Among the différent digital signal processing techniques based on modelization, the Prony's method is particularly suited to vibration analysis. We describe a straightforward application of this method to the analysis of the damped

oscillations of an electrical transmission line. We emphasize the use of a modern spectral analysis technique in the industrial field.Les méthodes de traitement du signal fondées sur une modélisation, la méthode de Prony est particulièrement adaptée aux signaux de vibration. Présentation d'une application directe à l'analyse d'un signal transitoire d'oscillation de ligne électrique. Application industrielle des méthodes modernes d'analyse spectral

GARREAU (D.)

GEORGEL (B.)

Traitement du signal

I-Revues

APPLICATIONS
La méthode de Prony
en analyse de vibrations
The Prony's method for vibration analysis
D. GARREAU
Électricité de France, Direction des Études et Recherches, 6, quai Watier, 78400
Chatou.
Dominique Garreau, ancien élève de l'ENSEEIHT de Toulouse, spécialiste de mécanique des fluides, a consacré sa
thèse de Docteur-Ingénieur à l'étude des vibrations dans les turbines à vapeur . Ingénieur depuis 1985 à la Direction
des Études et Recherches d'EDF, il travaille sur les méthodes de détection et d'analyse non stationnaire des signaux,
en vue d'applications à la Surveillance, au Diagnostic et à la Maintenance préventive des composants de centrale
électrique .
B. GEORGEL
Électricité de France, Direction des Études et Recherches, 6, quai Watier, 78400
Chatou .
Bruno Georgel, ancien élève de l'École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris, diplômé d'études approfondies
en Électronique et Instrumentation, travaille depuis de nombreuses années dans le
Traitement des Signaux, en
particulier pour les applications aux mesures, aux essais et aux contrôles de matériaux . Il est Responsable du Groupe
d'Étude « Méthodes Générales », à la Direction des Études et Recherches d'EDF et auteur de nombreuses publica-
tions scientifiques . Il enseigne dans le cadre du stage « Techniques Modernes de Traitement du Signal et Applications
Industrielles » à l'École Centrale de Paris. Bruno Georgel est aussi Président du Club «
Traitement du Signal » de la
Société des Electriciens et Électroniciens et membre du Comité de Lecture de la revue TS .
RÉSUMÉ
Parmi les méthodes de Traitement du Signal fondées sur une modélisation, la méthode de Prony est particulière-
ment adaptée aux signaux de vibration. Nous en présentons une application directe à l'analyse d'un signal
transitoire d'oscillation de ligne électrique . Le but de cette communication est de mettre l'accent sur l'application
industrielle des méthodes modernes d'analyse spectrale .
MOTS CLÉS
Prony, signal, modèle, vibration, spectre, mode, analyse spectrale paramétrique .
SUMMARY
Among the différent digital signal processing techniques based on modelization, the Prony's method is particularly
suited to vibration analysis. We describe a straightforward application of this method to the analysis of the damped
oscillations of an electrical transmission line. We emphasize the use of a modern spectral analysis technique in the
industrial field .
KEY WORDS
Prony, signal, model, vibration, spectrum, mode, parametric spectrum analysis.
Traitement du Signal
235
volume 3 - n° 4-5 - 1986
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
1. Choix du modèle d'un signal de vibration
2. Rappel de la méthode
3. Application à l'oscillation d'une ligne
électrique
Conclusion
Bibliographie
Abréviations
DSE, Densité Spectrale d'Énergie .
TFR, Transformée de Fourier Rapide .
estimée d'une grandeur.
Introduction
Dans le but d'améliorer le traitement des signaux
provenant d'essais en centrale électrique, nous
avons mis en eeuvre certains techniques nouvelles
d'analyse [1] .
Il s'agit des méthodes par modélisation qui, bien
qu'anciennes, ont connu un essor important surtout
depuis 15 ans . A cela deux raisons
1 ° l'évolution des moyens de calcul ;
2° les limites de l'analyse par le classique périodo-
gramme basé sur la transformée de Fourier discrète .
Ces techniques d'analyse ont, bien sûr, considé-
rablement évolué ; elles constituent aujourd'hui le sujet
de nombreux articles dans la littérature spécialisée .
Elles sont encore peu utilisées dans le traitement des
signaux industriels. Néanmoins, elles se répandent par
l'intermédiaire de l'Analyse Modale Expérimentale
[2, 4] .
Dans un premier temps, nous justifions le choix de
la méthode de Prony pour l'étude des signaux de
vibration. Cette méthode a fait l'objet par ailleurs
de plusieurs applications [3, 5] . Après l'exposé de
l'algorithme proprement dit, nous présentons des
résultats obtenus sur un signal transitoire dû aux
vibrations d'une ligne électrique aérienne . L'accent est
mis sur les difficultés rencontrées et sur les solutions
qui ont été apportées.
1 . Choix du modèle d'un signal de vibration
"Modéliser un signal x (t)" consiste à chercher un
système S et une entrée u (t) (fig . 1) tels que l'erreur
entre x (t) et x (t) soit la plus faible possible .
Traitement du Signal
236
u( t)
n mod
m=1
Fig. 1
Le système supposé linéaire, invariant dans le temps,
est constitué, dans la méthode de Prony, d'une somme
de sous-systèmes du second ordre non couplés. Ceci
traduit bien la présence dans les spectres de vibration
d'un nombre fini de pics importants correspondant
aux fréquences propres de la structure .
Le choix du type d'entrée est délicat car on ne dispose
pas des signaux réels ; il est rare en effet de connaître
précisément les sources de vibration d'une structure .
On opte ici pour une entrée unique sous la forme
d'une impulsion .
La méthode de Prony permet de décomposer, dans
le domaine temporel, le signal x (t) en une somme de
« modes »
(1)
	
