The reflection and the refraction of an acoustic beam by the sea f loor is discussed . The water is a perfect fluid and

the sea floor is a viscous fluid which is divided in two parts : a layer where the fluid is inhomogeneous, and a lower

half space where the fluid is homogeneous . The layer joins continuously the acoustical characteristics of the water

to Chose of the bottom .

In a first part, the reflection coefficient and the refraction coefficient of an harmonic plane wave on the sea floor

are analyzed. Then, we observe that the influence of the frequency is very important . In a second part, we show the

results for an acoustic beam which is given by a continuons sum of harmonic plane waves .L'étude décrite ici a pour but de modéliser la réflexion et la réfraction d'un faisceau acoustique par le fond de la

mer. Le fond marin est assimilé à un fluide dissipatif inhomogène dans sa partie supérieure puis homogène dans

sa partie inférieure . La couche inhomogène directement en contact avec l'eau, assimilée à un fluide parfait, relie

continûment les caractéristiques acoustiques de l'eau à celles du fond .

La première partie de l'étude porte sur les coefficients de réflexion et de réfraction d'une onde plane harmonique

par le fond marin, et met largement en évidence l'influence de l'angle d'incidence et de la fréquence sur l'amplitude

des ondes réfléchies et réfractées . La deuxième partie s'intéresse à l'émission d'un faisceau acoustique de forme

gaussienne représenté par une superposition continue d'ondes planes harmoniques 

FLORI, A.

Traitement du signal

I-Revues

FAISCEAU BORNÉ, RÉFLEXION	RÉFRACTION
Réflexion et réfraction
d'un faisceau acoustique
par une couche sédimentaire
Reflection and refraction of an acoustic beam by a sedimentary layer
Anne FLORI
SINTRA,1, avenue Aristide-Briand, 94117 Arcueil Cedex
Ingénieur d'étude au département Détection sous-marine de SINTRA depuis 1980.
RÉSUMÉ
L'étude décrite ici a pour but de modéliser la réflexion et la réfraction d'un faisceau acoustique par le fond de la
mer. Le fond marin est assimilé à un fluide dissipatif inhomogène dans sa partie supérieure puis homogène dans
sa partie inférieure . La couche inhomogène directement en contact avec l'eau, assimilée à un fluide parfait, relie
continûment les caractéristiques acoustiques de l'eau à celles du fond .
La première partie de l'étude porte sur les coefficients de réflexion et de réfraction d'une onde plane harmonique
par le fond marin, et met largement en évidence l'influence de l'angle d'incidence et de la fréquence sur l'amplitude
des ondes réfléchies et réfractées . La deuxième partie s'intéresse à l'émission d'un faisceau acoustique de forme
gaussienne représenté par une superposition continue d'ondes planes harmoniques .
MOTS CLÉS
Faisceau acoustique, réflexion, réfraction, couche inhomogène, fluide dissipatif.
SUMMARY
The reflection and the refraction of an acoustic beam by the sea f loor is discussed . The water is a perfect fluid and
the sea floor is a viscous fluid which is divided in two parts
: a layer where the fluid is inhomogeneous, and a lower
half space where the fluid is homogeneous . The layer joins continuously the acoustical characteristics of the water
to Chose of the bottom .
In a first part, the reflection coefficient and the refraction coefficient of an harmonic plane wave on the sea floor
are analyzed
. Then, we observe that the influence of the frequency is very important . In a second part, we show the
results for an acoustic beam which is given by a continuons sum of harmonic plane waves
.
KEY WORDS
Acoustic beam, reflection, refraction, inhomogeneous layer, viscous fluid.
Traitement du Signal
345
volume 2 -
n° 5 sp -1985
1. Introduction
En 1979, à l'université d'Austin, Muir et al . [1] effec-
tuent une série de mesures en laboratoires, et mettent
ainsi en évidence certains phénomènes propagatifs
se manifestant lors de la pénétration d'un faisceau
acoustique dans les sédiments marins . Ces phénomè-
nes sont loin d'être explicables par une théorie d'ondes
planes. Plusieurs travaux théoriques ont été menés
pour expliquer ces phénomènes [2 à 5] . Ils traitent le
sédiment comme un fluide homogène dissipatif et
représentent le faisceau comme une superposition
continue d'ondes planes avec un profil donné sur
l'antenne [2, 3 et 5] ou sur l'interface [4] . La plupart
de ces études aboutissent à une définition d'un angle
de réfraction du faisceau dans le sédiment en valeur
plus faible que celui obtenu pour la réfraction d'une
onde plane, et, plus rarement à un déplacement du
faisceau à l'interface lors de sa réflexion ou de sa
réfraction. Ces derniers phénomènes sont qualitative-
ment assez proches des résultats expérimentaux, mais
sont souvent beaucoup moins marqués .
Dans ce qui suit, nous nous sommes appliqués à une
représentation plus réaliste du sédiment en intro-
duisant une couche fluide inhomogène dissipative
directement en contact avec l'eau, et avons comparé
les résultats alors obtenus avec ceux que nous avions
pour un sédiment entièrement homogène [5] .
2. Position du problème et modélisation
Une onde plane harmonique se propage en direction
du fond marin sédimentaire. L'eau est assimilée à un
fluide parfait de célérité c 1 et de densité p 1 constantes .
Le sédiment est divisé en deux parties . De z = 0 à
z = d, le sédiment est un fluide inhomogène de célérité
c2 et de densité p 2 , toutes deux fonctions de la
profondeur z . De z = d à z = + oc, le sédiment est un
fluide homogène, de célérité c 3 et de densité
p3
telles
que c 3 =c 2 (d) et p
3 = P2
(d) (fig . 2 .1) .
RÉFLEXION ET RÉFRACTION D'UN FAISCEAU ACOUSTIQUE PAR UNE COUCHE SÉDIMENTAIRE
TABLE DES MATIÉRES
1. Introduction
2. Position du problème et modélisation
3. Résultats numériques
4. Réfraction et réflexion d'un faisceau
acoustique
5. Conclusion
Bibliographie
Traitement du Signal
346
Le nombre d'onde k 2 (z), lié à e2 (z) et à la pulsation
par k2 (z) _ ci/c 2 (z), et la densité P2
(z) sont choisis
tels que
J- k2 (z) = k2 (0) (1-- [i z)
	
