Algorithms and structures for convolutions over Galois fields

Abstract

Le calcul des convolutions cycliques dans des Corps de Galois est une partie intégrante aussi bien de la théorie et de la formulation de Codage, que de nombreuses applications de Traitement du Signal, Dans le travail présent nous introduisons une méthode pour le calcul des convolutions de ce genre, qui minimise, en théorie, la complexité des calculs de l'algorithme. Nous proposons également des structures d' ordinateur pour la réalisation efficace de 1' algorithme, et en général pour le calcul efficace des convolutions dans des Corps de Galois. I.Introduction As is well known [1-5] both cyclic and non-cyclic convolutions in Galois Fields are instrumental for the solution of several Signal Processing [2,9] and many Coding and Decoding Problems [5,6]. For instance cyclic convolutions in Galois Fields are needed for the decoding of among others, the BCH (Bose-Chaudhuri-Hohequem) and the Reed-Solomon codes [5,6]. In the following, GF(p) (where p is a prime integer) will be understood to denote the Galois Field with elements {0,1,..p-1}, and GF(pn) = GF(p,fn (x)) the Galois Field generated by the nth degree-polynomial fn(x) and composed of all polynomials with degree no greater than n and coefficients in GF(p). In GF(pn) multiplication of its element polynomials is defined modulo fn(x) and addition of the coefficients of the polynomials is defined modulo p