summary:The article deals with golden section construction. First, the basic information on golden section is briefly mentioned, from both mathematical and historical point of view. Then, three interesting problems concerning the golden section construction are presented. Solutions to the problems as well as demonstrations of the construction are included

Jarošová, Martina

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.

Rozhledy matematicko-fyzikálníMartina JarošováKonstrukce zlatého řezuRozhledy matematicko-fyzikální, Vol. 84 (2009), No. 2, 12–16Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/146296Terms of use:© Jednota českých matematiků a fyziků, 2009Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitizeddocuments strictly for personal use. Each copy of any part of this document must containthese Terms of use.This document has been digitized, optimized for electronic deliveryand stamped with digital signature within the project DML-CZ:The Czech Digital Mathematics Library http://dml.czMATEMATIKAKonstrukce zlatého řezuMartina Jarošová, PřF MU BrnoAbstract. The article deals with golden section construction. First, the basicinformation on golden section is briefly mentioned, from both mathematicaland historical point of view. Then, three interesting problems concerning thegolden section construction are presented. Solutions to the problems as wellas demonstrations of the construction are included.Geometrický pojem zlatý řez nalézá své uplatnění v malířství, archi-tektuře, hudbě, . . . Umělci tvrdí, že pomocí zlatého řezu lze sestrojitnejkrásnější trojúhelník, nejkrásnější půdorys budovy, či zakreslit těloo nejkrásnějších proporcích, . . . Je ideálním harmonickým, kompozičnímpoměrem aplikovaným již od starověku ve výtvarném umění. Dokonce seprojevuje i v přírodě, např. v anatomii rostlin, v chemii v krystalickýchstrukturách a složení sloučenin, v astronomii v polohách hvězd a planet([1], [3], [4], [5], [7]).První písemné zmínky o zlatém řezu pocházejí z antiky, z helénistic-kého Řecka, kdy antický učenec Eukleides (kolem r. 300 př.n.l.) sepsal natehdejší dobu velkolepé dílo”Základy“, knihu, podle které se studovalageometrie až do konce 19. století. Nalezneme v ní tuto zajímavou úlohu:Jak rozdělit danou úsečku na dvě části tak, aby poměr celé úsečky k většíčásti byl stejný jako poměr větší části k menší? Označíme-li tedy délkudané úsečky a, délku její větší části x, pak podmínku z úlohy můžemevyjádřit rovnicíax=xa − x.Odtud po snadné úpravě dostanemex2 + ax − a2 = 0. (1)Jelikož hledáme délku úsečky, zajímá nás pouze kladný kořen rovnice (1),který je tvarux =√5− 12a, odkud a =1 +√52x.12 Rozhledy matematicko-fyzikálníMATEMATIKAPodíl délky celé úsečky k délce její větší části má tedy hodnotuax=1 +√52,kterou nazýváme zlatým podílem nebo také zlatým číslem, nejčastěji všakzlatým řezem a označujeme ji řeckým písmenem Φ∗). Platí tedyax= Φ =1 +√52.= 1,618 033 988 75 . . .A E Bx a − xazlatý řez1,618 0341.= 10,618 034Obr. 1. Zlatý řez úsečky ABV následujících třech úlohách si vysvětlíme, jak lze v různých situacíchjednoduše sestrojit zlatý řez úsečky AB (obr. 1). V úloze první budemeznát celou úsečku AB a naším úkolem bude rozdělit ji bodem E v po-měru zlatého řezu. Konstrukci úsečky AB v případě, že známe větší dílAE, či menší díl EB úsečky AB dělené v poměru zlatého řezu najdemev úlohách 2, resp. 3.Poznámka: Je nutné si uvědomit, že danou úsečku AB lze rozdělit v po-měru zlatého řezu dvěma způsoby. Kromě řešení určeného bodem Ez obr. 1 lze totiž nalézti ještě jedno řešení určené bodem E′, přičemžplatí: |AE| = |BE′| a |BE| = |AE′|. Body E a E′ jsou tedy souměrněsdružené podle středu úsečky AB.