Nous proposons une méthode de correction des distorsions géométriques induites en IRM par les non linéarités des gradients de champ. Nous présentons dans un premier temps l'effet des non linéarités sur les équations du signal de résonance magnétique, puis sur l'image reconstruite par transformation de Fourier. Nous proposons ensuite un modèle mathématique simple de ces non linéarités, basé sur la géométrie des bobines de gradient du système d'acquisition. L'estimation du modèle est effectuée par l'acquisition d'un fantôme cubique dont les fronts sont détectés puis recalés sur leurs positions théoriques, données par les dimensions du fantôme. Cette méthode, indépendante des paramètres d'acquisition, permet de réduire les erreurs de position initiales, de près de 4 mm, jusqu'en dessous de la résolution de l'image

CONSTANS, Jean Marc

DESVIGNES, Michel

LANGLOIS, Serge

REVENU, Marinette

I-Revues

(1) voir en annexe pour les notations utilisées.
IMAGERIE PAR RESONANCE MAGNETIQUE :
CORRECTION DES NON LINEARITES DES GRADIENTS DE
CHAMP
Serge Langlois(1,2), Michel Desvignes(1), Jean Marc Constans(2) et Marinette Revenu(1)
    (1) GREYC  (2) Service d’IRM
UPRESA CNRS 6072 CHU DE CAEN
    Bd Maréchal Juin Av. Côte de Nacre
  14050 Caen 14033 Caen
RÉSUMÉ
Nous proposons une méthode de correction des distorsions
géométriques induites en IRM par les non linéarités des gradients
de champ. Nous présentons dans un premier temps l'effet des non
linéarités sur les équations du signal de résonance magnétique,
puis sur l'image reconstruite par transformation de Fourier. Nous
proposons ensuite un modèle mathématique simple de ces non
linéarités, basé sur la géométrie des bobines de gradient du
système d'acquisition. L'estimation du modèle est effectuée par
l'acquisition d'un fantôme cubique dont les fronts sont détectés puis
recalés sur leurs positions théoriques, données par les dimensions
du fantôme. Cette méthode, indépendante des paramètres
d'acquisition, permet de réduire les erreurs de position initiales, de
près de 4 mm, jusqu’en dessous de la résolution de l'image.
ABSTRACT
We propose a method to correct MRI geometric distortions induced
by gradient field non-linearities. We present first the non-
linearities effects on the theoretical equations of magnetic
resonance signal, and on the image reconstructed by Fourier
Transform. We propose then a mathematical model for the non-
linearities, based on the gradient coils geometry of the acquisition
system. The acquisition of a cubic phantom, whose edges are
detected and matched to their theoretical positions given by the
phantom sizes, allows to simply estimate the model. We have
quantified the distortion in the phantom and found that the largest
error of approximately 4 mm was reduced down to below the
image resolution. This method does not depend on the acquisition
parameters, and can be applied on any image regardless the
acquisition sequence.
1  Introduction
L’imagerie par résonance magnétique (IRM) est
devenue une technique très utilisée dans le domaine de
l'imagerie biomédicale. Son aspect non invasif, sa
résolution et sa capacité à produire des images de différents
contrastes la rendent plus attrayante que d'autres modalités,
notamment dans le domaine de la chirurgie stéréotaxique et
de l'imagerie fonctionnelle. Cependant l'IRM souffre de
sérieux problèmes de distorsions, dont les origines sont
diverses [1] mais dont les effets se traduisent tous par des
décalages en position et en intensité entre les voxels de
l'image acquise et ceux de l'objet réel. Plusieurs études ont
déjà montré l'importance de ces décalages, pouvant
atteindre plusieurs millimètres dans certaines régions du
champ de vue imagé [2,3], et soulignent ainsi la difficulté à
localiser de manière fiable les structures anatomiques
internes. On distingue principalement trois effets à l'origine
de ces variations en IRM : l'effet de susceptibilité
magnétique, l’effet de déplacement chimique et la non
linéarité des gradients de champ qui codent l'espace
d'acquisition.
Nous proposons dans cette étude une modélisation des
non linéarités des gradients ; ainsi qu’une méthode de
correction basée sur les équations du signal de résonance
magnétique. Cette méthode diminue l'erreur de position de
chaque voxel dans les trois directions de l'espace, qui
devient inférieure à la résolution de l’image.
2  Formation des images et distorsions
géométriques
2.1  Principe de l’IRM
L’IRM repose sur un principe physique simple : Certains
corps possèdent des moments magnétiques intrinsèques non
nuls. Lorsque ces corps sont plongés dans un champ
magnétique Bo, leurs moments magnétiques se mettent à
précesser autour de l’axe du champ à une pulsation donnée
par la relation fondamentale de Larmor(1): ωo = γ.Bo.
L’application d’une impulsion de champ magnétique
tournant à la pulsation ωo dans un plan perpendiculaire à
l’axe du champ permet donc d’éloigner ces moments de leur
position d’équilibre. Des gradients de champ magnétique
dont les amplitudes varient de façon linéaire avec la
position spatiale (x,y,z) sont ensuite superposés à Bo. La
pulsation ωo devient, sous l'effet de ces gradients, une
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 339
(1) voir en annexe pour les notations utilisées.
fonction linéaire de la position (x,y,z) : ωo(x,y,z) =
γ.(Bo+x.Gx+y.Gy+z.Gz). Dès l’arrêt de l’application de
l’impulsion, les moments magnétiques retournent à
l’équilibre en créant, par effet de résonance, une onde radio-
fréquence de pulsation proportionnelle à ωo. Cette onde,
enregistrée au moyen de bobines de réception, constitue le
signal de résonance magnétique.
A une dimension, l’expression analytique du signal
échantillonné puis privé de sa fréquence centrale γ.Bo est de
la forme [4]:
           S t x e e dx
i x Gx t
Te t TE
T x
FOVx
FOVx
( ) ( ) .. . . . ( )= −



