Les méthodes de localisation à haute résolution basées sur l'exploitation de la matrice spectrale des signaux reçus sont mises en défaut lorsque les sources observées sont trop fortement corrélées. Les traitements actifs y sont d'autant plus sensibles que, dans ce cas précis, le signal reçu est constitué de copies atténuées et retardées d'un unique signal, celui qui est émis. Afin de s'affranchir de ces restrictions, une méthode de décorrélation adaptée au formalisme des méthodes de localisation actives large bande est présentée ici

GONCALVES, Daniel

GOUNON, Patrick

I-Revues

SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 71
Décorrélation de sources large bande
en traitement d’antenne actif à haute résolution
Daniel Goncalves et Patrick Gounon
CEPHAG, ENSIEG
Rue de la Houille Blanche, BP 46
38402 Saint Martin d’Hères Cedex, FRANCE
daniel.goncalves@cephag.inpg.fr et patrick.gounon@cephag.inpg.fr
RÉSUMÉ
Les méthodes de localisation à haute résolution basées sur l’exploi-
tation de la matrice spectrale des signaux reçus sont mises en défaut
lorsque les sources observées sont trop fortement corrélées. Les trai-
tements actifs y sont d’autant plus sensibles que, dans ce cas précis, le
signal reçu est constitué de copies atténuées et retardées d’un unique
signal, celui qui est émis. Afin de s’affranchir de ces restrictions, une
méthode de décorrélation adaptée au formalisme des méthodes de lo-
calisation actives large bande est présentée ici.
ABSTRACT
High resolution eigenstucture-based techniques for signal sources
localization are known to be ineffective in the presence of highly
correlated signals. This is even worse for active methods, i.e. when
the received signal is composed of time-delayed ampitude-weighted
replicas of a single signal, the emitted one. In order to avoid such
difficulties, a technique which enables high resolution active methods
to correctly localize all signal sources irrespective of their correlation
is presented here.
1 Introduction
Les méthodes de traitement d’antenne à haute résolution
basées sur des techniques de décomposition en éléments
propres de la matrice spectrale des signaux reçus suscitent
un réel intérêt depuis de nombreuses années. Ces méthodes
utilisent en général les propriétés de structure particulières
de cette matrice pour générer des fonctionnelles dont les
extrema sont caractéristiques de la position des sources. Elles
conduisent en théorie à une résolution asymptotique infinie,
pour peu que les sources observées soient décorrélées ou, pour
le moins, partiellement corrélées [1], [4].
Toutefois, en pratique, ces méthodes voient leurs perfor-
mances baisser fortement dès que la corrélation des sources
est trop forte vis à vis de leur séparation ou vis à vis du ni-
veau de bruit. Ceci est en grande partie lié à des problèmes
concernant la qualité d’estimation des matrices spectrales uti-
lisées. Il s’avère alors que le modèle de sources cohérentes (i.e.
de sources totalement corrélées) est tout particulièrement bien
adapté à la description des problèmes rencontrés en présence
de sources fortement corrélées [6], [4].
Afin de pouvoir tout de même utiliser les méthodes de lo-
calisation à haute résolution en présence de sources fortement
corrélées, des méthodes efficaces de lissage spatial ont été dé-
veloppées en passif et en bande étroite [6], [5]. Elles sont ba-
sées sur deux notions essentielles qui sont, d’une part, le rang
de la matrice spectrale lissée et, d’autre part, la similitude de
structure existant entre les matrices spectrales originelles et
celles qui ont été lissées.
Or, en sonar actif, le problème de la corrélation des
sources est encore plus sensible qu’en passif. En effet, le
signal reçu est composé de copies retardées et atténuées du
signal émis. Du fait de la propagation dans le milieu sous-
marin ou de variations de l’index de réflexion des cibles, les
amplitudes complexes de ces échos peuvent être partiellement
décorrélées. Mais dans le cas général, cette décorrélation reste
très faible voire nulle. Ceci constitue un obstacle majeur à
l’exploitation de tels signaux par les méthodes de localisation
à haute résolution basées sur les décompositions en éléments
propres de la matrice spectrale.
