Gutenmacher, V. L.

Vasiljev, N. B.

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.

Přímky a křivkyOdpovědi, návody a řešeníIn: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček(translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky.(Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 141–[152].Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404059Terms of use:Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences providesaccess to digitized documents strictly for personal use. Each copyof any part of this document must contain these Terms of use.This document has been digitized, optimized forelectronic delivery and stamped with digitalsignature within the project DML-CZ: The CzechDigital Mathematics Library http://dml.czODPOVĚDI, NÁVODY. ŘEŠENÍ 1.13 Vrcholy M pravoúhlých trojúhelníků AMB s přeponou AB leží na kružnici s průměrem AB. 1.14 Bodem dotyku M kružnic veďme jejich společnou tečnu. Její průsečík s přímkou AB označme O. Pak je \AO\ = \BO\ = \MO\ (délky tečen vedených bodem O k téže kružnici jsou stejně velké). 1.15 Sjednocení tří kružnic. Nechť jsou A, B, C, D dané body. Bodem A vedeme přímku l, bodem C přímku s ní rovnoběžnou a body B, D vedeme přímky kolmé k přímce l. Tím dostaneme pravoúhelník. Je-li L střed úsečky AC, K střed BD, je LMK = 90°, kde je M střed pravoúhelníku. Otáčíme-li přímku l kolem bodu A a odpovídajícím způsobem ostatní přímky, vidíme, že množinou bodů M je kružnice nad průměrem KL. Pro-tože čtyři body A, B, C, D můžeme rozdělit na dvojice třemi způsoby, skládá se hledaná množina ze tří kruž-nic. 1.25 Buď je střed pevný, nebo probíhá přímku. Pohy-bují-li se chodci po rovnoběžných přímkách, je střed buď pevný (chodci jdou každý na jinou stranu), nebo se i střed pohybuje po přímce rovnoběžné s danými. Nechť se přímky protínají, označme O jejich průsečík a vx, v2 rychlosti chodců, tedy vektory ze zaměření první a druhé přímky, jejichž velikost je rovna dráze, kterou ujde ten 141 který chodec za jednotku času. Nechť se první chodec nachází v okamžiku t v bodě P, druhý v bodě Q, pak je OP = a + tvx, OQ = b + tv2, vektory a, b udávají polohu chodců v čase t = 0. Střed M úsečky PQ je dán vztahem OM = (OP + OQ)/2 = (a+"&)/2 + ^ +~uí)/2. Vidíme, že se bod M pohybuje po přímce rychlostí Obr. 111 (fi + í>2)/2. Pro její určení stačí určit střed počátečních poloh obou chodců a střed jejich poloh třeba za jednotku času. Výpočty s vektory můžeme nahradit též geometric-kými úvahami. Nechť jsou P0P1 a Q0QX libovolné, ale ne rovnoběžné úsečky, M0 střed úsečky P0Q0 a M r střed úsečky PXQÚsečka MQMÍ je těžnicí v trojúhelníku LXMQNX, kde Lt a Nv jsou čtvrtými vrcholy rovnoběž-níků PXPJÍQLX, Q1Q9M0NÍ. Úsečky P ^ a NTLT jsou totiž úhlopříčkami v rovnoběžníku P ^ Q ^ x (obr. 111). Zvolíme-li místo bodů Px a na přímkách P0PU Q0Qi body P, Q tak, aby P^P = tP^P,, = a se-strojíme-li obdobně jako předtím trojúhelník LM^N 142 s těžnicí M0M, je tento trojúhelník zřejmě stejnolehlý s trojúhelníkem L1M0N1 s těžnicí M0MX, a bod M leží proto na přímce M^M^ 1.28 Použijeme obrázku z řešení 1.25. Otáčí-li se úsečky PQPI a Q0Q1 rovnoměrně kolem bodů P0, Q0 stejnou úhlovou rychlostí, otáčí se stejnou úhlovou rychlostí trojúhelník LlM^N1 s těžnicí M0MV 1.29 Kružnice. Úlohu řešíme pomocí pohybu, sestro-jíme poloměry OxK, 02L. Otáčí-li se přímka KL rovno-měrně úhlovou rychlostí co, otáčí se podle věty o prstenci poloměry OxK a 02L stejnou úhlovou rychlostí 2co, je tedy velikost úhlu přímek O a 02L konstantní. Tím se úloha převede na předcházející. 