Even the best oscillators exhibit random fluctuations of their instantaneous frequency . A usual measurement method is the Alla n

variance which relies on the difference between two successive instantaneous frequency samples . For frequency fluctuations wit h

power spectrum of the kind of 1/f or 1/f2 this variance is well suited . However for a faster increase near the zero frequency,

it is divergent . With the variance of Picinbono, the idea is to use a second order difference, based on three measurements . Thi s

yields a spectral shaping which can cancel a power spectrum divergence of the kind 1/f3 or 1/f4 . Hence a very accurate tool

to analyse the various noise sources of an oscillator . We have compared these two variances, plus a third one that is intended t o

remove a frequency drift, in the case of a highly stable quartz oscillator at 10 MHz . The variance of B . Picinbono turns out to b e

indeed more efficient to reduce very low components of the frequency noise, as well as certain types of nonstationarities (drift an d

random walk) .Même le meilleur oscillateur présente du bruit de phase et de fréquence dû à des fluctuations aléatoires provenant de ses composants. Pour les caractériser expérimentalement la variance d'Allan est une méthode usuelle basée sur la différence entre deux échantillons successifs de la fréquence instantanée. Elle fonctionne bien pour les bruits dont le spectre est de type 1/f ou 1/f2. Mais elle diverge pour une croissance plus rapide près de la porteuse. La variance de B. Picinbono, quant à elle, est basée sur trois échantillons (différence du second ordre) et la pondération spectrale correspondante est adaptée à des divergences en 1/f3 ou 1/f4. C'est donc un excellent outil d'analyse des différentes sources de bruit d'un oscillateur. Ces deux variances, ainsi qu'une troisième prévue pour supprimer une dérive de fréquence, ont été comparées pour un oscillateur à quartz très stable à 10Mhz. Effectivement, la variance de B. Picinbono s'avère la plus efficace pour réduire les composantes très basses du bruit de fréquence et ses non stationnarités telles que dérive et marche au hasard

GAGNEPAIN (J.-J.)

