We study the scattering of elastic waves by fiber reinforced composites with interface cracks . In the long wave

approximation, by means of a perturbation method, we derived in a closed foi-in the scattering section for an isolated

fiber, partially debonded from the matrix, Using a homogenization procedure we extend the analysis to random

distributions of inclusions and cracks . We show that the cracked composite behaves like an anisotropic viscoelastic

material.On étudie la diffraction des ondes élastiques par des composites fibrés fissurés aux interfaces . Dans l'approximation

des ondes longues, par une méthode de perturbation, on détermine analytiquement la section efficace pour

une fibre isolée, partiellement désolidarisée de la matrice . Par une technique d'homogénéisation, on étend

l'analyse à des distributions aléatoires d'inclusions et de fissures . On montre alors que le matériau composite

fissuré se comporte comme un matériau viscoélastique anisotrope 

COUSSY, O.

Traitement du signal

Coussy, Olivier

HAL-Ecole des Ponts ParisTech

Wave motion in elastic cracked composites

I-Revues

0DÉFAUTS ET INCLUSIONS
Propagation des ondes
dans les composites 'élastiques fissurés
60
Wave motion in elastic cracked composites
Olivier COUSSY
Laboratoire des Ponts et Chaussées, 58, boulevard Lefebvre, 75732 PARIS
CEDEX 15
Olivier COUSSY est ingénieur de recherches au Service de
Mécanique du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées
depuis 1979 . Ses recherches ont principalement porté sur la dynamique des structures et la propagation
des ondes
dans les milieux hétérogènes . Il a déterminé théoriquement l'influence d'irrégularités aléatoires de la chaussée
sur la
réponse dynamique d'un ouvrage d'art soumis à un trafic . Dans le domaine des ultrasons,
il a étudié l'effet des
fissures sur l'atténuation des ondes dans les milieux composites (béton, béton armé . .
.) Il travaille actuellement sur
l'acoustique des milieux poreux et milieux biphasiques
dissipatifs,
RÉSUMÉ
On étudie la diffraction des ondes élastiques par des composites fibrés fissurés aux interfaces . Dans l'approxima-
tion des ondes longues, par une méthode de perturbation, on détermine analytiquement la section efficace pour
une fibre isolée, partiellement désolidarisée de la matrice . Par une technique d'homogénéisation, on étend
l'analyse à des distributions aléatoires d'inclusions et de fissures . On montre alors que le matériau composite
fissuré se comporte comme un matériau viscoélastique anisotrope .
MOTS CLÉS
Diffraction, ondes élastiques, composite fibré, fissures, interfaces .
SUMMAR Y
We study
the scattering of elastic waves by fiber reinforced composites with interface cracks
. In the long wave
approximation, by means of a perturbation method, we derived in a closed foi-in the scattering section for an isolated
fiber, partially debonded from the matrix, Using a homogenization procedure we extend the analysis to random
distributions of inclusions and cracks
. We show that the cracked composite behaves like an anisotropic viscoelastic
material.
KEY WORDS
Scattering, elastic waves, fiber reinforced composite, cracks, interface
.
Traitement du Signal
419
volume 2 - n° 5 sp - 1985
TABLE DES MATIÈRES
1. Diffraction des ondes par une fibre isolée
partiellement désolidarisée de sa matrice
2. Propagation des ondes dans des compo-
sites fibrés présentant des fissures d'in-
terface
2 . 1 . Technique d'homogénéisation
2 .2. Propagation des ondes
3. Conclusion
Bibliographie
1. Diffraction des ondes par une fibre isolée
partiellement désolidarisée de sa matrice
Considérons une fibre élastique isotrope R 2 (axe 0x3 ,
rayon a, composantes du tenseur d'élasticité C kl,
masse volumique p2) insérée dans une matrice infinie
élastique isotrope
RL(CJkl= cijkl-A Cijkl, pi=P2- àP) .
La surface de l'inclusion est composée de deux
parties : une partie L, parfaitement solidiaire de la
matrice (continuité des déplacements et du vecteur
contrainte) et une partie 1- désolidarisée de la partie
en regard l+ , appartenant à la matrice (nullité du
vecteur contrainte) . Le problème est alors de détermi-
ner les composantes du champ de déplacement ii,
pour une onde incidente plane harmonique
(pulsation w) de type P, S ou SH, définie par
uf
(x, t)=llj'(x) e -i ";
Uj(X)=Ü~
e
'ikl .x
.
(1)
où x et k 1
sont le vecteur position (x=(x cas'P,
x sin `P,0)) et le vecteur d'onde (k 1 =(k
1 cos t,
k 1 sin1A, 0)) (fig . 1) . Utilisant des méthodes
classiques [1] de perturbation, on peut alors montrer
que le champ de déplacement résultant est la somme
du champ incident (1) et d'un champ de déplacement
diffracté um(x')e-1°" avec
(2)
PROPAGATION DES ONDES DANS LES COMPOSITES ÉLASTIQUE FISSURÉS
,
S,P,j=1,2 ;
	