avec [3 > 0,
(2.1)
P2 (z) =
P2
(0)/(1- v z) 2 avec v > 0.
Ces profils présentent l'avantage de conduire à une
solution analytique de l'équation d'onde [6] et sont
de plus fréquemment observés dans la réalité [7] .
L'aspect atténuateur du sédiment est introduit mathé-
matiquement en rendant k 2 (0) complexe. La partie
imaginaire de k
2
correspond à l'absorption de l'onde
et est également fonction de la profondeur z .
Sous ces hypothèses, nous pouvons écrire de façon
analytique le champ acoustique 4r
-p/
p dans les
milieux l, 2 et 3 [6 et 8] .
Dans le milieu 1,
111(x,
z)=ei(kXx-w t)( e ikiz
z+Re
-ik
i=Z)
(2 .2) et
Dans le milieu 3,
`Y 3
(x, z) = T ei
(kx
X O) t)
e i (Z -
d)
k3
(2 .3) et
k3=kz+k3
et dans le milieu 2
iii2(x,
z Z (z)
e`
(k x x-) t)
.
Pour
z<zm,
Z(z)=w 113 (AHi J3 (w)+BHiJ3
(w))
avec
et
w
1
zm =
w=
k1=kz+k1Z.
= 2 k2 (0)
(
-
~)
3/2
3f3
k(z)
=	
2
	 -Rz,
k2 (0)
1 Re (k (2 0)/k2 0
2 Z 2 ( ))
a
volume 2 - n° 5 sp -1485
z
2 k2 (O) 312
3 3
z>zm,
z (z) = w
:J 3
(CH1~3
(Iw l )+DHi1 3
(iw1))
k 2 (z) = kz + k L (z),
z
z	
(a)
1 .00
0 .90
0 .60
•
o .o
û
0 .60
0 .50
0
.50
0 .30
0.20
0.10
0 .00
0.0
10 .0
Pi
55
C(l) pz fzl
P0
20
.0
Fig. 2
.1 . - (a) Schéma des profils de célérité et de densité dans les
milieux 1, 2 et 3; (b)
Schéma du trajet d'un rayon arrivant sous
une incidence O .
H et HÇ sont les fonctions de Hankel d'ordre 1/3
de première et deuxième espèce .
Les coefficients, R, T, A, B, C et D sont déterminés
par les conditions limites, à savoir la continuité de la
pression p et de la vitesse normale
(i/op)(3p/z) à
chacune des interfaces . Pour d > Zm, nous imposons
de plus la continuité de Z et de sa dérivée première à
la traversée de la frontière z = Zm.
Pour une épaisseur de couche inhomogène nulle, les
expressions de R et T sont celles des coefficients de
réflexion et de transmission d'un dioptre constitué des
deux fluides 1 et 3 :
R (k)
1
1
p1 k3/p3 k1
p i
k
3 /p
3 k 1
T(k)=
2 .~/P1/p3
X
1
+p1k30/p3k10
3. Résultats numériques
Les résultats numériques ont été obtenus pour les
valeurs des paramètres physiques dans l'eau
p 1
-1000 kg/m,
c1=1500
m/s et pour des valeurs de
fréquences choisies parmi celles étudiées par Volovov
[8, 9], F =1, 4, 16 kHz . Le milieu 2 est toujours à
célérité variable. La célérité en z = O a pour valeur
c2 (O)=1500m/s et en z=d, c2 (d) =1600 m/s.
La célérité e 3 du fond est telle que c3 =c2 (d). L'épais-
seur d de la couche sédimentaire est de 0,31 m.
Les courbes a et b de la figure 3.1 correspondent à
une densité
p2
constante et égale à la densité p, leur
valeur est égale à 1 700 kg/m 3 .
30 .0 *60.0
30 .0 60 .0
ANGLE 0 INCIDENCE . 0(0
(b)
70 .0 	0 .0
Traitement du Signal
30.0
1
•
.60
1 .150
•
1 .20
1 .00
347
2
.00
1 .00
0 .60
0
•
.60
0
.110
I
2 .00
1 .90
1 .00
0 .20
0 .00
0.60
0 .150
0 .20
0 .00
0 .0
0 .0
6 .0
10
10 .0
10 .0
20
30.0
o 30
20 .0
volume 2 - no 5 sp -1985
30 .0
60.0 00 .0 60.0
00610 0 INC1063C(
. 00G
0 10 .0 50 .0 00 .0
ANGLE 0 INCIDENCE, 0(0
30 .0
50 .0 50.0 60 .0
ONGLE O INCIDENCE . OEO
10.0
0 .0
70 .0
30.0
00 .0
90 .0
30 .0
90 .0
90 .0
Fig. 3.1 . - Coefficients de réflexion et de transmission en fonction de
l'angle d'incidence :	, F=1 kHz ;	 , F=4 kHz;	
F=l6kHz; c2 (z)=1500
.(1+O.22z). (a) et (b) p 2=l700kg/m3.
. (c) et (dp2(z)=1000/(1-O .752z) .
Les courbes (c) et (d) correspondent à une densité p2
variant avec la profondeur z. Nous entendons par
coefficient de réflexion, le module du coefficient de
réflexion R apparaissant dans les équations des deux
premiers paragraphes. En revanche, le coefficient de
transmission sera donné par 1 + R
Sur les courbes de la figure 3 . 1, nous observons une
forte dépendance des coefficients de réflexion et de
transmission avec la fréquence, pour les fortes inciden-
ces lorsque
p2
est constant, et sur toute la gamme
d'incidence lorsque
p2 varie
.
e
iÛ)t
(4 .1)
(4 .2)
avec
P2=p3;
RÉFLEXION ET RÈFRACTON D'UN FAISCEAU ACOUSTIQUE PAR UNE COUCHE SÉDIMENTAIRE
Pour F = 1 kHz, l'épaisseur de la couche d est faible
devant la longueur d'onde, nous retrouvons alors à
peu près les résultats du dioptre entre les milieux 1
et 3
.
4. Réfraction et réflexion d'un faisceau
acoustique
Un faisceau acoustique monochromatique est engen-
dré par une antenne sur laquelle est imposée une
condition en pression p (x, O)
. Le faisceau se propage
dans une direction O .
L'antenne est située à une distance L de la couche et
a pour largeur 2 a. Le problème à résoudre s'écrit
donc mathématiquement de la façon suivante, lors-
qu'on a sous-entendu une dépendance en temps en
(L+k(z)) X2
avec
X2
P2
	 ,
(z+k) 3 =O
X3
p1=p
1 r +c
•
	