2.11 b) Použijte F. 2.19 Označme výšku trojúhelníku h. Je-li ¡i < h, je hledaná množina prázdná, pro /x = h je to celý troj-úhelník, pro fi > h obvod šestiúhelníku (obr. 112). 2.20 Obrázek 113. 3.5 b) Převede se na úlohu 3.5a, nebo se dá řešit „prostorově". Sestrojíme tři sféry, které mají dané kruž-143 nice za hlavní kružnice (každá sféra prochází jednou kružnicí a střed sféry a střed kružnice splývají). Každé dvě sféry se protínají v kružnici, která se promítá do příslušné tětivy. 3.7 b) Je AMB\ = 90° + <p/2, kde M je střed kružnice vepsané trojúhelníku. Podle E je hledanou množinou dvojice kruhových oblouků s koncovými body A, B. 3.7 c) Hledanou množinou je dvojice kruhových oblouků. Na obrázku 114 jsou po řadě zachyceny pří-pady <p < 90°, <p = 90°, (p > 90°. Nechť lA, lB jsou různo-běžky procházející body A, B a nechť kA, kB jsou přímky rovněž procházející body A, B, přičemž kA _L Zfl, kB X _L lA. Otáčejí-li se přímky lA, lB kolem bodů A, B rovno-měrně, otáčejí se stejně přímky kA, kB. Podle E0 probíhá jejich průsečík kružnici. Probíhá-li průsečík přímek lA> lB kruhový oblouk kružnice y, probíhá průsečík přímek kA, kB kruhový oblouk kružnice souměrně sdružené ke kružnici y podle přímky AB. 3.8 a) Označme K, L, M postupně průsečíky dvojic přímek a a b, b a c, c a a. Podle E0 opisují body K, L a b c Obr. 114 144 kružnice s tětivami AB, BC. Označme H průsečík těchto kružnic, různý od B. V okamžiku, kdy přímka b prochází bodem H, splývají body K, L s bodem M, procházejí tudíž přímky a a c také bodem H. (Případy, ve kterých se uvažované dvě kružnice v bodě B dotýkají, nebo dokonce splývají, nutno vyšetřit zvlášť. V prvním případě splývají body B a M, ve druhém splývají v každém okamžiku body K, L, M, na přímky a, b, c je možné navléknout jeden prstenec.) Poznamenejme ještě, že při celém otáčení je trojúhelník KLM stále podobný jedné své poloze. Procházejí-li přímky a, b, c bodem H, redukuje se na bod a největších rozměrů na-bývá v okamžiku, kdy jsou přímky a, b, c po řadě kolmé na přímky AH, BH, CH. Pak splývají jeho vrcholy s body diametrálně protilehlými k bodu H na jednotli-vých trajektoriích (kružnicích). 3.8 b) Nechť se přímky AH, BH, CH začínají otáčet stejnou úhlovou rychlostí kolem bodů A, B,C (H je průsečík výšek). Pak opisuje průsečík každé dvojice kružnici, a to jsou ty kružnice, o kterých se mluví v úloze. 3.9 Zkoumáme tři množiny bodů M ležících uvnitř trojúhelníku, {M : SAMB = kx.SBMC}, {M : SBMC= kt. • SAMC}, {M : SAMC= k3.SAUB}. To jsou tři úsečky (viz J), které se protínají v jednom bodě, právě když platí t M — i • 3.10 Uvažujte množiny {M : \MA\* — \MB\2 = {M : \MB\* — \MC\* = h2), {M : \MC\2 — \MA\* = ha}. Tyto tři přímky (viz F) se protínají právě tehdy v jed-nom bodě, když hx + h2 + h3 = 0. 