Traitement du signal

I-Revues

La variance de B . Picinbono
The variance of B . Pincibono
par Jean-Jacques GAGNEPAI N
Centre National de la Recherche Scientifique
résumé et mots clés
Même le meilleur oscillateur présente du bruit de phase et de fréquence dû à des fluctuations aléatoires provenant de se s
composants . Pour les caractériser expérimentalement la variance d'Allan est une méthode usuelle basée sur la différence entre
deux échantillons successifs de la fréquence instantanée . Elle fonctionne bien pour les bruits dont le spectre est de type 1/f
ou 1/f2 . Mais elle diverge pour une croissance plus rapide près de la porteuse . La variance de B . Picinbono, quant à elle,
est basée sur trois échantillons (différence du second ordre) et la pondération spectrale correspondante est adaptée à de s
divergences en 1/ f 3 ou 1/f4 . C'est donc un excellent outil d'analyse des différentes sources de bruit d'un oscillateur . Ces deu x
variances, ainsi qu'une troisième prévue pour supprimer une dérive de fréquence, ont été comparées pour un oscillateur à
quartz très stable à 10Mhz . Effectivement, la variance de B. Picinbono s'avère la plus efficace pour réduire les composante s
très basses du bruit de fréquence et ses non stationnarités telles que dérive et marche au hasard .
Oscillateur, bruit et fluctuations de phase et de fréquence, variance d'Allan, variance de B . Picinbono, dérive et marche aléatoire
de fréquence, spectres en 1/f, 1/f2 , 1/f 3 ,1/ f 4 .
abstract and key words
Even the best oscillators exhibit random fluctuations of their instantaneous frequency . A usual measurement method is the Alla n
variance which relies on the difference between two successive instantaneous frequency samples . For frequency fluctuations wit h
power spectrum of the kind of 1/f or 1/f2 this variance is well suited . However for a faster increase near the zero frequency,
it is divergent . With the variance of Picinbono, the idea is to use a second order difference, based on three measurements . Thi s
yields a spectral shaping which can cancel a power spectrum divergence of the kind 1/f3 or 1/f4 . Hence a very accurate too l
to analyse the various noise sources of an oscillator . We have compared these two variances, plus a third one that is intended t o
remove a frequency drift, in the case of a highly stable quartz oscillator at 10 MHz . The variance of B . Picinbono turns out to b e
indeed more efficient to reduce very low components of the frequency noise, as well as certain types of nonstationarities (drift an d
random walk) .
Oscillator, noise and fluctuations of phase and frequency, Allan variance, Picinbono variance, frequency drift and random walk ,
Flicker noise .
1 . introductio n
Les étalons de fréquence, oscillateurs à quartz, horloges atomi-
ques, oscillateurs micro-ondes ont une stabilité qui est limitée par
différentes sources de bruit et dérives qui affectent leur fréquenc e
et leur phase . Les travaux menés dans ce domaine répondent à
un double objectif. L'un est d'améliorer les performances de ce s
oscillateurs en réduisant les causes d'instabilité et leurs effets .
L'autre est de mieux identifier les sources de bruit .
Les instabilités du signal délivré par l'oscillateur sont carac-
térisées dans le domaine fréquenciel par analyse de Fourie r
ou dans le domaine temporel à l'aide de variances . Différent s
outils mathématiques ont ainsi été définis, mais il a fallu auss i
normaliser ces outils afin de pouvoir comparer les résultats de s
mesures effectuées dans des laboratoires et dans des pays diffé-
rents . C'est ainsi que s'est généralisée la variance dite d'Allan .
Cependant cette variance diverge pour certains bruits et ne perme t
pas une analyse fine de toutes les composantes . La variance, à
trois échantillons, proposée en 1976 par Bernard Picinbono fut u n
réel progrès car elle permit d'éliminer certaines divergences et de
La variance de B . Picinbon o
réduire l'influence des phénomènes non stationnaires . Elle connu t
donc un succès certain pour la caractérisation des oscillateurs d e
grande stabilité .
2. le signal
de l'oscillateu r
Le signal idéal, c'est-à-dire sans bruit, pourrait être représenté par
une pure sinusoïde .
V(t) = Vo sin 2irvot
	
(1 )
Ou Vo et vo représentent l'amplitude et la fréquence de ce signal .
En réalité les sources de bruit et de dérive affectent l'amplitud e
et la phase . Le signal réel est alors représenté par :
V(t) = Vo [1 + a(t)] sin [27rvot + ç(t )]
	
(2 )
où a(t) et 0(t) sont des grandeurs aléatoires correspondant au x
fluctuations d'amplitude et de phase, encore appelées bruits .
La fréquence instantanée v(t) est, à 27r près, la dérivée par rapport
au temps de la phase totale, soit :
v(t) = vo + Ov(t)
avec
Z v(t) = 1 dO(t)
27r dt
La variation relative instantanée de fréquence est notée y(t) :
Av(t )
3. mesure des
fluctuations de phase
et de fréquence
Le modèle le plus général d'un oscillateur est celui de la figure 1 ,
qui comprend d'une part une boucle d'oscillation composée d'u n
résonateur et d'un dispositif d'entretien, et d'autre part d'u n
amplificateur d'isolation et de sortie .
Ces sources de bruit peuvent être classées en bruits internes (dan s
la boucle d'oscillation) et bruits externes (dans l'amplificateur d e
sortie). Une distinction est également faite entre bruit additif qui
provient des sources de bruit blanc (les amplificateurs) et brui t
paramétrique qui est une modulation des éléments fixant la phas e
et la fréquence de l'oscillateur .
Amplificateur Amplificateur
- Sortie
résonateur
bruit interne
	
bruit extern e
Figure 1. — Schéma général d'un oscillateur et sources de bruit.
oscillateur 1
	