Or, l’extension des méthodes de décorrélation utilisées en
bande étroite et en passif au cas actif et large bande n’est
pas immédiate. La nature ainsi que la structure des matrices
spectrales ne sont en effet pas les mêmes.
Toutefois, en s’inspirant des méthodes développées en
bande étroite et en passif, il est possible d’introduire une
méthode de lissage spatio-fréquentiel adaptée au formalisme
des méthodes de localisation spatio-temporelle actives large
bande. Ce sont la définition et l’étude des principales caracté-
ristiques d’une telle méthode qui constituent l’objet essentiel
de la présente contribution.
La suite du document s’articule autour de quatre parties.
Viennent en premier lieu de brefs rappels concernant une
méthode particulière de localisation spatio-temporelle active
large bande : MUSICAL. Ils servent en fait à souligner où les
hypothèses de décorrélation des sources interviennent. Ceci
permet dans un second temps de montrer comment le lissage
spatial peut être étendu au contexte actif large bande. La
troisième partie est alors consacrée à la présentation du lissage
72
fréquentiel. Enfin, l’utilisation conjointe de ces deux types de
lissage est illustrée sur l’exemple de simulations.
2 La méthode MUSICAL
Dans le cadre d’une modélisation de type ondes planes,
pour une antenne rectiligne uniforme composée de M cap-
teurs équidistants et éclairée par P sources, la représentation
fréquentielle du signal reçu à la fréquence  f sur le capteur m
peut s’écrire :
Xm; f D
PX
pD1
cp S f exp[Ä j f .9p C .m Ä 1/8p/]C Nm; f (1)
Où cp représente l’atténuation complexe de la source p, S f et
Nm; f sont les composantes fréquentielles du signal émis et du
bruit reçu sur le capteur m à la fréquence  f , et avec :
9p D 2Tp 8p D 2
D sin.p/
C
(2)
Tp est le temps de propagation entre la source p et le capteur
de référence .m D 1/, D est la distance séparant deux capteurs
consécutifs, C représente la célérité des ondes dans le milieu,
et p est la direction d’arrivée de la source p par rapport à la
normale à l’antenne.
De façon à pouvoir utiliser les informations disponibles
pour toutes les fréquences de la bande d’analyse et pour
tous les capteurs, il est commode de définir le vecteur de
l’observation large bande par [3], [1] :
X D [X1;1; X2;1;    ; X M;1; X1;2;    ; X M;F ]T (3)
Si le bruit est indépendant des signaux émis, la matrice
spectrale large bande de l’observation peut se mettre sous la
forme :
0X D E[X:XH ] D A:0C:AH C 0N D 0Y C 0N (4)
0C est la matrice de corrélation des sources qui est carrée et
de dimension P  P . 0Y est la matrice spectrale large bande
de l’observation non bruitée et 0N est la matrice spectrale
large bande du bruit. A est la matrice large bande rendant
compte de la propagation des signaux dans le milieu. Elle est
de dimension M FP , chacune de ses colonnes correspondant
à un des P vecteurs sources large bande. À la différence du cas
bande étroite, son terme générique ne dépend pas uniquement
des paramètres spatiaux des sources. Il dépend également des
paramètres temporels et s’écrit :
Am; f;p D S f exp[Ä j f .9p C .m Ä 1/8p/] (5)
Sous réserve de décorrélation partielle des sources, il est
aisé de montrer [3], [1] que 0C est de rang P tout comme
0Y. Si le bruit est blanc, le sous espace signal engendré par
les P premiers vecteurs propres de 0Y coïncide avec celui
engendré par les P premiers vecteurs propres Vp de 0X. Les
paramètres spatio-temporels des sources .; T / sont alors ceux
maximisant la fonctionnelle bidimensionnelle suivante :
M SC L.; T / D 1
1Ä
PX
pD1
jaH .; T /Vpj2
(6)
Dans cette expression, a.; T / représente le vecteur direction-
nel large bande candidat.
Cette méthodologie est toutefois mise en défaut dès que
certaines sources sont parfaitement corrélées. Dans ce cas 0C
est de rang déficient et le sous-espace signal est de dimension
inférieure à P . Les performances de l’algorithme s’en trouvent
fortement dégradées et la méthode perd ses caractéristiques
haute résolution.