z) = -
2it
-c
-b-, z> L+d,
1 ap 1 1 P2
1
2it
1
2it
avec
L < z < L+d,
en z
Pi t Z P2 5Z
1 aP2 1 j'3
P2 J3
+D
-
+ co
- cc
i (k ;O) kh i (k ;
i (k ; O) 1'
2
(k
;
i (k ; O) 'Ji (k ;
en z=L+d,
P1Pj+Pr avec pi (x, O). donné
On cherche une solution de ce système sous la forme
d'une somme continue d'ondes planes. C'est ainsi
qu'on écrira
:
z < L,
où (k ; O) représente le spectre angulaire d'ondes
planes sur l'antenne
.
4 .1
. DISTRIBUTION DU CHAMP DE PRESSION SUR L'AN-
TENNE
L'allégement des calculs est considérable si l'on choisit
pour p (
x, O) un profil tel que (k ; O) soit analyti-
Traitement du Signal
3
4
8
que. Cette condition est réalisée pour un profil gaus-
sien tel que :
(4 .3) P i
(x, O) =Po e 112 (x2/a2) ejx
avec k=k 1 sin8 1 ,
alors,
(4.4) ff__ / Ee 2 / 2) (k-k)2.
4.2. EXPRESSIONS DES CHAMPS DE PRESSION LORSQUE
d=O
Supposons que l'épaisseur de la couche soit nulle . Les
expressions de X i et sont alors les suivantes :
volume 2 • n° 5 sp -1985
+œ
(k ; O) (exp (ik i z)
k) exp (ik 1 L) exp ( - ik 1 (z- L)))
(4.5) X exp (ik x) dk,
3 (x, z)=---
xi
(k ;O)T(k)
lit J- cc
x exp i ' L) exp (ik 3 (z - L)) exp (ik x) dk,
Où R (k) et T (k) sont donnés par les expressions
(2 .5) .
4.3. RÉSULTATS NUMÉRIQUES
L'algorithme utilisé pour le calcul des champs inci-
dent, réfléchi et transmis est la transformée de Fourier
rapide (FFT) . Le nombre de points d'échantillonnage
des spectres peut atteindre 8192 sur l'intervalle
[-(5/4)(1/k1), (5/4)(1/k1)[ .
Les courbes de la figure 4 .1 correspondent au cas
d = O, c'est-à-dire au passage discontinu des caractéris-
tiques physiques de l'eau à celles du sédiment . En
revanche, les courbes de la figure 4 .2 sont obtenues
pour une épaisseur de couche d = 0,3 1 m ' 2 . L'inci-
dence O est de 70° dans les deux cas .
4.3 .1. Cas d=O
•
z)
• z)
La directivité de l'antenne a une importance considéra-
ble sur le comportement propagatif du faisceau acous-
tique . Plus l'antenne est directive, plus le comporte-
ment est proche de celui d'une onde plane : la direc-
tion de propagation du faisceau transmis près de
l'interface est conservée jusqu'au champ lointain, et
est égale à celle définie par l'angle de transmission
donné par la loi de Snell-Descartes adaptée aux
milieux dissipatifs. Lorsque l'antenne est peu directive
(figure 4. 1), la direction de propagation du faisceau
transmis dépend de z pour une région proche de
l'interface et la notion d'angle de transmission n'a
de sens qu'en champ lointain . Ce pseudo-angle de
transmission est alors bien inférieur à celui de l'onde
plane, cette différence pouvant atteindre et
dépasser 10° .
Dè plus, il existe un déplacement du maximum de
pression à la transmission et à la réflexion d'autant
~ri∎
.~~ ~~ I~~~ r~~n~~~~~~~ii~~~~~~.~~ ~~ •~..∎r∎∎~~~ü/ii~~il~~ilii1111~
.1
- -
aipiMÏ
	
