- Pour analyser le bon fonctionnement d'un système de mesure, l'une des techniques couramment utilisées consiste à tester la nullité d'équations de redondance entre différentes grandeurs connues caractérisant ce système. Dans ce qui suit, on insiste sur la conception du vecteur parité qui est à la base de nombreuses analyses de diagnostic utilisant un modèle. Lorsque le modèle est connu avec une certaine imprécision, le vecteur parité est lui aussi sensible à cette imprécision ; il semble utile d'en étudier l'influence. On examine donc le cas de systèmes de mesures dont les paramètres sont incertains mais bornés. L'objectif est de construire l'enveloppe du vecteur parité prenant en compte les incertitudes paramétriques

ADROT, Olivier

JANATI IDRISSI, Hicham

MAQUIN, Didier

RAGOT, José

I-Revues

Analyse d’un systme de mesure  paramtres incertains
Hicham JANATI IDRISSI, Olivier ADROT, Didier MAQUIN, José RAGOT
Centre de Recherche en Automatique de Nancy - UPRESA CNRS 7039
Institut National Polytechnique de Lorraine
2, Avenue de la Forêt de Haye, F - 54 516 Vandœuvre les Nancy
{hjanati,oadrot,dmaquin,jragot}@ensem.inpl-nancy.fr
Résumé  Pour analyser le bon fonctionnement d'un système de mesure, l'une des techniques couramment utilisées consiste à tester la
nullité d'équations de redondance entre différentes grandeurs connues caractérisant ce système. Dans ce qui suit, on insiste sur la
conception du vecteur parité qui est à la base de nombreuses analyses de diagnostic utilisant un modèle. Lorsque le modèle est connu
avec une certaine imprécision, le vecteur parité est lui aussi sensible à cette imprécision ; il semble utile d'en étudier l'influence. On
examine donc le cas de systèmes de mesures dont les paramètres sont incertains mais bornés. L'objectif est de construire l'enveloppe
du vecteur parité prenant en compte les incertitudes paramétriques.
Abstract  For diagnosing a measurement system, a current technique consists in testing the nullity of redundancy equations linking
different known variables of a system. This paper is focused on the design of the parity vector upon which many model-based
approaches rely. When the considered system is uncertain, the corresponding parity vector is also uncertain and it is necessary to
study this uncertainty. Therefore, measurement systems described by uncertain but bounded parameters are examined. The main goal
is to build parity vector enclosures taking into account parametric uncertainties.
1.  Introduction Dans la section suivante, on rappelle brièvement la définition
du vecteur parité d'un système certain ; cela permet ensuite de
considérer le cas des systèmes incertains statiques (section 3).
La section 4 est ensuite consacrée aux tests de cohérence. Le
cas dynamique est abordé dans la section 5, puis un exemple
de faible dimension illustre la mise en œuvre et
l'interprétation des résultats (section 6).
Habituellement, lorsqu'on procède à la critique et à la
validation des mesures collectées sur un système physique
[3], on teste l'adéquation de ces mesures brutes vis-à-vis du
modèle du système (phase de détection des incohérences) puis
on ajuste ces mesures au moyen de termes correctifs de façon
à vérifier le modèle (phase d'estimation de l'état du système).
Une autre façon de procéder consiste à générer directement des
indicateurs de cohérence de mesure : le vecteur parité est l'un
de ces indicateurs et il est obtenu de façon générale en
éliminant, des équations du système, toutes les grandeurs
inconnues [10].
2.  Vecteur parité d'un système certain
Considérons le cas de l’équation de mesure à l'instant k  :
yk = Cxk + ek + Fdk (1)
x ˛´ n,  y ˛´ m,  d ˛´ p,  e˛´ m
Les deux méthodes que nous venons d'évoquer supposent que
le modèle du système est disponible et que ses paramètres
sont parfaitement connus. Bien souvent, une difficulté est
avancée par les utilisateurs potentiels de ce type de méthode :
les systèmes ne sont pas toujours parfaitement décrits (le
modèle est une image approximative du système réel), la
précision des paramètres du modèle n'est pas quantifiable de
façon précise. Cependant, le praticien dispose souvent d'une
connaissance expérimentale du fonctionnement du système
traduite par un certain nombre d'informations qualitatives et
caractérisant le degré de pertinence des paramètres du modèle.
Ces connaissances, mêmes entachées d'imprécision, peuvent
néanmoins être utilisées pour analyser les données en les
introduisant sous forme de contraintes inégalité ou
d'intervalles. L'objectif de cette présentation est de fournir les
éléments nécessaires à la mise en œuvre d'une procédure
utilisant ce type de formalisation par intervalles en
considérant le cas simple d'un système à un seul paramètre
incertain.
C ˛´ m.n,  F ˛´ m.p, m> n
où yk  est le vecteur de mesure, xk le vecteur des variables à
mesurer, dk le vecteur des défaillances pouvant affecter
certains capteurs, ek le vecteur des bruits de mesure, C  et F
deux matrices connues. On définit le vecteur parité pk ,