3.19 Uvažujte pro každý z daných n bodů 0 ( množinu 145 bodů, jejichž vzdálenost od bodu C; není větší než 1/]/tm (i = 1, .. ., n). 3.21 Uvažujte množinu koncových bodů vektorů OM = OE[ + OEZ + • • • + OE« (kde ~OE{ jsou jed-notkové vektory podle podmínek úlohy) nejdříve pro n = 1, pak n = 2 atd. 4.4 Nejmenší vzdálenost mezi chodci je udj^u1 + v2-Rychlost prvního chodce nechť je u, druhého v (velikosti těchto vektorů jsou dány). Uvažujme relativní pohyb chodce P vzhledem ke Q, to je rovnoměrný pohyb rych-lostí u — v (viz 1.3). V počáteční poloze, kdy se chodec P nachází v průsečíku P0 obou cest, je chodec Q v poloze Q0, vzdálené od P0 ve směru vektoru —v o délku |Q0P0| = d. K určení odpovědi úlohy stačí bodem P 0 vést přímku l ve směru vektoru u — v (to je trajektorie bodu P při relativním pohybu vzhledem k vztažné sou-stavě, svázané s bodem Q) a určit vzdálenost Q0H bodu Q0 od přímky L (H je kolmý průmět bodu Q0 na L). Pro-tože trojúhelník Q0P„H je podobný trojúhelníku slo-ženému z vektorů u, v, u — v (QQP0 _L U, Q0H U — v), je IGotfl/IGoPol = \u\l\u—7\ = ul]/u?~+~v*. 4.6 Veďme středem jedné kružnice kolmici OxN na přímku L procházející bodem A, středem druhé kružnice kolmici na OjA7; její patu označme M. Pak je Í01M\ polovina vzdálenosti průsečíků přímky L s oběma kružnicemi (různých od A). 4.9 Rovnoramenný trojúhelník. Použijte 2.8a. 5.4 b) Dokažte, že průsečík M kolmic vedených body 146 K, L k přímkám KA, LA opisuje kružnici, pohybují-li se body K, L po ramenech úhlu s vrcholem A tak, aby se neměnila velikost úsečky KL (vzpomeňte na souvis-lost s Koperníkovou větou vyloženou v úvodu). 5.7 Použijte tvrzení, že hladiny funkce f(M) = = \AM\\\BM\ jsou kružnice kolmé ke kružnicím pro-cházejícím body A, B. 6.3 e) Odpověď je hyperbola, jestliže každá z daných kružnic leží vně druhé (nebo mají vnější dotyk), sjed-nocení hyperboly a elipsy, jestliže se kružnice protínají, a elipsa v případě, že jedna z kružnic leží ve vnitřní oblasti druhé (nebo mají vnitřní dotyk). Ohniska splý-vají se středy kružnic. 6.12 a) Spolu s danou tečnou uvažujte i tečnu sou-měrně sdruženou podle středu elipsy. Využijte 6.9b a větu o součinu úseků na tětivě procházející daným bodem vnitřní oblasti kružnice (součin nezávisí na směru tětivy). 6.15 Sestrojte v případě a) elipsu a v případě b) hy-perbolu s ohnisky A, B dotýkající se první úsečky P 0Pi a dokažte, že se jí dotýká i druhá úsečka PjP2. Užijte k tomu shodnosti trojúhelníků AP^B, APXB', kde A' je bod souměrně sdružený k bodu A podle P0Plt B' je bod souměrně sdružený k B podle PXP2- Tečny jsou osami úseček AA', BB' (viz 6.9a, 6.10a). 6.16 c) Sestrojíme množinu všech bodů N, pro které leží střed úsečky AN na dané kružnici. Je to kružnice, její střed označíme B, její poloměr R. Množina bodů, které jsou blíž k bodu A než k libovolnému z bodů N K úlohám 6.16 a 6.17. N a obrázcích 1 1 5 — 1 1 7 je zakresleno f ouze nékolik přímek příslušného systému, ale zdá se, jako by y ly prorýsovány i výsledné obálky — hyperbola, elipsa, para-bola. 147 148 Obr. 1 1 7 sestrojené kružnice, je průnikem polorovin ohraničených osami úseček AN a obsahujících bod A. Tutéž množinu můžeme psát ve tvaru {M : \MA \ — \MR\ < R}, hra-niční křivkou je jedna větev hyperboly. 