Cx(t)= Am cos (2xfm t+Am)e
°mt
avec : fm : m-ième fréquence propre; Am : m-ième
amplitude; 8m : m-ième phase;
6m
: m-ième amortisse-
ment (a.< 0) .
Remarquons qu'ici le terme «mode » a un sens plus
restreint qu'en analyse modale, puisqu'il n'inclut pas
la notion de déformée spatiale . Il s'agit d'une analyse
en un point d'une structure dans laquelle on cherche
les caractéristiques modales (fm, Am, 8m , 6m) sans
utiliser l'information supplémentaire qu'apporteraient
les autres points.
2. Rappel de la méthode
Sous forme échantillonnée et complexe, notre modèle
s'écrit [6]
P -~
(2) [xn= ~,
bm W,, n=0, . . ., N-1J
m=1
signal modélisé à l'ordre p
bm EC; bm=Am exp
(18m)
Wm EC; Wm
=
exp(6
m+J 2xfm)
.At
.
Toute la difficulté consiste à trouver les coefficients
Am,
9m,
6m,
fm , p qui rendent l'erreur minimale
N-1
E_
I xn
_x
nl
2
n=0
Ce problème est difficile, car non linéaire. Pour le
résoudre, on peut utiliser des méthodes itératives du
calcul numérique classique .
n
x t
volume 3 - n° 4-5 - 1986
Mais une démarche différente est possible . Elle
consiste à diviser la difficulté en trois étapes : deux
résolutions de systèmes linéaires et une recherche des
racines d'un polynôme (où est reportée la non-
linéarité du problème) .
On remarque que x„ donné par (2) est solution de
P
[=_- xn
	