Amplificateur
Figure 2. — Système de mesure à boucle d'asservissement de phase.
La mesure de la stabilité de fréquence ou de la pureté spectrale
d'un oscillateur est faite par comparaison avec un second oscil-
lateur (en général identique au premier) à l'aide du système de
démodulation de la figure 2.
Ce système permet d' asservir en fréquence l'un des oscillateurs
sur l'autre à l'aide d'un mélangeur doublement équilibré . Le si-
gnal de sortie est proportionnel aux fluctuations de la différenc e
de phase des oscillateurs asservis, en dehors de la bande passante
de l'asservissement . Dans la bande passante la sortie est propor-
tionnelle aux fluctuations de fréquence . L'intérêt de cette méthode
est de rendre le signal obtenu après démodulation stationnaire .
4. caractérisation dan s
le domaine spectra l
Dans l'hypothèse d'un signal de phase 0(t) stationnaire, la
fonction cl' autocorrélation est indépendante du temps t et s'écrit :
1
	
t+ z'
Ré(T)
	
m T f
	
O(t')c/)(t' +T)dt'
La densité spectrale bilatérale Sg (f) s'en déduit par transforma-
tion de Fourier :
SW) = f Rd( T )e-â2 ~ rf~rdTcc
( t ) = vo
(3)
(4)
(5)
oscillateur 2
(6 )
(7 )
478
	
Traitement du Signal – Volume 15 - n°6 – Spécial 1998
La variance de B. Picinbon o
D'un point de vue pratique, l'utilisation du spectre unilatéral
S0(f) est préférable (en raison du phénomène de repliement d û
au montage de la figure 2) :
Sé(f) = 2S pour 0 < f < oo
	
(8 )
De la même façon peut être définie la densité spectrale des
fluctuations relatives de fréquence :fSy (f) = 2 Ry(T)e -i2lrfT flt
Fréquence et phase étant liées, on en déduit facilement que :
sy(f) = ( L) 2 su)
	
( 10 )
Les densités spectrales qui viennent d'être présentées sont de s
concepts mathématiques qui nécessitent une plage de fréquenc e
d'analyse infinie (ou pour la fonction d' autocorrélation un temp s
infini), ce qui n'est pas réalisable . En pratique, ce n'est donc
qu'une estimation de ces fonctions qui est obtenue .
5. caractérisation
dans le domaine
temporel : variances
Toute mesure d'une grandeur ne peut se faire que sur un certain
laps de temps . Par conséquent, le résultat de la mesure correspon d
à une moyenne obtenue sur un intervalle de temps T à un instant t k ;
ainsi le résultat d'une mesure de la variation relative instantanée
de fréquence y(t) sera l'échantillon :
t/+T
~k
	
y(t)dt
	
(11 )
T
f
U
On montre à partir de (4) la relation :
Yk = ~ltk +
T) —O(tk )
2irv0 T
La répétition de la mesure donne un ensemble d'échantillon s
ÿk de valeurs aléatoires . Le calcul de leurs moments statistique s
permet de caractériser la stabilité de l'oscillateur dans le domain e
temporel .
5 .1 . valeur moyenne
Elle est définie au sens de moyenne d'ensemble (notée <>) :
N
<yk>=
Où N est le nombre d'échantillons .
5 .2. variance vraie
I2 ( T )yk — y k 2
La variance vraie, au sens mathématique, correspond à un nombr e
N d'échantillons infini . Elle ne peut donc être atteinte expérimen -
talement et seule une estimation correspondant à une valeur finie
de N sera obtenue lors d'une série de mesures .
La vraie variance 1(T) peut être exprimée en fonction de l'auto -
corrélation de la phase R 0 (T) (en utilisant 4) si les conditions de
stationnarité et d'ergodicité sont remplies .
I2 ( T )
	
Ro(T )] (15 )
27r2v°2T2
[Ro(0) —
En utilisant la relation inverse de (7), on obtient :
(16 )°O
	
sin 7rfT
	
2
I2 ( T )
	
sy(f)
	
