An study about solving equations of interval coefficients

Abstract

O objetivo deste trabalho e determinar a solução de algumas equações de coeficientes intervalares. Este estudo utiliza uma Teoria das Aproximações Intervalares, a qual foi descrita por [ACI91]. Nesta teoria a igualdade para intervalos e substituída pela relação de aproximação . Esta substituição deve-se ao fato da igualdade utilizada na Teoria Clássica dos Intervalos para resolução de equações de coeficientes intervalares não apresentar uma solução satisfatória, visto que a solução encontrada não contem todas as soluções das equações reais que compõe a equação intervalar. Pela substituição da igualdade intervalar por uma relação de aproximação é possível determinar a solução de equações de coeficientes intervalares, de maneira que esta solução contenha todas as possíveis soluções das equações reais pertencentes a equação intervalar. Apresenta-se alguns conceitos básicos, bem como analisa-se algumas propriedades no espaço solução ( /(R), +, •, C, 1). São representadas graficamente diferentes tipos de funções neste espaço intervalar, com os objetivos de obtenção da imagem, caracterização da solução e identificação gráfica da região de solução (ótima e externa), para cada tipo de função. Como a representação de intervalos de /(R) esta determinada num semiplano de eixos X - X+, onde X - representa o extremo inferior de cada intervalo e X+ representa o extremo superior dos intervalos, apresenta-se o espaço intervalar estendido /(R). Neste espaço intervalar estão definidos os intervalos não-regulares, representados no outro semi-piano de eixos X - X+ Em /(R) serão apresentados alguns conceitos fundamentais, assim como operações aritméticas e algumas considerações referentes aos intervalos não-regulares. No espaço intervalar /(R) e possível resolver equações de coeficientes intervalares de maneira análoga a resolução de equações reais no espaço real, pois este espaço intervalar possui a estrutura semelhante a de um corpo. Com isto apresenta-se a solução de equações de coeficientes intervalares lineares, obtida diretamente, assim como determina-se a Formula de Bascara Intervalar para resolução da Equação Quadrática Intervalar. Para funções que possuem grau maior que 2 apresenta-se alguns métodos iterativos intervalares, tais como o Método de Newton Intervalar, o Método da Secante Intervalar e o Método híbrido Intervalar, que permitem a obtenção do intervalo solução para funções intervalares. Por fim apresenta-se alguns conceitos básicos no espaço intervalar matricial M„,„(/(R)), bem como apresenta-se alguns métodos diretos para resolução de sistemas de equações lineares intervalares.The aim of this work is to determine the solution set of some Equations of Interval Coefficients. The study use a Theory of Interval Approximation. The begining of this theory was described by [ACI91]. In this theory the equality for intervals is replaced by an approximation relation. When we make use of that relation to solve interval equations, it's possible to obtain an optimal solution, i.e., to get an interval solution that contain all of real solutions of the real equations envolved in the interval equation. By using the equality of Classical Interval Theory for solving interval equations we can not get an optimal solution, that is, the interval solution in the most of equations not consider some real solutions of real equations that belong to the interval equation. We present some basic concepts and analyse some properties at the interval space (1(R), E, -a x , 1). Different kind of functions are showed in this space in order to obtain the range, the solution caracterization and the graphic identification of the optimal and external solution region, for each kind of function. The representation of intervals in /(R) is determined in a half plane of axes X - , X+, where X - represent the lower endpoint and X+ represent the upper endpoint of the intervals. The nonregular intervals are defined in /(R), which are determined in an other half plane. In this interval space are presenting some specific concepts, as well as arithmetical operations and some remarks about nonregular intervals. The interval space (1(R), +, •, C, Ex , 1) have a similar structure to a field, so it's possible to solve interval coefficients equations analogously as to solve real equations in the real space. We present the solution of linear interval equations and we determine an interval formula to solve square interval equation. We present some intervals iterated methods for functions that have degree greater than 2 that allow to get an interval solution of interval functions. Finally we show some basic concepts about the interval matrix space Af,„„(IR)) and present direct methods for the resolution of linear interval sistems