6.17 Porovnejte návod k 6.16 s důkazem ohniskové vlastnosti paraboly. 6.23 Počátek soustavy souřadnic zvolte ve středu úsečky AB a směr osy x tak, aby v některém okamžiku byly otáčející se přímky s ní rovnoběžné. Vyjádřete rovnice přímek a souřadnice jejich průsečíku v závislosti na čase t. Vyloučením parametru t ze souřadnic průsečí-ku (jako v řešení 6.22) dostanete rovnici hyperboly ve tvaru (4) na str. 104. 6.24 Představme si dvě přímky otáčející se kolem bodů A, B v opačných smyslech tak, že se druhá otáčí s dvojnásobnou úhlovou rychlostí než přímka první. Lehce uhodneme, že se jejich průsečík pohybuje po křivce podobné hyperbole, přičemž její asymptoty svírají s přímkou AB úhel 60° a její průsečík C s úsečkou AB ji dělí v poměru \ACJ\BC\ = 2. A odpověď v této úloze skutečně zní — větev hyperboly. Geometrický důkaz podáme nejlépe převedením úlohy na množinu Q naší abecedy. K tomu sestrojíme bod M' souměrně sdružený k bodu M podle osy l úsečky AB a všimneme si, že BM' je osou ÚHHI ABM a že \MM'\ = \MB\, proto j e \MB\Iq(M, l) = 2. 6.25 a) Zvolíme-li soustavu souřadnic tak, aby ramena úhlu byla dána rovnicemi y = kx, y = —kx(x ^ 0), je obsah trojúhelníku OPQ s vrcholy P, Q na ramenech úhlu a středu P[x; y\ roven kx2 — y2/k. b) Použijte výsledků úlohy 1.7b. c) Vyplývá z a) a b). 1371 7.2 Sjednocení je množinou všech bodů M, ke kterým existuje takový bod P kružnice, že \MP\ GL \PA\, nebo též množinou bodů M, pro které má osa úsečky MA společný bod s danou kružnicí. Srovnejte s úlohami 6.16, 6.17. 7.9 Odpověď: a) 3, b) 4, c) 2,5. Najděte poměr úhlo-vých rychlostí tak, jak to bylo ukázáno v odstavci o rychlostech a tečnách. 7.13 a) Kruhový oblouk kružnice o poloměru R mezi dvěma body vratu Steinerovy křivky má stejnou délku jako polokružnice o poloměru 2iř/3. 7.14 b) Jednu i druhou křivku můžeme dostat jako trajektorii vrcholu M kloubového rovnoběžníku o stra-nách R — r, r s poměrem úhlových rychlostí c0j/c02 = = —rl(R — r) (úhlové rychlosti mají opačná znaménka). 7.18 Použijte 7.7 a větu Mozziho. 7.19 ¿-cykloida. 7.21 Použijte 7.13a. Mozziho větu a větu o dvou kru-zích. 7.23 Nechť se bod M pohybuje po opsané kružnici úhlovou rychlostí co. Pak (1) se body MLT M2. M3, souměrně sdružené k bodu M podle přímek BC, CA a AB, pohybují po kružnicích úhlovou rychlostí —co, (2) tyto tři kružnice se protínají v průsečíku výšek H trojúhelníku ABC (3.8b), (3) každá z přímek M^M (i = 1, 2, 3) se otáčí kolem bodu H úhlovou rychlostí —a)/2, (4) body MLT MIT M 3 leží na jedné přímce IM procházející bodem H (tj. přímky MTM splývají v jednu přímku IM), 160 (5) středy úseček MiM (i = 1, 2, 3) a střed K úsečky MH leží na jedné přímce, Simsonově přímce trojúhelní-ku, (6) bod K se pohybuje po kružnici y, stejnolehlé s kruž-nicí opsanou, s koeficientem 1/2 a středem stejnoleh-losti H, (7) kružnice y pochází těmi 9 body, které jsou vyjmeno-vány v 7.23b, (8) obalovou křivkou přímek lM je Steinerová křivka, dotýkající se kružnice y. 151 

Odpovědi, návody a řešení

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/404059/SkolaMladychMatematiku_051-1982-1_12.pdf

Odpovědi, návody a řešení

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.