)
	
df= f
	
(
	
fr
Cette relation montre que la variance vraie peut-être calculée à
partir de la densité spectrale en utilisant une fonction de transfert
I H (f)J 2 =
(sin 7rfT) 2
7rfr /I
Remarque : Lorsque f --t 0, cette fonction de transfert ten d
vers 1, et par conséquent les composantes basses fréquences d u
spectre sont entièrement prises en compte ; en particulier 12 (7 )
diverge pour un bruit en 1/f . La variance vraie n'est donc pa s
appropriée à la caractérisation d'oscillateurs réels, qui présenten t
de tels spectres .
5.3. variance à N échantillons
Elle est définie à partir d'un ensemble fini de N valeurs de Di ;
(k = 1, 2 . . . N), mesurées sur des intervalles de temps T, avec
une période T de répétition des mesures (figure 3) .
Première définition :
0-ly(N , T, T )
Cette quantité est elle-même une variable aléatoire puisque N es t
fini . On peut dire qu'elle n'est pas déviée si :
< Qiy (N,T,T) >= I2 (T )
	
(18 )
T
t
T
	
T
	
T
	
T
Figure 3 . — Séquence de prise d'échantillons T = T+ temps mort.
( 9 )
(12)
(14)
j=1 ) 2
(17 )
y (13)
k=l
Traitement du Signal — Volume 15 - n°6 — Spécial 1998
	
479
La variance de B. Picinbon o
Ceci n'est pas vrai dans le cas du bruit blanc . On montre en
particulier que pour ce bruit et pour T = T, que :
< y (N,T,T) >= (1 — N) 12 (T)
	
(19 )
Pour cette raison, une seconde définition a été proposée :
Cette fonction correspond à la séquence de prise d'échantillon s
telle qu'elle apparaît dans la définition de la variance d'Allan .
5.5. variance de Hadamard
N,T,T) >=
N
—
N
	
1(yk
k= 1
qui conduit bien à < Q 2 y >= 12 (T) .
5 .4. variance d'Allan ou variance
à deux échantillons
N
) 2
(20)
j=1
Les considérations précédentes de fonctions de transfert on t
conduit au développement de la variance de Hadamard pou r
effectuer des analyses spectrales aux très faibles fréquences de
Fourier .
Cette variance correspond à une séquence de prise de N échantil -
lons représentée sur la figure 5 .
Le calcul de la variance s'effectuant suivant la relation :
aH(N, T, T ) _ < (w — . + . 4 + .. — ..)2 > ( 24)
Dans un souci de normalisation permettant la comparaison d e
mesures différentes, le sous comité IEEE pour la stabilité d e
fréquence a proposé d'utiliser une variance à deux échantillon s
(N = 2) avec une prise d'échantillon sans temps mort (T = T) .
Définie à partir de la relation (20), cette variance est souven t
appelée « variance d' Affan » .
De façon générale, pour N échantillons :
01(N,T,T) = Sy(f)I Hx(f)12df
0
Avec :
(25 )
! HH (
f)1
2 = sin 7rfT
2
sin N7rfT 2(si 	
~
(si 	
7ffT ~ (26 )
<Qy(2,7,T)>_< (21 )
2
ÿk —
k=1
En notation abrégée elle est écrite o (T) .
Elle prend la forme simple :
0-2 ( T ) = 2 < ( Yk+l — k) 2 >
Comme pour le cas de la variance vraie, il est possible de relie r
la variance d'Atlan à la densité spectrale, on obtient :
Cette fonction de transfert présente un lobe central beaucoup plu s
étroit que celui de la variance d'Allan, la largeur décroissant en
1/N . Quelques complications proviennent de la présence de s
lobes secondaires qui devront être réduits par pondération de s
échantillons ou par filtrage .
En pratique, de la mesure de cette variance est déduite un e
estimation (—) de la pureté spectrale :
(22 )
ay(T) 2 J ~ Sy(f)
sln41ff
2
0
	