Les hypothèses concernant la corrélation des sources obser-
vées apparaissent donc de façon explicite. C’est pour essayer
de s’affranchir des contraintes qu’elles imposent que la mé-
thode de lissage qui suit a été développée.
3 Lissage spatial en large bande
De façon à modéliser d’emblée tous les cas possibles,
il est commode de considérer que les P sources observées
sont réparties en Q groupes de sources cohérentes, chacun
de ses groupes étant par ailleurs partiellement corrélé avec
ses voisins. Les sources partiellement corrélées sont donc
modélisées par des groupes d’effectifs unitaires.
L’idée qui est à la base de la méthode en large bande est
la même que celle utilisée en bande étroite. Il s’agit de divi-
ser l’antenne principale composée de M0 capteurs en K sous-
antennes se recouvrant partiellement et comportant M cap-
teurs successifs chacune. La sous-antenne d’indice k comporte
ainsi les capteurs [k; k C 1;    ; k C M]. L’ensemble de ces
K sous-antennes permet d’estimer K matrices spectrales large
bande 0kX D E

Xk :.Xk/H

. La matrice spectrale lissée 0SX
est alors définie comme la moyenne arithmétique des matrices
spectrales correspondant aux K sous-antennes selon :
0SX D
1
K
KX
kD1
0kX (7)
Compte tenu de la structure particulière des matrices spec-
trales large bande, deux problèmes essentiels restent alors à
résoudre. Le premier consiste à savoir si les modifications de
structure subies au cours du lissage par les matrices spectrales
large bande sont compatibles avec la modélisation large bande
utilisée par les méthodes de localisation à haute résolution. Le
second concerne le rang qui est atteint par les matrices de cor-
rélation des sources ainsi traitées.
Or, pour chaque source p, le passage du capteur m au
capteur m C 1 se traduit par un déphasage supplémentaire
de  f8p. L’antenne étant linéaire à capteurs équidistants,
le passage de la première sous-antenne à la sous-antenne k
peut se modéliser grâce à l’introduction d’une matrice Bk
qui regroupe les déphasages des P sources observées aux F
fréquences  f . Cette matrice est de dimension M:F  P et
son terme générique est de la forme :
Bkp; f D exp[Ä j f .k Ä 1/8p] (8)
Avec ces notations, le vecteur de l’observation large bande de
la sous-antenne d’indice k s’écrit :
Xk D A:Bk :CC Nk (9)
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 73
À partir de cette expression, la caractérisation algébrique des
transformations subies au cours du lissage spatial par les
matrices spectrales large bande permet de montrer que [2] :
– les modifications des matrices spectrales dues au lissage
se réduisent essentiellement à une modification de la
matrice de corrélation des sources 0C,
– la croissance du rang de 0C dépend uniquement du
nombre K de sous-antennes et du nombre Q de groupes
de sources cohérentes, le rang suivant la loi multiplica-
tive K :Q,
– les rangs de 0C et de 0Y sont de nouveau supérieurs ou
égaux à P dès que la condition K > PQ est satisfaite,
– le rang des matrices spectrales traitées est majoré par le
nombre F:P .
Ces quatre points suffisent à garantir que les matrices spec-
trales traitées sont similaires à celles qui auraient pu être obte-
nues avec des sources partiellement décorrélées. Ils expriment
donc à eux seuls la décorrélation effectivement apportée par le
traitement. Il faut toutefois accorder une attention toute parti-
culière aux deux derniers points et souligner qu’il n’est pas
souhaitable d’avoir un rang des matrices traitées trop élevé
par rapport à P . Dans certaines situations cela peut en effet
conduire à des dysfonctionnements semblables à ceux rencon-
trés avec les matrices non-lissées lors d’une trop forte suresti-
mation du nombre de sources.
4 Lissage fréquentiel
Un formalisme analogue à celui employé au paragraphe
précédent peut être appliqué dans le domaine des fréquences.