 −
+
−
∫ ρ γ 2 2
2
2
 (2.1)
L'image théorique It(x) reconstruite se calcule
facilement par une transformation de Fourier :
         
It x
Te
S t e dt
x e
e e
Te
T x
i x Gx t
TeTe
TE
Te
T x
Te
T x
Te
T x
( ) ( )
( )
( )
. . . .
( )
. ( ) . ( )
=
=
−
− −




−
+
−
∫1
2
2
0
2
2
2 2 2 2
γ
ρ (2.2)
2.2  Origine des distortions
Les effets de susceptibilité (création d’un champ
supplémentaire χ(x).Bo par le milieu magnétique en réponse
au champ principal Bo) et de déplacement chimique
(fonction de l’environnement chimique des noyaux en
résonance, représenté par γ) interviennent plutôt dans la
composante principale γ.Bo de ωo. Par leur nature, ces
artefacts ne dépendent que de l’objet à imager et non de
l’instrumentation. Cette étude porte sur les effets de
variation des gradients sur la fréquence de précession et sur
la formation de l’image, dont les origines ne sont liées
qu’aux imperfections de l’appareillage.
2.3  Non linéarités des gradients
En supposant que les distorsions sur les gradients sont
essentiellement géométriques et ne varient pas avec le
temps pendant la durée de l’échantillonnage, l’effet des non
linéarités est introduit en remplaçant dans l’équation (2.1)
Gx par une expression de la forme Gx+δGx(x).
L’image réellement obtenue I(x) est alors donnée par :
( )
I x
Te
x e e dx
e dt
Te i x Gx Gx x t Te
t TE
T x
FOVx
FOVx
i x Gx t Te
( ) ( )
. . . ( ) . ( )
. . . .
= ′ ′