( 7 fT ) Sy(f) N°
-H2
	
( 27)(23 )
La fonction de transfert est différente de la précédente et est tell e
que l'intégrale converge lorsque f --' 0 pour la plupart des bruits
habituellement rencontrés .
On remarquera que cette fonction de transfert apparaît comme l a
transformée de Fourier de la fonction h(t) de la figure 4 .
h(t)
1
iVf
Cette méthode permet d'effectuer des analyses spectrales avec
une largeur équivalente de filtre de l'ordre de 0 .001 Hz ou mêm e
inférieure .
h(t)
0
Figure 4. — Prise d'échantillons de la variance d'Allan.
>-
t
Figure 5. — Prise d'échantillons de la variance de Hadamard (N = 6) .
t
480
	
Traitement du Signal — Volume 15 - n°6 — Spécial 1998
La variance de B . Picinbon o
5.6. variance de Picinbon o
Ou variance modifiée à trois échantillons, qui a été proposée par
Picinbono et Boileau. Elle consiste à prendre trois échantillon s
adjacents (sans temps mort entre les échantillons), suivant l a
relation :
la compenser, et presque toutes les tentatives de modélisation s e
sont révélées jusqu'à présent infructueuses .
Une dérive linéaire, représentée par y(t) = dt conduit à :
d
°-9(T) = ~T (30 )
1
c'est-à-dire à une loi de dépendance de ~y (T) proportionnelle à T .
Ey(T) = 9 2 >
	
(28 )< (2y k+1 — ~k — yk+2) Cette dérive peut être supprimée en prenant, pour le calcul de l a
variance, des échantillons suivant la relation :
La variance Picinbono a le grand avantage de converger mêm e
pour les bruits présentant des spectres à pente importante tel s
que les bruits en f—3 et f—4 . Elle conduit pour les mêmes bruit s
aux mêmes lois de dépendance en T que la variance d'Allan . L e
rapport Ey (T)/a y (T) est de l'ordre de 0,9 pour le bruit blanc d e
phase, et de l'ordre de 0,6 pour la marche aléatoire de fréquence .
La bande passante du système de mesure doit aussi être spécifiée .
Cette variance, en raison de sa structure, est relativement efficac e
pour éliminer l'influence des composants très basse fréquence de s
fluctuations et donc la dérive, que cette dérive soit parfaitemen t
déterministe ou encore aléatoire ; elle est aussi efficace dans le ca s
de composantes périodiques ; sa fonction de transfert équivalente
correspond à un filtre passe-bande centré à la fréquence 1/2 T
suivant la relation :
=
	
co
Ey(T)
	
9 ~ Sy(f)s
6
(TfT)2
dÎ
	
(29 )
La fonction de transfert est représentée par la figure 6 .
5.7. variance d'Allan avec suppression
de dérive
La dérive est un phénomène déterministe, mais qui n'est pra-
tiquement jamais prévisible, ce qui empêche toute possibilité de
Figure 6 . — Fonction de transfert de la variance de Picinbono.
1
0-yder .ret.
(
( T )
= 2 < (y k+l — yk — dT) 2 >
où d est la pente de la dérive, calculée préalablement .
On remarquera que la méthode est rigoureuse si la dérive es t
parfaitement linéaire . Par contre, sil' évolution est non monotone ,
en particulier si des variations lentes de fréquence dues par
exemple à la température se superposent, la méthode s'avèr e
beaucoup moins efficace .
5 .8 . comparaison
de la variance de Picinbon o
et de la variance d'Alla n
Les trois variances, de Picinbono et d'Allan avec et sans sup -
pression de dérives ont été utilisées pour mesurer la stabilité d'u n
même oscillateur (oscillateur à quartz à 10 MHz) de grande sta-
bilité . Ces résultats obtenus à l'aide de ces trois méthodes sont
présentées sur la figure 6 .
Les trois variances donnent des résultats voisins sur les temps le s
plus courts qui correspondent à la prépondérance du bruit blanc
de phase (rapport de 0,9) et s'écartent sur les temps plus longs o u
interviennent la marche aléatoire de fréquence et la dérive .
Le rapport entre Picinbono et Allan est donné, pour les principau x
types de bruits en h a f rencontrés dans les oscillateurs, dans le
tableau I.
p variance d'Ahan
, variance d'Allan avec suppression de dérive
D variance de Picinbon o
tï O
eI
u.. Ch
	