Ceci est dû en grande partie à la structure particulière des
vecteurs de l’observation large bande utilisés par les méthodes
telles que MUSICAL. Il est plus aisé de s’en rendre compte si
on réordonne le vecteur observation large bande sous la forme
suivante :
X D [X1;1; X1;2;    ; X1;F ; X2;1;    ; X M;F ]T (10)
Comme auparavant, la matrice spectrale large bande reste dé-
finie par l’équation (4). Elle contient bien sûr les mêmes in-
formations que la matrice spectrale utilisée précO˝édemment,
mais celles-ci sont ordonnées différemment. Il est alors pos-
sible d’introduire un lissage en fréquence, si les deux hypo-
thèses suivantes sont respectées :
– blanchiment préalable des signaux reçus,
– canaux fréquentiels équirépartis sur la bande d’analyse
(séparés de1).
Pour cela, il suffitO˝de diviser la bande composée de F0 canaux
fréquentiels en K sous-bandes de F canaux se recouvrant
partiellement. Les canaux [k; k C 1;    ; k C F] composent
donc la sous-bande d’indice k. La matrice spectrale large
bande de l’observation lissée en frO˝équence est alors définie
comme la moyenne des K matrices correspondant aux K sous-
bandes de façon similaire à ce qui a été vu à l’équation (7).
Alors, pour chaque source p, le passage du canal fréquen-
tiel f au canal f C 1 se traduit par un déphasage supplémen-
taire de1.9pC .mÄ 1/8p/. Le passage de la première sous-
bande à la sous-bande d’indice k peut alors se modéliser par
l’introduction d’une matrice Bk regroupant les déphasages des
P sources observées sur l’ensemble des capteurs de l’antenne.
Cette matrice est de dimension M:F  P et son terme géné-
rique est de la forme :
Bkp;m D exp[Ä j1.k Ä 1/.9p C .m Ä 1/8p/] (11)
L’expression donnant la forme du vecteur de l’observation
large bande correspondant à la sous-bande d’indice k est alors
en tout point analogue à celle donnée à l’équation (9).
Il en découle que, d’un point de vue analytique, les M2
blocs de la matrice spectrale large bande lissée en fréquence
ont des propriétés de rang et de structure tout à fait similaires
à celles des F2 blocs de la matrice lissée spatialement. Les
caractéristiques du lissage en fréquence se déduisent de ce fait
en totalité de celles obtenues lors de l’étude du lissage spatial
large bande. Il en ressort en particulier que K sous-bandes
suffisent pour que les rangs de 0C et de 0Y soient égaux à
K :Q, ces rangs étant cette fois majorés par le produit M:PL´.
Les conditions portant sur le rang et la structure des
matrices spectrales large bande lissées en fréquence étant là
encore satisfaites, il est de nouveau possible d’utiliser sur
celles-ci une méthode à haute résolution active du type de
MUSICAL.
5 Lissage spatio-fréquentiel
Les deux méthodes abordées ci-dessus peuvent bien évi-
demment être utilisées conjointement.
La combinaison des deux types de lissage offre plus
de souplesse au niveau des traitements, notamment pour
les antennes qui sont composées d’un nombre restreint de
capteurs et pour lesquelles les méthodes de lissage spatial ne
sont donc pas applicables.
Ainsi, en utilisant conjointement les deux formes de lis-
sage, si KS est le nombre de sous-antennes et KF est le nombre
de sous-bandes fréquentielles, pour KS :KF > PQ la matrice
spectrale large bande de l’observation non bruitée obtenue
après lissage spatio-fréquentiel est de rang au moins égal à P .
Sa structure étant de plus analogue à celle qui aurait été obte-
nue avec un mélange de sources partiellement décorrélées, les
méthodes de localisation à haute résolution actives large bande
sont de nouveau utilisables.