SH,j=3
um (x ' ) = C
jkl
J
(gim, 1(ut -
ul
)
1+
-gimuk,1)nj dl +
+
J
OPw 2 uigimdR2
RZ
-
JRZ
ACijk1 gim, i
uk,1 dR2,
où
g,,, représente une fonction de Green relative à
la matrice
. Dans l'approximation des ondes longues
Traitement du Signal
420
(3)
Fig. 1 . -
La fibre isolée.
(k 1 a«1), le champ excitant est linéaire dans le voisi-
nage de la fibre et (2) peut être approximé par [2]
(4)
um(x')=OPU1 2 J U[' gimdR2
RZ
-Cjk1(J vi gkm,lnf dl
+
1+
volume 2 - n° 5 sp
- 1985
L
(gim Uk
+
,
1-Vi+ gkm, r)
ni
+
dL),
où v1 est la solution d'un problème statique associé
défini par le déplacement à l'infini linéaire
v, (x') =U,„ i k 1 . x'. Pour une onde incidente plane
SH, cette solution statique peut être déterminée par
la méthode des potentiels complexes [3] . Reportant
cette solution dans (3) et prenant pour g33 son expres-
sion asymptotique, on obtient l'expression du champ
lointain diffracté dans la direction x sous la forme :
W3' = U' (1/2) (2
x e-i aga k1/2 eik l x
S (`P)
S ('y) = (P2/P1 - 1)
+(µ1
+µz)
-1
x (2 cos (`Y-0) (t 1-µ 2 cos fo)
+µ 2 sin 2 0 0 cos (Y+1)),
où
µi
est le module de cisaillement et 2 0 0 est l'angle
d'ouverture de la fissure (fig. 1) . A partir de (4) on
détermine aisément la section efficace S
S, qui est
l'intégrale de 0 à 2 i de la section efficace différentielle
y(O='F-(h),
rapport de la puissance moyenne sur
une période diffractée dans la direction x et de la
puissance moyenne incidente par unité de surface
Ssc=k1(a l cos2 (D+a
2 sin2 CD),
rc z kz
aa
a l -a 2= 1
iµ2
sin 2
00 (µ1-µz
cos
00),
( 5 ) 2
Giii
2+ 4
2)
a1=
n
8
a (2 ( .p/P1) 2
+ { [2 (µi -- µ2 cos 00) + µ2 sin2
00]/(µl
+92W)'
La valeur 00 =0 reportée dans (5) donne bien le résul-
tat classique correspondant à l'inclusion parfaitement
solidaire de la matrice [4] . La figure 2 représente les
variations de la section efficace normalisée en fonction
du demi angle d'ouverture 0 0 de la fissure pour diffé-
rents matériaux; inclusion-matrice : I acier-béton (i 2 /
t 1 =4,8), II aluminium-acier (µz/µ1=0,38), III époxy-
verre (µ 2/µ1 =18,8) . Quand l'inclusion est moins
rigide que la matrice (II), la section efficace est une
fonction monotone croissante de 0 0 . Quand l'inclu-
sion est plus rigide (I, III), il y a un minimum inférieur
à 1. L'explication physique est que, dans l'approxima-
tion des ondes longues, l'onde incidente voit l'inclu-
sion et la fissure comme un tout, la fissure assouplis-
sant localement le composite . Ainsi, si l'inclusion est
moins rigide que la matrice, la fissure ne fait que
renforcer ce caractère de moindre rigidité par rapport
à la matrice et la puissante diffractée augmente lors-
que la fissure s'étend progressivement le long de l'inter-
face. Si maintenant l'inclusion est plus rigide que la
matrice, la fissure en s'étendant le long de l'interface,
atténue ce caractère de plus forte rigidité et la puis-
sance diffractée commence par diminuer . Lorsque la
fissure atteint une longueur suffisante, c'est l'assouplis-
sement local qu'elle induit qui l'emporte et la puis-
sance diffractée augmente à nouveau . Les résultats
similaires peuvent être obtenus pour des ondes P et
S incidentes [2] .
U
DÉFAUTS ET INCLUSIONS
Mg. 2. - Section efficace normalisée fonction de
0 0 .
2. Propagation des ondes dans des composites
fibrés présentant des fissures d'interface
Considérons une onde harmonique se propageant
dans un milieu élastique isotrope de référence (µ 0, 10,
Traitement du Signal
(7)
nn2
n+
Fig. 3. - Propagation en milieu composite fissuré.
k0), incidente sur une région .L.., constituée des fibres
partiellement désolidarisées de la matrice (fig. 3). Par
la suite nous restreindrons notre attention à des ondes
SH incidentes et noterons f3
1 3 j=f f. . .
2 . 1 . TECHNIQUE D'HOMOGÉNÉISATION
Considérons une grande région S (7C a 2/S « 1) consti-
tuée par une inclusion, sa fissure d'interface et une
partie de la matrice avoisinante . En suivant
Eshelby [5], le composite réel dans la région S peut
être remplacé par un matériau homogène fictif équiva-
lent si, pour un chargement quelconque cr ° v i agissant
sur la frontière S de normale v, le champ de contrain-
tes induit a i satisfait
( 6)
	