Q
	
i= :
O
o
	
D
	
f.1
f
(31 )
U
10 0 .1
	
1
	
10
	
10 0
Figure 7. — Comparaison des variances de Picinbono et d'Allan.
Traitement du Signal — Volume 15 - n°6 — Spécial 1 998
	
48 1
La variance de B. Picinbon o
Tableau 1 . — Relation entre les variances d'Allan et de Picinbono pour les différents spectres de bruit.
Bruit Sy (f) Variance de Picinbono
Eÿ(ß )
Variance d'Allan
2( T )ay
Rapport
Ey(T)Iuy(~)
h—4f —4
44
90n4h —4 r3 diverge
h_ 3f—3 271n3 — 331n2 diverge
9
	
n Z h_ 3 z 2
Marche
aléatoire de
fréquence
h_ 2f—2 9n2h_ 2,r 3n2h_2r 0,5 8
Flicker de
fréquence
_ 1
h—t f
8 ln 2 — 3 ln 3
h_ 1 2h_ln 21
0,74
3
Blanc de
fréquence
ho ho/3r ho/2r
0,82
Flikerde
phase
hI f
Filtre à fn
Sh i hi
	
(1 +31n2nfh r) 0,8 5(9+ln Irfn) 9n2í2 4n 2 í2
Blanc de
phase
h2 f -2
Filtre à fn
5h2fh 3h2fh 0,8 6
4ir 2i 29n 2í2
6. conclusion
En fait la variance de Picinbono peut être considérée comme
une méthode de mesure par différence du second ordre, qui ser a
donc plus efficace pour réduire les composantes non stationnaire s
du bruit. Elle présente aussi l'avantage de ne pas diverger, à l a
différence de la variance d'Allan, pour les bruits de plus basses
fréquences, tels que ceux en f—4 et f—3 . Pour ces raisons, elle est
un excellent outil d'analyse des différentes sources de bruit d'un
oscillateur.
BIBLIOGRAPHI E
[1] J . Rutman, «Characterization of phase and frequency instabilities in precisio n
frequency sources : fifteen years of progress», Proc . IEEE. Vol . 66, n°9, 1978 .
[2] F . Boisleau, B . Picinbono, «Statiscal study of phase fluctuations and oscillato r
stability», IEEE. Trans. Instr. Meas . IM-25, n° 1, 1976.
[3] Chronos, «La mesure de la fréquence des oscillateurs», Coll . Technique et
Scientifique des Telecom, Masson, Paris, 1991 .
Manuscrit reçu le 1 mars 1999.
L' AUTEU R
Jean-Jacques GAGNEPAI N
Assistant (1964-73) . Maître assistant (1973-75) à
l'Ecole nationale supérieure de chronométrie et d e
micromécanique de Besançon, Visiting Scientist a u
National Bureu of Standards à Boulder (Etats-Unis)
(1975-76), Directeur de laboratoire de recherch e
(1978-88), Directeur de recherche (depuis 1988) a u
Centre national de la recherche scientifique (CNRS),
Directeur de laboratoire de physique et métrologi e
des oscillateurs à Besançon (1978-92) . Responsabl e
de l'Insitut des microtechniques de Franche-Comté
(1989-92) Président du Centre technique de l'industrie horlogère (1989-95) .
Directeur scientifique du département des sciences pour l'ingénieur du CNR S
(depuis 1991) . Nombreux travaux sur la piezoélectricité, les phénomènes no n
linéaires dans les résonateurs à quartz, sur les oscillateurs et les étalons d e
fréquence et de temps, la physique des ondes . Chevalier de l'ordre national d u
Mérite . Médaille d'or de la Société d'encouragement de l'industrie national e
(1991) . Cady award (1995) .
482
	
Traitement du Signal — Volume 15 - n°6 — Spécial 199 8


The variance of B. Pincibono

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