur les modulesavant autocalibration (dB)
avant autocalibration (dB)
−40 −30
−20 −10
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‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 p
ha
se
s 
de
s
Ecart type sur les phases Ecart type sur les modulesavant autocalibration (dB)
avant autocalibration (dB)
FIG. 2 — Comparaison de phases obtenues aprés autocalibra-
tion de WF fig.(a)(haut) et autocalibration avec contraintes sur
chaque modules fig.(b)(bas).
−40 −30
−20 −10
0
−40
−30
−20
−10
0
0
1
2
3
o
bt
en
us
 a
pr
es
 a
ut
oc
al
ib
ra
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n 
   
   
   
‘
Ecart type sur les phases Ecart type sur les modulesavant autocalibration (dB)
avant autocalibration (dB)
−40 −30
−20 −10
0
−40
−30
−20
−10
0
0
1
2
3
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ec
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yp
e 
su
r l
es
 g
ise
m
en
ts
Ecart type sur les phases Ecart type sur les modulesavant autocalibration (dB)
avant autocalibration (dB)
FIG. 3 — Ecart type, en degrés, sur les positions estimées
après autocalibration de WF fig.(a)(haut) et autocalibration
avec contraintes sur chaque modules fig.(b)(bas).
méthode de WF. Une première technique d’autocalibration
contrainte par la somme des modules des gains s’est avéré,
dans le cas de relativement faibles erreurs, beaucoup plus ra-
pide que celle de WF. Une seconde technique, contrainte sur
chaque capteur, a nécessité la mise en œuvre d’un algorithme
de Newton en complexe. Cette méthode s’avère très perfor-
mante en présence de fortes pertubations.
Références
[1] B.Friedlander and A.Weiss, “Eigenstructure methods
for direction finding with sensor gain and phase uncer-
taintie”, ICASSP88, 1988
[2] A.ven den Bos, “Complex gradient and hessien”, IEE
Proc ISP, vol.141 n6, Décembre 1994.
[3] D.H.Brandwood, “A complex gradient operator and
its applications in adaptive array theory”, IEE Proc,
vol.130 n1, Février 1994
[4] N.Bertaux, “Apport des méthodes d’autocalibrations en
traitement radar”, rapport de stage de DEA A-TS Paris
XI, juillet 1996.
[5] F.Le Chevalier, D.Medynsky et D.Muller, “Position et
nature des problèmes de calibration d’antenne. Particu-
larités de l’application au radar”, Traitement du Signal
volume 10 n5Ä 6, 1993.


Localisation 2D à l'aide d'un réseau phasé très perturbé.

Localisation 2D à l'aide d'un réseau phasé très perturbé.

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