2 f
S;~ 6i aJ ds = 2 (S ij+ASiJ) 6~ crj ,
S
où Sil=(CiJ) -1 est le tenseur de souplesse. Si (6) est
vérifie, Sj+A S,J sera le tenseur de souplesse recherché
du matériau fictif équivalent, puisqu'alors les maté-
riaux réels et fictifs emmagasineront la même énergie
élastique pour les mêmes chargements 6r v1 agissant
sur leurs frontières . En langage imagé, on peut dire
que la forte perturbation engendrée par l'inclusion et
sa fissure aura été fictivement répartie sur S . De fait
on peut montrer que (6) est vrai [6] et que, dans un
système de référence où l'axe ox 1 est orienté suivant
le vecteur d'onde incident, on a :
2n a2
~C11/µi
S
(µl +µ2)
[L2 _t i _t 2 (1-cos00+ sineO
o cos2b)],
ira2
0C 22
/µ1=
µz - 1 1 1
S(
2
µ1+µz)
z
- µz (1- cos 0 0 - sin e 0 0 cos 2 ,
TcS
« 1
z
AC 12 / t
=i
C21/µi=
n a
µz
sin 2 O 0 sin2c1 .
S(µ1+µz)
Pour 0 0 =0, le matériau équivalent est isotrope et (7)
est en accord avec les résultats déjà connus [7] . Les
49 1
I volume 2 -
n° 5 sp -
1985
expressions (6) montrent que la fissure induit une
anisotropie ayant l'axe de symétrie de la fissure et
l'axe qui lui est orthogonal pour axes principaux. Par
rapport à notre problème initial (fig . 3), l'utilisation
des expressions (6) suppose les champs incidents spa-
tialement linéaires dans la région S et est donc
restreinte à l'approximation des ondes longues vis-à-
vis des cibles réelles (i. e. les fibres). Toutefois, par
rapport aux cibles fictives constituées par chaque
région S remplie par le matériau équivalent, cette
approximation correspond alors à une approximation
de Born puisque, la perturbation ayant été répartie
sur une grande région S, n a2/S « 1 entraîne que OC, ,~/
µ 1 « 1 dans (6) . Rappelons que l'approximation de
Born consiste à remplacer dans les termes sources des
équations intégrales le champ inconnu régnant dans
la cible (ici fictive) par le champ incident, ceci du fait
d'un faible contraste entre les caractéristiques de la
cible (ici fictive) et celles du milieu avoisinant (AC,j/
µ 1 « 1). En outre, les expressions (6) suppose l'absence
d'interactions statiques d'une fibre à l'autre . Si s est
la concentration d'inclusions cela revient à considérer
que les régions S des fibres avoisinantes sont au plus
adjacentes ou légèrement recouvrantes : s < 0,2 .
2 .2. PROPAGATION DES ONDES
2 .2 . 1. Milieu infini
Dans le cas des faibles concentrations (s< 10cha-
que inclusion est vue comme une individualité et il
suffit d'additionner les sections efficaces de chaque
inclusion pour obtenir l'expression de la perte d'éner-
gie de l'onde directe due aux diffractions élémentaires .
Pour des concentrations plus importantes (s>10_ 2 )
mais restant faibles (s< 10 -1 ), le milieu composite est
« vu » par l'onde directe comme un milieu homogène,
pour ce qui est de la vitesse de l'onde . On peut
alors substituer au milieu composite réel, un milieu
élastique décrit par les constantes élastiques
µ l
+ AC ij =C'j, les expressions de AC . . étant données
par (7), où l'on aura substitué à 71 a2%S la concentra-
tion s que l'on supposera faiblement fluctuante, ainsi
que les paramètres de fissuration 0 0 et (D. On en
déduit alors la vitesse dans la direction du vecteur
d'onde
(8)
V
=
PROPAGATION DES ONDES DANS LES COMPOSITES ÉLASTIQUE FISSURÉS
1/2
1- 1 s
P2 - P1
+ .
S
i12 - é 1 1
1
	