∫ ∫ ′ + ′ −  −
+
′
−
− −




1
0
2 2
2
2
2
ρ
γ δ
γ
                    
(2.3)
En effectuant le changement de variable
f x x Gx x
Gx
( ' ) ' ( ' )= +

1
δ
, I(x) s’exprime en fonction du
signal théorique par :
             ( )I x It f x ddx f x( ) ( ) . ( )= − −1 1 (2.4)
 soi t          ( )It x I f x d
dx
f x( ) ( ) . ( )=  (2.5)
Dans l’équation (2.4), les non linéarités agissent à la fois
sur la position et sur l’intensité du signal It(x). La
reconstruction de l’image théorique It(x) à partir de l’image
acquise I(x) nécessite deux étapes. L’application d’un
décalage de valeur
 f(x) en chaque point x de l’image I(x)
ramène les positions à leurs valeurs théoriques. La
pondération de I(x) par la dérivée de la fonction de
correction f(x) corrige les intensités (équation (2.5)).
L’extension du calcul précédent à deux et trois
dimensions aboutit à trois fonctions de recalage fx(x,y,z),
fy(x,y,z) et fz(x,y,z), où les directions x, y et z représentent
respectivement les directions haut/bas, droite/gauche et
tête/pied d’un patient allongé horizontalement face au ciel. 
L’expression de l’image théorique en fonction de
l’image réelle devient :
           I x y z I X Y Z
X
x
Y
y
Z
z
t ( , , ) ( , , )=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(2.6)
En imagerie à deux dimensions, les variables X, Y et Z
sont liées aux fonctions de correction par Z = fz(x,y,z),
Y = fy(x,y,Z) et X = fx(x,y,Z). La dépendance en Z de X et Y
s’explique par le fait que la lecture du signal s’effectue sur
une seule coupe pré-selectionnée par un gradient de codage
de phase. En imagerie à trois dimensions le calcul aboutit
par contre à Z = fz(x,y,z), Y = fy(x,y,z) et X = fx(x,y,z),
puisque la lecture du signal s’effectue sur tout le volume
excité [5].
3  Modèle et estimation des paramètres
L’objectif est de caractériser les fonctions de recalage.
La plupart des méthodes de correction actuelles sont basées
sur des tables de déplacement pré-calculées [6], qui sont des
approximations discrètes des fonctions
 f. Ces tables peuvent
s’obtenir soit en utilisant un fantôme de dimension connue,
soit en s’appuyant sur les équations mathématiques des
bobines de gradient. Le principal inconvénient de
l’utilisation des tables réside dans l’aspect discret de la
correction. En effet le déplacement appliqué en un point
n’appartenant pas à la table est obtenu par une interpolation
des décalages des points de la table.
La méthode proposée évite cette approximation en
estimant les expressions analytiques des fonctions de
correction. Ces expressions sont choisies de manière à
respecter la géométrie cylindrique des scanners IRM
actuels. Elles se présentent en théorie sous la forme de
sommes infinies de polynômes de degrés finis en (x,y,z) [7]:
     ( ) ( )f x y z x A B x y z
x j
j
ij
i
n j
n j
( , , ) . .= + +



=
∞
=
−
∑ ∑1
0 0
2 2 2 (3.1)
Plusieurs tests nous ont permis de montrer qu’un
développement à l’ordre cinq prenait suffisamment en
340
(1) voir en annexe pour les notations utilisées.
compte les effets des non linéarités. Chaque fonction à
estimer se présente alors sous la forme réduite :
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
f x y z x K x y K z K z x y
K x y K z
x x x x
x x
( , , ) (
)
= + + + + +
+ + +
  
                           
1 0
2 2
1
2
2
2 2 2
3
2 2 2
4
2 2 (3.2)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
f x y z y K x y K z K z x y
K x y K z
y y y y
y y
( , , ) (= + + + + +
+ + +
  
                              )
1 0
2 2
1
2
2
2 2 2
3
2 2 2
4
2 2 (3.3)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
f x y z z K x y K z K z x y
K x y K z
z z z z
z z
( , , ) (= + + + + +
+ + +
  