-
IH1111III1IullIuI1IIIH1IgII I
r'f 1 I~f rifl' l frli 6111
II
I t ~I ~ I! ;III
p li l, ~ I ~ I III
-20 o .
-z
point à
point à
CAU
BORP9É,
RFLEXIO
'o .
- 5 dB
- 10 dB
X point à -15dB
® point à -20dB
20 .
k a = 84
. , k L = 209 .
1 1
0 1 = 70° , c = . 075 dB/~\
Fig. 4.1 .
Traitement du Signal
MODULE 0E PRESSION TRANSMISE
MODULE 0E PRESSION
REFLECHIE
30 .
34
9
20 .
30 . 10 . 50 .
'10 . 50 .
volume 2 - n° 5 sp -1985
~~I f~ ) ~ I
Li ii
60 . 70 .
60 .
(b)
Module du champ de pression transmise et
incidente plus réfléchie dans le
cas d =
I
À
x-Ltg
80 .
1
I
;I~
I!
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L L±t IL!H L
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LI.
iii
L L It ~ IL UJ.J Li. Li_u. LLLL U. .LLLLLU.
III
J
JLLJJLLLL
RÉFLEXION ET RÉFRACTION D'UN FAISCEAU ACOUSTIQUE PAR UNE COUCHE SÈDIMENTAIRE
MODULE 0E PRESSION TRANSMISE
MODULE 0E PRESSION REFLECHIE
1000 ./(1-0 .752z)
2
C (z) = 1500(l+0 .22z)
2
Fig. 4 .2
p (z)
Traitement du Signal
(a)
(b)
Module du champ de pression transmise et incidente plus réfléchie dans le
cas d ' 2X
1
I point à - 5dB
À point -10dB
X point à - 15dB
. point à -20dB
ka=84 .
	