~2
P1 µ1+
µ 2 (
-92 (1- 0 0+
1
sin e 00 cos21D 11.
Notons alors que cette vitesse aurait pu être obtenue
en utilisant les résultats de Waterman et Truell [81
déduits d'une analyse directe des effets de diffraction
multiple et de l'amplitude diffractée en avant S (Y')
donnée par (4) . Les variations de la figure 4 représen-
tent les variations de v (O = 0, 0 0 ) ou encore celles des
pulsations propres coi d'une poutre s'étendant dans
la direction de l'axe moyen de symétrie des fissures,
normalisées au cas sans fissure .
Traitement du Signal
422
Dans le cas des faibles concentrations, le théorème
d'addition des sections efficaces donne immédiate
ment l'atténuation des ondes en fonction de la section
efficace (5), en suivant l'analyse de Moon et Mow [9].
On trouve ainsi que le champ de déplacement moyen
vérifiera
(9)
0.9
0.8
I
m
0.7
3
0.6
0.5
u =U`° e-a xl ei
(
w/°) xl .
1 s
a= - -SSc .
2 ira 2
La loi de comportement viscoélastique linéaire peut
être représentée par le produit de convolution
(l0 a)
a31(t)=J +w
C ij (t-ti) --(2)dti .
êXJ
Pour un matériau viscoélastique linéaire, si C i, (w) est
la transformée de Fourier de C
i; ( t), on peut alors
montrer à partir de (10 a) que la partie réelle de Cij (co)
est donnée par p v 2 (p masse volumique) tandis que
sa partie imaginaire vaut 2 p v 3 cc/co . L'expression (5)
de Ss , et l'expression (8) de la vitesse v permettent
alors par (9) de montrer que le composite fibré fissuré
se comporte macroscopiquement comme un milieu
viscoélastique linéaire anisotrope tel que
(10b) Cij(Co)=Cij
+
~
Is
a2
µlAij(co),
où, dans un système d'axes ayant pour axe ox 1 l'axe
moyen de symétrie des fissures, A ij (co) est donné par :
AiJ (Co)_ a
1 0
,
0 a 2
a l et a 2 étant donnés par (5) .
(10e)
0
°
-}-
3'0 0 60° 90° 120° 1500
i 0°
Fig. 4. - Vitesse normalisée fonction de O ° (s=0,2) .
volume 2 - n° 5 sp - 1985
III
2 . 2 . 2 . Diffraction par une région fissurée
Retournons alors au problème de la figure 3, pour
lequel le milieu de référence est supposé être le compo-
site
	