E am xn -m]
M=1
P P
P(Z) _ E a, ZP-i=
fl (Z- Wk)
i=o
k=1
où les Wk, pôles de P ne sont autres que ceux définis
dans la formule (2) .
En effet
P P P
E L,, am xn- m = am b,Wl
m=o m=o 1=1
P P
_ b
p
a
m
W"
-m
Z
1=1 m=o
P P
_ b,WT
-P
am WP
-m
t=1 m=o
P(WI)
La première étape consiste donc à résoudre (3), pour
n variant de 0 âN - 1 (N ») .
La méthode utilise le critère des moindres carrés .
Le système matriciel s'écrit
(5) A= -1 . C
avec : A=(a1, a2 , . . , aP )T , vecteur inconnu; Cs
matrice de covariance estimée de terme général
N-p-1
L xi+k xj+k
k=1
C ;;
C : première ligne de cette matrice .
Formellement la résolution de ce système revient au
calcul des paramètres d'un modèle auto-régressif .
Les .Wm de l'équation (2) sont déterminés au cours de
la seconde étape, en recherchant les racines du poly-
nôme P(Z) (4) .
Il reste enfin à déterminer les coefficients bm. C'est
l'objet de la troisième étape au cours de laquelle on
inverse le système linéaire suivant (matrice de an
der Monde)
1 1 1
I W
W1 W2 WP b1 xo
i i
Wp
x b2 = x1
WN-1
W2
-1 . . . Wp -1 bp
xN-1
(a) (b) (c)
Traitement du Signal
APPLICATIONS
237
(a) p modes.
(b) p coefficients inconnus .
(c) N échantillons du signal.
Lorsque les Wm et les b m sont connus, le signal x (t)
est modélisé par
p
x (t) _ Am exp (6m t) exp (i (2 7L fm t+8m))
m=1
Pour un signal (x„) réel, les termes (b m, Wm) sont
conjugués deux à deux et traduisent la présence de
p12 modes propres.
3. Application à l'oscillation d'une ligne
électrique
Le signal considéré provient des oscillations d'une
ligne électrique aérienne engendrées par un court-
circuit. C'est un signal transitoire d'une durée de 4
secondes (fig . 2). Nous avons visualisé les différentes
étapes du traitement à l'aide d'un logiciel spécialisé
de traitement du signal (PRINTS-EDF) .
SIGNRL BRUT
50 .00 10 .017 15 .Oti 20 .00 20 .00 30t1. 0 0 .00 AO .0
volume 3 - n°
4
-5 - 1986
FIg . 3
1
. 0 Go
1 I
1 .00
1 I I 1 1 ! I !
2 .00 3 •
o0 4
.00 5 .00
T ( S 3
I I
6 .00
f
7 .00
I
0 .0
Fïg. 2
SIGNAL PRETRAITE
25 .00 SO .0 75 .00
10? -OC 120
.00 150
•130
175 .0 200 .0
o
>G
o
G
G
ô
0 .00
I
0 .50
I I I I
1 .00 1
I
.50 2
I
.00 2 I .50
I
3 I .00
I
3
I
.50 4 .O
T(S1
ESTIMATION DES PRINCIPAUX MODES
---------------------------------------------------------------
! numero
	
! amplitude l frequence ! amortis .t 1 phase
1
-----------------------------------------------------------
!
1 ! .28 ! .33 ! 1 .89 ! Z42 .77 !
-----------------------------------------------------------
2 ! .49 ! 1 .53 !
.43 ! 235 .43 !
--------------------------------------------------------------
3 ! .35 ! 3 .14 ! 1 .26 1 171 .11 !
---------------------------------------------------------------
1 4 ! .16 1 3 .90 !
1 .67 1 26 .30 !
--------------------------- -----
r	5--'	„--I	4-78--I	5---'	
18 .00
!
1 6 ! .04 ! 6 .67 ! 1 .29 ! 66 .22 !
------------------------------------------------------ ----
LA MÉTHODE DE PRONY EN ANALYSE DE IBRATIONS
Traitement du Signal
Frg. 7
238
volume 3 - n° 4.5 - 1986
Fïg. 5
Fig. 6
1ER MODE
2ND MODE
I.! .an sn.nn ta,aa sn.nn
0
~ +z
Q - S
n .aa I 4 .00 a .oa s,pP _, I + .m
SEME riDDE 4EME MUGE
lq a zq nn
3 na za an
S
8.00 s .m 4 .n0 a a
s nn 	 .m
7[S1 fl
El
D.S .E. PAR PRONY
â
00 .00 00 . 0 t 0 .00 00 00
5,0
.00 000
.20 350 .00 403 .0
o
LO
âï
M
IG
o-
ô
8 .80 2 .00 4 .00
r
5 .20
r
8 .00
FREÙUENCE [HZ)
D.S E PAR TFR
5 0 10 .00 . .00 20 .00 5 .0 30 .0 5
.00 40 .00
rri~
ï"J
0 .00 2 .00 4 .00 6 .00 n
FREOUENCE [HZ1
DS
.E PAR PRONY ET TFR
10
.00
5 00 20 .00 20 .0
0 . 2 00 0 00
w1
Lin
1
I
0 .0o 2 .00 4 .00 6 .00 e. -on
FREOLIENCE [ HZ 1
La première opération consiste à effectuer un pré-
traitement (cadrage, filtrage) . Le signal obtenu est
représenté sur la figure 3 .
La méthode de Prony permet d'obtenir une estimation
de la DSE (fig . 4) que l'on peut comparer (fig. 6) à
celle par TFR (fig. 5). Si on trouve un contenu
spectral identique dans les deux cas, on note toutefois
une médiocre résolution dans le premier cas (TFR)
(au sens classique du terme : Af=1/T) .
La modélisation fournit surtout les différents modes
qui constituent le signal (fig. 7) et dont la connais-
sance permet à l'expérimentateur de disposer d'un
nombre réduit de paramètres, directement interpréta-
bles en terme de dissipation d'énergie dans la structure
testée et qu'il peut corréler avec des configurations
d'essais (dimensionnement des espaceurs entre les
conducteurs, délai avant ré-enclenchement sur
défaut) .
Une synthèse à partir des modes est possible [formule
(1)], le signal correspondant est représenté sur la
figure 8; cette opération montre que l'on a extrait
l'information utile du signal de départ. Une compa-
raison entre le modèle et le signal de départ est présen-
SIGNAL
SYNTHETISE
SG .oG
	