, kL= 209
.
1 1
e
= 70°
, c
= 0 .75 dB/
350
volume 2 -n°5sp-1985
plus grand que l'antenne est peu directive . Ce déplace-
ment est plus important en réflexion qu'en transmis-
sion .
4 .3 .2. Cas dO
En présence d'une couche stratifiée entre eau et sédi-
ment homogène (figure 4.2), nous observons le dépla-
cernent très important du maximum de pression à la
réflexion qui provient de la courbure complète des
rayons dans la couche pour tous ceux arrivant sous
une incidence supérieure à 68°5 .
Le champ de pression dans la partie homogène du
sédiment, c'est-à-dire dans la région telle que z/? 1 > 2,
présente toutes les caractéristiques de celui obtenu
pour le cas d = O .
5. Conclusion
Un des paramètres également très importants dans
les problèmes de propagation des faisceaux acousti-
ques est la forme du faisceau au niveau de l'antenne .
En particulier, la présence de lobes secondaires dans
la directivité de l'antenne, obtenue pour un faisceau
en créneau, renvoie la ligne des maxima de pression
dans le sédiment, en arrière de l'émission .
Une des suites souhaitables de cette étude serait la
réalisation d'un montage expérimental destiné à rele-
ver les niveaux de pression dans le sédiment et dans
l'eau non seulement dans la direction de l'émission,
mais également dans une direction quasi normale à
l'antenne. De plus, un soin particulier devrait être
apporté à la bonne connaissance du profil du faisceau
emis .
FAISCEAU BORNÉ
Traitement du Signal
ÉFLEXIO
35 1
BIBLIOGRAPHIE
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volume 2 - no 5 sp - 1985


Reflection and refraction of an acoustic beam by a sedimentary layer

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