Úloha 1. Nechť je dána úsečka AB. Nalezněte na úsečce AB bod E tak,aby ji dělil v poměru zlatého řezu, přesněji aby platilo|AB| : |AE| = |AE| : |EB|.Řešení: Nad danou úsečkou AB délky a sestrojíme pravoúhlý trojúhelníkABC s pravým úhlem při vrcholu B tak, aby druhá odvěsna BC měladélku a2 . Tuto délku naneseme od bodu C na stranu AC, a získáme takbod D (obr. 2). Nyní do kružítka vezmeme délku AD a naneseme ji odbodu A na úsečku AB, čímž získáme hledaný bod E.∗) Označení zavedl americký matematik Mark Barr začátkem 20. století.Ročník 84 (2009), číslo 2 13MATEMATIKAA E BDCxxaa2a2Obr. 2Zdůvodnění: Ověřme, že sestrojený bod E skutečně dělí výchozí úsečkuAB v poměru zlatého řezu. Pro délku x = |AE| dle Pythagorovy větypro trojúhelník ABC platía2 +(a2)2=(x+a2)2,odkud 54a2 = x2 + ax + a24 , a2 = x2 + ax, a(a − x) = x2. Nakonecdostávámeax=xa − x = Φ.Úloha 2. Nechť je dána úsečka AE. Na polopřímce AE sestrojte bod Btak, aby bod E dělil úsečku AB v poměru zlatého řezu s větším dílemAE (a menším dílem BE).Řešení: Nad úsečkou AE sestrojíme čtverec AECD a určíme střed Fstrany AE (obr. 3). Opíšeme kružnici k se středem v bodě F o poloměru|FC|. Průsečík polopřímky AE a kružnice k je hledaný bod B.Zdůvodnění: Označme |AE| = x. Protože F je střed úsečky AE a ECFje pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou EC délky x, platí:|AF | = |FE| = x2|FB| = |FC| =√x2 +(x2)2=√5x24=x2√5|AB| = |AF |+ |FB| = x2+x2√5 =x2(1 +√5)14 Rozhledy matematicko-fyzikálníMATEMATIKAOdtud dostáváme|AB||AE| =x2 (1 +√5)x=1 +√52= Φ.A E BDFCkObr. 3Úloha 3. Nechť je dána úsečka EB. Na polopřímce BE sestrojte bod Atak, aby bod E dělil úsečku AB v poměru zlatého řezu s větším dílemAE (a menším dílem BE).Řešení: Nad úsečkou EB sestrojíme čtverec EBCD a určíme střed Fstrany ED (obr. 4). Opíšeme kružnici k se středem v bodě F o poloměru|FC|. Průsečík polopřímky EF a kružnice k označíme G. Sestrojímekružnici m se středem v bodě E a poloměrem |EG| a hledaný bod Analezneme jakožto průsečík kružnice m s polopřímkou BE.A E BGFD CkmObr. 4Ročník 84 (2009), číslo 2 15MATEMATIKAZdůvodnění: Označme |EB| = z. Protože F je střed úsečky DE a DCFje pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou CD délky z, platí:|EF | = |FD| = z2|FC| = |FG| =√z2 +(z2)2=√5z24=z2√5|AE| = |EG| = |EF |+ |FG| = z2+z2√5 =z2(1 +√5)|AB| = |AE|+ |EB| = z2(1 +√5) + z =z2(1 +√5 + 2) =z2(3 +√5)Odtud dostáváme|AB||AE| =z2 (3 +√5)z2 (1 +√5)=3 +√51 +√5· 1−√51−√5 =3− 3√5 +√5− 51− 5 ==−2− 2√5−4 =1 +√52= Φ.Další informace o zlatém řezu a jeho roli v matematice i v jiných oborechlze nalézt např. v [2], [3], [6].L i t e r a t u r a[1] Hejl, J.: Zlatý řez. Učitel matematiky 4, č. 1, (1995), str. 1–8.[2] Hoggatt, V. E. Jr.: Fibonacci and Lucas Numbers. Houghton Mifflin Com-pany, Boston, 1969.[3] Koshy, T.: Fibonacci and Lucas numbers with applications. John Wiley &Sons, Inc., New York, 2001.[4] Nagyova, I.: Zlatý řez. [online]http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka.html [cit. 2. 9. 2007].[5] Veselý, J.: Zlatý řez a co vše s ním souvisí. Učitel matematiky 6, č. 3,(1998), str. 153–158.[6] Vorobiev, N. N.: Fibonacci Numbers. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002.[7] Zdeborová, L.: Květ slunečnice a Fibonacciova čísla. Rozhledy matematic-ko-fyzikální 82, č. 1, (2007), str. 1–10.16 Rozhledy matematicko-fyzikální

Konstrukce zlatého řezu

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/146296/Rozhledy_084-2009-2_3.pdf

Konstrukce zlatého řezu

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.