                             )
1 0
2 2
1
2
2
2 2 2
3
2 2 2
4
2 2 (3.4)
L’estimation des paramètres de chaque fonction est
basée sur l’acquisition d’un fantôme cubique de dimensions
fixes (180±0.1 mm selon chaque axe). Les dimensions du
fantôme sont extraites de l’image par un algorithme de
détection de fronts qui assure une précision inférieure à la
taille du voxel. Le principe, décrit sur la figure 1, est de
modéliser le profil de l’image gradient par des gaussiennes
dont les moyennes représentent les positions des fronts.
L’algorithme des moindres carrés généralisés [8] estime les
cinq paramètres de chaque fonction fi en comparant les
positions réelles des fronts à leurs positions théoriques,
recalées dans un repère unique dont l’origine est l’isocentre
des gradients fixé à l’acquisition.
4  Résultats
4.1  Paramètres
Les images du fantôme sont acquises sur un scanner
Signa 1.5 T de General Electric Medical avec une séquence
3D SPGR classique (TR=22 ms, TE=3 ms, Te = 8 ms). Une
matrice de 256x256 pixels est utilisée pour un champ de
vue de 256x256 mm2. Le volume est partitionné en 124
coupes de 1.7 mm (figure 5). Les paramètres Kij résultants
de l’estimation sont donnés dans le tableau 1.
On remarque dans ce tableau que les paramètres Kx et Ky
sont de valeurs assez proches. Cette ressemblance s'explique
par les géométries quasi-identiques des bobines de gradient
en x et y , qui ne diffèrent que par leurs positions spatiales
(figure 2).
4.2  Stabilité
Plusieurs estimations ont été effectuées en faisant varier
à la fois le type de séquence ( 2D Echo de spin, 3D Echo de
gradient ) et les variables de l’acquisition qui déterminent la
valeur des gradients appliqués ( champ de vue, taille de la
matrice et fréquence d’échantillonnage ). Les résultats en
partie illustrés par la figure 3 indiquent que les paramètres
Kij semblent totalement indépendants de la séquence
d’acquisition programmée. Cela implique que les non
linéarités de gradient induisent des déplacement des points
de l’image qui sont uniquement proportionnels à la position
de ces points dans l’espace d’acquisition.
4.3  Validation
Plusieures images sont obtenues en utilisant diverses
séquences d’acquisition. Chaque voxel de l’image est
ensuite corrigé en position et en intensité selon l’équation
(2.6). Les mêmes acquisitions sont effectuées une seconde
fois, mais en activant la correction de gradient proposée par
le constructeur (‘Grad Warp’ 2D). Les fronts du fantôme
sont détectés dans chaque image puis comparés à leurs
positions théoriques recalées dans le même repère.
L’application des trois fonctions fx(x,y,z), fy(x,y,z) et
fz(x,y,z) en chaque point des volumes acquis réduit les
erreurs de position de plusieurs mm observées (jusqu’à 4
mm sur la figure 4) en dessous de la résolution de l’image
(figures 5 et 6). Les résultats de la correction, compatibles
   