projection du vecteur des mesures, sous sa forme "calcul" et
sous sa forme "explication" des erreurs et défaillances :
pk = Wyk (2a)
pk = Wek +WFdk (2b)
où W est une matrice de projection ou matrice de parité [9]
orthogonale à C . Si l'on fait l'hypothèse, assez peu
restrictive, que C  est de plein rang colonne, alors
W ˛´ (m- n).m,  pk ˛´
m- n
La dimension du vecteur parité, qui traduit également le
nombre de redondances du système, conditionne largement
les propriétés d'isolabilité des défauts [5].
pk = W 0yk + q kW 1yk + ...+q k
qW pyk (7)
On peut alors chercher son enveloppe compte tenu du
domaine de variation du paramètre q k (3c) :
En l'absence d'erreur de mesure ek et de défaillance dk, le
vecteur parité est nul [11]. Par conséquent, l'équation (2a)
traduit l'ensemble des redondances qui lient les mesures yk .
L'expression (2b) fournit un moyen de détecter les
défaillances dk. Eventuellement, des hypothèses statistiques
sur la distribution des erreurs de mesures ek permettent
d'exhiber les propriétés statistiques de pk .
p_infk = inf
q k
W 0yk + q k W 1yk + ...+q k
qW qyk( )
p_supk = sup
q k
W 0yk + q k W 1yk + ...+q k
qW qyk( )
ì 
í 
ï 
î 
ï 
(8)
La recherche des bornes "inf" et "sup" par rapport à q k est
simple lorsque q < 3. Au delà de cette dimension, une
procédure numérique peut être appliquée. On notera cependant
une difficulté d'évaluation de ces bornes liée à l'occurrence
multiple de q k dans l'équation (7) [1].
3.  Vecteur parité d'un système à para-
mètres incertains
On considère maintenant le cas de systèmes caractérisés par
un paramètre inconnu q k variant dans un domaine borné.
L'enveloppe du vecteur parité est alors recherchée selon le
principe précédent. Pour cela, l'équation (1) est considérée
dans le cas où C  est une fonction affine du paramètre q k :
4. Analyse du vecteur parité
Pour un système à paramètres certains, le vecteur parité doit
être nul en l'absence de défaut. Pour un système incertain,
l'absence de défaut se traduit par l'appartenance de la valeur
"0" (vecteur de même dimension que p) au domaine défini
par l'enveloppe du vecteur parité.
yk = C( q k )xk + ek + Fdk (3a)
C( q k) = C0 + C1q k (3b)
q k £ 1 (3c)
  Ak (p) = p/ p_infk £ p £ p_supk{ } (9a)
Comme précédemment, on recherche W ( q k )  tel que :
Ce domaine représente l'ensemble des valeurs admissibles du
vecteur résidu lorsque les mesures sont cohérentes vis-à-vis
du modèle. En bon fonctionnement, le résidu est nul pour
une valeur particulière du paramètre q k Î [ - 1, 1] ; le test de
cohérence des mesures se limite donc à vérifier si l'origine
0 ÎÂ m- n  appartient à   Ak (p) :
W ( q k )C( q k) = 0 (4)
Le vecteur parité est alors défini par  pk = W (q k)yk
Différentes techniques peuvent être utilisées pour résoudre (4).
Dans [7], l'approche utilisée repose sur un développement en
série de W ( q k )  complétée par une troncature du vecteur parité
(conduisant à une surestimation de l'enveloppe). Ici, on
propose une recherche de la solution exacte en résolvant
l'équation (4), la solution prenant la forme matricielle
polynomiale suivante :
p_infk £ 0 £ p_supk (9b)
Dans le cas où l'une des composantes du vecteur 0 ne vérifie
pas cette condition, il faut conclure à l'incohérence des
mesures. Si la dimension du vecteur parité le permet, une
étude précise de ses composantes peut conduire à la
localisation de la ou des mesures en défaut [2].W ( q k ) = W 0 + q kW 1+ ...+q k
qW q (5)
Un indicateur de présence de défaut Ik  peut alors être
construit à partir des distances de l'origine à l'enveloppe
définie en (8). Le signe du produit de ces distances peut être
un bon indicateur de la position de l'origine :
Ainsi, pour q = 2, on doit résoudre le système
W 0 W 1 W 2( )
C0 C1 0 0
0 C0 C1 0
0 0 C0 C1
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
= 0 0 0 0( ) (6)
Ik = sgn p_infk - 0( ) p_supk - 0( )( ) (10)
L'existence de la solution de (6) est liée à la valeur de q [4].
Plus précisément, la matrice constituée des blocs C0 et C1 ne
doit pas être de plein rang ligne pour que le vecteur W  existe.
La condition suffisante est q > (2n - m) (m- n) . La
résolution du système linéaire (6) ne pose pas de problème
particulier ; on peut aussi directement résoudre (4) par une
technique de calcul formel [2]. A chaque instant, le vecteur
parité s'explicite sous la forme :
la règle de décision étant la suivante :
Ik = + 1 alorsincohérence
Ik = - 1 alorscohérence
Dans la pratique, le test (10) peut se révéler trop pauvre car il
délivre un résultat binaire. Prendre en compte à chaque instant
la forme du domaine, sa dimension et la position de l'origine
peut apporter un diagnostic complémentaire. La figure 1
schématise, à un instant donné, l'orthotope   Ak (p) défini en
(9a), son centre C , l'origine O . Un indicateur prenant en
compte la forme du domaine est défini en (11) où OJ *  est la
distance de l'origine à la facette la plus proche de O  et CQ  la
distance du centre C  à cette même facette.
  