100
.00 1s0 .oG 200 .00
QJ
0 .00 1 .00 2 .00 3 .03
a
.OG
T(S1
Fg. 8
Fig . 9
Traitement du Signal
APPLICATIONS
239
fin du signal ; cependant le tracé de l'erreur instantanée
de modélisation (fig. 10, les droites représentent
l'écart-type 6=0,1) montre quelques valeurs élevées .
Pour les réduire, nous avons appliqué de nouveau la
méthode de Prony, mais cette fois sur l'erreur de
modélisation. L'erreur obtenue après ce second pas-
sage est plus faible (cr=0,08), elle correspond à une
diminution de 20 % de l'écart-type qui traduit une
meilleure modélisation du début du signal .
volume 3 - n° 4-5 - 1986
Fg. 10
Fg. 11
Fg. 12
COMPARAISON MOOELE/SIGNAL REEL
50 .00 100
.30
50 .00 00 .00 .
0
00 1 .00 2 .D0
TES1
3G0 4 .00
SIGNFi :_ sÏNTHET15E :Z1
50 .00 100 .00 150 00 200 .00
0
e
0
00 .03 2 .00
TES1
3 .03 4' CI
ERREUR ABSOLUE MOOELE/SIGNAL
50, .00
100 .00
150 .00
200
.00
o
-o
0 .00 1 .00 2 .00
TEST
3 00
4 .00
ERREUR ABSOLUE ENTRE I°EOOELE
ET SIGNAL
00 .00 lo0 .00
150 .00 200 .00
. .~I,~ ~.
;';iafi&T1
0 .00
11 .00 1 2 .00 3 .00 4 .00
TES)
La valeur relativement faible de l'erreur instantanée
de modélisation (10% puis 8%) montre que les
hypothèses de départ (le signal observé se compose
d'une somme finie de sinus amortis) sont justifiées .
De même, le choix de l'ordre (6) semble satisfaisant .
Néanmoins, la phase du troisième mode est sans doute
mal estimée; on assiste également à une seconde exci-
tation à 3 secondes du début .
Les problèmes rencontrés lors de la mise en ceuvre de
la méthode sont les suivants
1° choix de l'ordre (p) difficile ;
2° instabilités numériques lors de la recherche des
racines du polynôme P(Z) (apparition de modes non
réels) .
Nous surévaluons l'ordre p systématiquement afin de
nous affranchir des effets du bruit
(voir [1, 4]) .
En ce qui concerne les modes fictifs, ils sont éliminés
grâce à des critères physiques (l'amplitude, l'amortis-
sement sont-ils vraisemblables . . . ?) .
Conclusion
La méthode de Prony, qui considère un signal
déterministe comme une somme pondérée d'exponen-
tielles, est un outil puissant pour l'étude des signaux
de vibration transitoires .
LA MÉTHODE DE PRONY EN ANALYSE DE IBRATIONS
Une extension à l'étude des vibrations entretenues
(réponse à un train d'impulsions) serait intéressante,
notamment après une analyse synchrone qui élimine-
rait les composantes périodiques .
Manuscrit reçu le 29 janvier 1986 .
BIBLIOGRAPHIE
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Traitement du Signal
1240
I volume 3 - n° 4-5 - 1986


The Prony's method for vibration analysis

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