Figure 1 : Principe de l’estimation de la position des fronts.
    Kij
axe i
Ki0
±10-7mm-2
Ki1
±10-7mm-2
Ki2
±10-11mm-4
Ki3
±10-11mm-4
Ki4
±10-11mm-4
x 7.6 10-7 -6.5 10-6 1.6 10-10 1.1 10-11 -1.6 10-11
z 3.4 10-7 -3.5 10-6 3.8 10-11 -3.2 10-11 2.0 10-10
y 9.6 10-7 -6.2 10-6 1.1 10-10 -5.5 10-12 -3.2 10-11
tableau 1 : paramètres des fonctions de correction
ligne de champ
x
z
y
x
Bo
Figure 2 : Disposition des bobines de gradient. Les bobines codant la
direction x, non représentées, sont de géométries identiques à celles codant
la direction y, mais dont les axes sont de direction x.
 1 2D FSE
 2 3D SPGR,
 3 3D SPGR, Fe=32Khz
 4 3D SPGR, Fe=32Khz,
    matrice (384 mm)2
 5 3D SPGR, coronal
 6 3D SPGR, coronal,
    matrice (512 points)2-7,00e-06
-6,00e-06
-5,00e-06
-4,00e-06
-3,00e-06
-2,00e-06
-1,00e-06
0
1 2 3 4 5 6
séquence
Ki1 (mm-2)
Kz1
Kx1
Ky1
Figure 3 : Variations des paramètres K
x1, Ky1 et Kz1 avec le type
d’acquisition. Les paramètres des séquences de base sont : une matrice de
256x256 pixels et de taille 256x256 mm2, 124 coupes d’épaisseur 1.7 mm
dans le plan sagittal (xOz), et une fréquence d’échantillonnage de 16 Khz.
gradient
Fit gaussien
341
(1) voir en annexe pour les notations utilisées.
avec la correction Grad Warp dans les plans d’acquisition,
confirment la validité du modèle.
f x (x,y,z) ,  z=+81.0  mm
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
erreur sur la position (mm)
y 
(m
m)
correction par Grad Warp
pas de correction
correction par fonctions
Figure 6 : Variations de l'erreur sur la position dans la direction x pour une
cote z de 81.0 mm.
5  Conclusion
Cette étude montre qu'il est possible d'effectuer une
correction des non-linéarités des gradients en post-
traitement. L'avantage principal d'une telle correction est de
n'augmenter ni la durée de l'acquisition ni le temps de
reconstruction.
L'erreur initiale importante, ramenée en dessous de la
taille du voxel, permet d'aborder de manière plus fiable les
mesures de position et de distance.
Les fonctions de correction, qui sont indépendantes de
tout paramètre d'acquisition, peuvent être estimée de
manière simple sur une seule acquisition, puis appliquées
ultérieurement aux images acquises avec n'importe quel
type de séquence.
L’originalité de la méthode réside dans la correction en
trois dimensions des effets de gradient, alors que la plupart
des constructeurs ne proposent encore qu’une correction à
deux dimensions dans le plan d'acquisition.
6  Bibliographie
[1] Sumanaweera et al., "MR susceptibility misregistration
correction", IEEE Trans. on Med. Im. vol 12(2), 251-259,
1993
[2] Prott et al., "Comparison of imaging accuracy at
different MRI units based on phantom measurements",
Radiotherapy and Oncology, vol. 37, pp 221-224, 1995
[3] Lee Walton et al., "A phantom study to assess the
accuracy of stereotactic localization, using T1 weighted
magnetic resonance imaging with the Leskell stereotactic
system", Neurosurgery, vol. 38(1), pp 170-178, 1996
[4] Hinshaw, Lent, "An Introduction to NMR Imaging:
From the Bloch Equation to the Imaging Equation",
Proceedings of the IEEE, vol. 71(3), pp 338-350, 1983
[5] F. Wehrli, "Fast scan magnetic resonance. Principles
and applications", Raven Press, New York, 1994
[6] C.R. Maurer et al., "Effect of Geometrical Distortion
Correction in MR on Image Registration Accuracy", Journal
of Computer Assisted Tomography vol. 20(4), pp 666-679,
1994
[7] T.S. Sumanaweera, "Segmentation and Distortion
Correction in Medical Imaging", Doctoral Thesis, Stanford
University, march 1992
[8] Press et al., "Numerical recipes in C: The Art of
Scientific Computing", Cambridge University Press, 1988
Remerciements
Cette étude a été réalisée dans le cadre du Pôle
Traitement et Analyse d’Images de Caen grâce au support
de la société General Electric Medical Systems et du Fonds
Social Européen.
Annexe
Nous présentons ici les notations utilisées dans le
développement du calcul.
γ : rapport gyromagnétique. Sa valeur dépend de
l’environnement chimique des atomes excités.
ρ(x): valeur du moment magnétique transversal à sa
création.
T2(x): temps de relaxation transversal.
Gx : amplitude du gradient de lecture.
Te : durée d’application du gradient de lecture.
TE: temps écoulé entre la création de ρ(x) et
l’application de Gx.
FOVx : champ de vue sélectionné, qui dépend de la
valeur de Gx et de la fréquence d'échantillonnage.
  
Figure 4 : Vues coronale (gauche) et sagittale (droite) du fantôme après
acquisition
  
Figure 5 : Vues coronale (gauche) et sagittale (droite) du fantôme après
correction de l’acquisition
342


Imagerie par resonance magnetique : Correction des non linearites des gradients de champ

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