non fissuré
(jtO=µ
1 +AC;j(0
0
=0),
PO =P1(1
- s)+p2s, ko =w/v (0o =0)) .
Utilisant alors une méthode de perturbation telle que
celle développée dans le paragraphe 1, mais à l'échelle
macroscopique, et l'appromixation de Born utilisable
car s < 10-1 , on peut alors montrer que la section
efficace différentielle est la somme d'un terme cohé-
rent y°Oh , quantifiant les effets de diffraction multiple
moyens différentiels dus au contraste induit par les
fissures dans la région E, et d'un terme incohérent
7incoh
dus aux interférences entre ondes élémentaires
diffractée consécutives aux fluctuations des paramè-
tres de fissuration dans E . Pour une région E cylindri-
que de rayon R, on trouve en particulier
y°°h(e=~-~)=
iz
R
z
k° 1
8 sine 0/2
x
CC
AC11(00) -l)cos0+AC12 (00 ) sin0 z
µo µo
xJ i (2ko R sine
(11)
où J1 est la fonction de Bessel du premier ordre . Le
terme incohérent peut déterminé sans difficultés, en
adaptant à notre problème particulier les méthodes
probabilistes développées dans [10] .
3. Conclusion
Comme indiqué, la théorie ici développée présente
deux limites, une limite en fréquence (approximation
des ondes longues) et une limite en concentration
(s<10 -1) . Pour des concentrations et des fréquences
plus élevées, la théorie n'est plus valable en raison
des effets de diffraction multiple . Ces effets sont analy-
sables a priori, soit par des méthodes probabilistes
plus sophistiquées [11], soit par des méthodes détermi-
nistes [12] . Toutefois, les interactions statiques entre
inclusions voisines ont été négligées dans la méthode
d'homogénéisation ici utilisée . Ces interactions stati-
ques engendrent des effets du même ordre de grandeur
que ceux de diffraction multiple (en s2 sur la vitesse
pour de faibles concentrations) . Des commentaires
similaires ont été développés dans [13] à propos des
expressions de la vitesse des ondes obtenues par une
méthode statique d'homogénéisation de type auto-
consistante. Ainsi, si l'on veut développer une
méthode d'homogénéisation pour de plus grandes
concentrations d'inclusions, les interactions statiques
et les effets de diffraction multiple doivent être traités
conjointement . Notons alors que les méthodes d'ho-'
mogénéisation fondées sur une hypothèse de distribu-
tion périodiques des inclusions, et ici des fissures, si
elles donnent de bons renseignements sur les champs
moyens statiques même dans le cas aléatoire [14],
DÉFAUTS ET INCLUSIONS
Traitement du Signal
423
seront limitées strictement aux milieux périodiques
dans le cas dynamique, car elles introduiraient vis-à-
vis du cas aléatoire des effets d'interférences artificiels .
Sur le plan théorique, ajoutons encore que, dans le
cas des grandes concentrations, la convergence non
uniforme des contraintes, due aux conditions mixtes
engendrées par les fissures d'interfaces, rend le pro-
blème très complexe .
D'un point de vue expérimental, si des structures
composites, auscultées dynamiquement, présentent un
amortissement primitivement décroissant au cours de
tests successifs, cela veut dire, dans le cas de faibles
concentrations (s < 0,1) et d'inclusions plus rigides que
la matrice, que des fissures se sont créées aux interfa-
ces plutôt que dans la matrice . Ceci est dû à l'analyse
des variations de la section efficace (cf . fig. 2) .
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volume 2 - n° 5 sp - 1985


Hal-Diderot

https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-00586575

Wave motion in elastic cracked composites

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