X =
xk
M
xk+ H
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
,  U =
uk
M
uk + H - 1
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
,  Y =
yk
M
yk+ H
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
,  q =
q k
M
q k+ H
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
où P,M  et N  dépendent linéairement de q . Les équations
peuvent aussi se regrouper sous la forme :
-50 0 50
0
50
O
J*
C
Q
0 I
N( q ) 0
æ 
è 
ç 
ö 
ø 
÷ 
U
Y
æ 
è 
ç 
ö 
ø 
÷ = C( q )X
C( q ) =
P( q )
M(q )
æ 
è 
ç 
ö 
ø 
÷ 
(14)
On retrouve ainsi une équation dont la structure (en l'absence
de bruits et de défauts) est semblable à (3). On peut donc
générer les équations de parité selon le même principe en
cherchant au préalable une matrice W ( q )  orthogonale à C( q ) .
Néanmoins le calcul est plus délicat car W  est fonction du
vecteur q  de dimension H + 1. Dans [6], la résolution de ce
problème est présentée plus en détails.
FIG. 1. Définition des distances 6.  Exemple
On considère un système de mesure à trois capteurs caractérisé
par un paramètre incertain q  et présentant deux défauts :
  
dk = e
OJ *
CQ
e = - 1 si  0 Î Ak (p) 
e = + 1 si  0 Ï Ak (p)
ì 
í 
î 
(11)
y1,k
y2,k
y3,k
æ 
è 
ç 
ç 
ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ 
÷ 
=
1 q k
q k 1
1+ q k 1- q k
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
xk +
1 0
0 1
0 0
æ 
è 
ç 
ç ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ ÷ 
d1,k
d2,k
æ 
è 
ç 
ö 
ø 
÷ +
e1,k
e2,k
e3,k
æ 
è 
ç 
ç 
ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ 
÷ 
(15)qui s'explicite aussi :
dk = 2
min p_inf
k*
,  p_sup
k*( )
p_inf
k*
+ p_sup
k*
sgnp_infk* p_supk*( ) Le paramètre q  varie entre - 0.25 et 0.25 (ce qui représente
une situation difficile, les variations du paramètre étant
importantes par rapport aux coefficients fixes). Avec les
valeurs de C0 et de C1 issues de (3b), on obtient q = 2 et :
où k* = arg min
k
p_infk ,  p_supk( ) .
Par des techniques d'agrégation, il est également possible de
construire des indicateurs d'incohérence prenant en compte
divers paramètres de forme traduisant l'expression du vecteur
parité.
W 0 = 1 1 - 1( )      W 1 = 0 - 2 0( )      W 2 = 1 - 1 1( )
On en déduit la forme "calcul" du vecteur parité (ici scalaire) :
5. Vecteur parité pour les systèmes
dynamiques incertains
pk = y1k + y2k - y3k
         - 2q ky2k + q k
2 y1k - y2k + y3k( )
(16)
Considérons le cas plus général des systèmes dynamiques
modélisés sous la forme suivante :
dont il est simple d'évaluer les bornes. La figure 2a indique
l'évolution au cours du temps des trois mesures (avec bruit
important) ; deux défauts affectent le premier capteur des
instants 30 à 50 et le deuxième des instants 90 à 125. La
figure 2b indique l'évolution du paramètre q . La figure 2c
indique l'évolution de l'enveloppe du vecteur parité.
xk+ 1 = A(q k)xk + B(q k)uk
yk = C( q k )xk + ek
(12)
Les défauts n'ont pas été explicités dans ce modèle car ils
peuvent intervenir sous forme additive sur les différentes
équations ou directement sur les paramètres. Le système est
observé sur un horizon k,  k + H[ ] . On sait alors regrouper
l'ensemble des états et des commandes sur cet horizon par la
relation linéaire :
L'indicateur de détection (fig. 2d) utilise une fonction de Ik
(10) prenant respectivement les valeurs 0 et 1 en cas de
cohérence et d'incohérence :
J k =
1 + Ik
2
Y = P(q )X
M(q )X = N(q )U
(13)
Les traits en pointillés rappellent les instants de présence des
défauts ; l'indicateur reflète donc très correctement cette
situation, mais de nombreuses fausses alarmes, dues à la
présence des bruits ek, polluent les résultats. Elles peuvent
facilement être supprimées en introduisant un filtrage et une
condition de persistance de la détection [8]. Le filtre utilisé