À titre d’illustration, les figures ci-dessous montrent les
diagrammes de localisation obtenus en simulation pour un
mélange de 2 groupes comportant chacun 3 sources totalement
corrélées. La localisation est effectuée à l’aide d’une antenne
de M D 6 capteurs et F D 6 canaux fréquentiels. Le lissage
spatio-fréquentiel est réalisé à l’aide de KS D 2 sous-antennes
et KF D 2 sous-bandes. Le rapport signal à bruit est de l’ordre
de 0d B par source. La première figure montre le résultat
obtenu par formation de voies et filtrage adapté. Les sources
n’apparaissent pas clairement sur ce diagramme, même s’il
est manifeste que la très probable présence d’un paquet de
sources est détectée. La figure 2 présente le diagramme obtenu
avec MUSICAL seul. L’algorithme n’a pas été capable de
localiser les sources correctement. Le diagramme fait en
effet apparaître quatre maxima qui ne correspondent pas
74
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
−60
−40
−20
0
20
40
60
RETARD (S.)
AN
GL
E 
(DE
G.)
F.A./F.V.
FIG. 1 — Localisation par formation de voies et filtrage
adapté
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
−60
−40
−20
0
20
40
60
RETARD (S.)
AN
GL
E 
(DE
G.)
MUSICAL SEUL
FIG. 2 — Localisation par MUSICAL seul
aux coordonnées réelles des sources. Après lissage spatio-
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
−60
−40
−20
0
20
40
60
RETARD (S.)
AN
GL
E 
(DE
G.)
LISSAGE SPATIO−FREQUENTIEL
FIG. 3 — Localisation après lissage spatio-fréquentiel
fréquentiel et localisation par MUSICAL, le diagramme de
localisation est celui donné par la figure 3. Les 6 sources sont
localisées correctement. Elles émergent nettement du niveau
de bruit et sont de plus nettement distinctes les unes des autres.
6 Conclusion
Avec une approche similaire à celle adoptée en bande
étroite, une méthode de lissage spatial a été définie pour des
matrices spectrales large bande et son comportement a été
caractérisé. Par analogie formelle avec ce premier type de
traitement, une méthode de lissage en fréquence a également
été spécifiée.
Le principal intérêt de ce type de prétraitements est bien
entendu qu’il permet de réaliser une décorrélation effective
des sources observées, et ceci quel que soit leur degré de
corrélation initial.
L’utilisation d’un tel lissage spatio-fréquentiel permet alors
un traitement de la matrice spectrale large bande des signaux
reçus dans son ensemble, sans perdre la richesse d’information
relatives aux spectres des signaux obtenus aux différentes
fréquences. Cette richesse d’information est d’autant plus
précieuse, qu’elle est à la base des bonnes performances des
algorithmes de localisation actifs à haute résolution en large
bande.
Avec un nombre de capteur très réduit, cette méthode auto-
rise également la possibilité de localiser un nombre important
de sources très corrélées, sans pour autant que les propriétés
de résolution soient trop considérablement diminuées par le
nombre de subdivisions de l’antenne.
Il est en outre à noter que, même dans le cas de sources
faiblement corrélées, ce type de prétraitements affine la loca-
lisation spatio-temporelle des sources.
Références
[1] S. Bozinoski, "Analyse spatio-temporelle des signaux
large bande en vue de la tomographie acoustique océa-
nique", Thèse de Docteur Ingénieur INPG, Mars 1996.
[2] D. Goncalves, "Décorrélation de sources, matrice spec-
trale large bande, traitement d’antenne actif à haute réso-
lution", Rapport CEPHAG NO 4/97, Mai 1997.
[3] P. Gounon, "Analyse spatio-temporelle haute résolution à
l’aide d’une antenne active", Traitement du Signal, vol.
11, NO. 5, pp. 351-360, quatrième trimestre 1994.
[4] H. Krim and M. Viberg, "Two Decades of Array Signal
Processing Research", IEEE Signal Processing Magazine,
pp. 67-94, July 1996.
[5] S.U. Pillai and B.H. Kwon, "Forward/backward Spatial
Smoothing Techniques for Coherent Signals Identifica-
tion", IEEE-ASSP, vol. 37, NO. 1, pp. 8-15, January 1989.
[6] T.-J. Shan, M. Wax and T. Kailath, "On Spatial Smoo-
thing for Direction-Of-Arrival Estimation of Coherents Si-
gnals", IEEE-ASSP, vol. ASSP 33, NO. 4, pp. 806-811,
August 1985.


Décorrélation de sources large bande en traitement d'antenne actif à haute résolution

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