est un filtre "ébarbeur" remplaçant les valeurs les plus
éloignées de la médiane d'une série de 6 (ce nombre étant à
adapter) valeurs d'une fenêtre glissante par les valeurs les plus
proches (fig. 2e). La persistance consiste à ne considérer
comme valide un changement d'état de la cohérence des
mesures que si le nouvel état perdure sur un horizon temporel
d'au moins 6 pas d'échantillonnage (cette valeur étant à
adapter). Les figures 2f et 2g visualisent l'effet de la condition
de persistance à la valeur 1 puis à la valeur 0. La procédure de
"robustification" donne alors satisfaction à un léger décalage
temporel près de la détection d'incohérence.
7. Conclusion
La technique présentée constitue une alternative intéressante à
la technique classique de validation de données utilisant le
principe de la minimisation de la fonction de vraisemblance
associée à la distribution des erreurs de mesure. Elle nécessite
très peu d'hypothèses théoriques quant à sa mise en œuvre et
se base essentiellement sur des connaissances semi-empiriques
relatives aux intervalles définissant les paramètres du système.
D'un point de vue théorique, il reste sans doute quelques
compléments à apporter à cette présentation et en particulier
sur l'évaluation complète des performances de la méthode.
Au titre des extensions, il est envisageable de prendre en
compte plusieurs incertitudes paramétriques.
Références
[1] O. Adrot. Diagnostic à base de modèles incertains utilisant
l'analyse par intervalles : l'approche bornante. Doctorat de
l'Institut National Polytechnique de Lorraine, 2000.
0 100 200 300
-5
0
5
Mesures des 3 capteurs
0 100 200 300
-0.5
0
0.5
Variation du paramètre incertain
0 100 200 300
-1
0
1
Enveloppe du vecteur parité
0 50 100 150 200 250 300
0
0.5
1
Alarme 1 (Signe) 1
0 100 200 300
0
0.5
1
Alarme 2 (Signe Filtre Médian)
0 100 200 300
0
0.5
1
Alarme 3 (Persistence à 1)
0 100 200 300
0
0.5
1
Alarme 4 (Persistence à 0)
     FIG. 2 (a, b, c, d, e, f, g) : résultats de simulation
[2] O. Adrot, D. Maquin, J. Ragot. Diagnosis of an uncertain
static system. 39th IEEE Conference on Decision and
Control, Darling Harbour, Australia, December 12-15, 2000.
[3] C.M. Crowe. Data reconciliation-progress and challenges.
Journal of Process Control, 6 (2,3), p. 89-98, 1996.
[4] F.R. Gantmacher. The theory of matrices. Chelsea, New-
York, 1977.
[5] J.J. Gertler. Analytical redundancy methods in fault
detection and isolation. IFAC Symposium on Fault
Detection Supervision and Safety for Technical Process,
Baden-Baden, Germany, September 10-13, 1991.
[6] H. Janati-Idrissi. Residual generation for uncertain models.
40th IEEE Conference on Decision and Control, Orlando,
Florida, USA, December 4-7, 2001 (en soumission).
[7] H. Janati-Idrissi, O. Adrot, D. Maquin. Recherche du vecteur
parité pour un système statique incertain. Conférence
Internationale Francophone d'Automatique, CIFA’2000,
Lille, France, 5-8 juillet 2000.
[8] D. Maquin, J. Ragot. Diagnostic des systèmes linéaires.
Collection pédagogique d'automatique, Hermès Science
Publications, 2000.
[9] J.E. Potter, M.C. Suman. Thresholdless redundancy
management with arrays of skewed instruments. Electronic
flight control systems, Agardograph 224, p. 2115-2121,
1977.
[10] J. Ragot, D. Maquin. Génération d'indicateurs de défauts à
base d'observateurs. In Automatique et statistiques pour le
diagnostic, coordinateur : Bernard Dubuisson, chapitre 2,
35 p. Traité Information, Commande, Communication, IC2,
Hermès, Paris, 2001.
[11] M. Staroswiecki, M. Hamad. Validation of measurements
and detection of sensors failures in control systems. Signal
processing III : theory and applications. I.T. Young editor,
Elsevier, 1986.


Analyse d'un système de mesure à paramètres incertains

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