Veselý, František

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.

O dělitelnosti čísel celých9. kapitola. Malá věta FermatovaIn: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech).Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98–105.Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572Terms of use:© František Veselý, 1966Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences providesaccess to digitized documents strictly for personal use. Each copy ofany part of this document must contain these Terms of use.This document has been digitized, optimized forelectronic delivery and stamped with digitalsignature within the project DML-CZ: The Czech DigitalMathematics Library http://dml.cz9. kapitola M A L Á V Ě T A F E R M A T O V A T4B Je-li n prvočíslo, pak číslo 2" — 2 je dělitelné číslem n. S použitím známých symbolů mohli bychom tuto větu přehledně vyjádřit výrokem, že pro každé přirozené číslo n platí n je prvočíslo => n \ 2" — 2. (9,1) Důkaz věty T4 5 provedeme snadno užitím binomické věty pro rozvoj (a + b)n, podle níž Odtud po převedení prvního a posledního sčítance z pravé strany rovnosti na levou dostaneme + 0 + - - - + Č . - 0 - ( , ' 2 ) Každý člen součtu na pravé straně této rovnosti je tzv.bino-mický koeficient 98 h _ ( j ) _ ° ( " - ' ) ( 1 " - 2 3 ) ; ; ; ( r * + 1 ) M a to pro k = 1, 2, 3, . . . , n — 1. Z rovnosti (9,2) však snadno dostaneme rovnost 1.2.3 . . . ( A - 1 )k.bh = n (»—1) (w—2) . . . ( « - ¿ + 1 ) . (9,4) Součin na pravé straně rovnosti (9,4) je zřejmě dělitelný číslem «, o němž předpokládáme, že je prvočíslem. Z toho však plyne, že také součin na levé straně rovnosti (9,4) je dělitelný prvočíslem n. Poněvadž však žádný z prvních k činitelů není dělitelný prvočíslem n (vzhledem k tomu, že k g n — 1), musí jím být dělitelný poslední činitel bk (podle důsledku II věty T42). Poněvadž na pravé straně v rovnosti (9,2) je každý sčítanec dělitelný prvočíslem n, je jím dělitelný i jejich součet (podle věty T9, resp. jejího zobecnění) a tedy také i číslo na levé straně, tj. 2" — 2, čímž je věta T4 5 dokázána. S odvoláním na tuto větu můžeme tedy tvrdit, že např. 23 je dělitelem čísla 223 - 2 = 2 (222 - 1) a poněvadž čísla 23 a 2 jsou nesoudělná, můžeme (podle věty T42) též tvrdit, že platí vztah 23 | 222 - 1. Obdobně 29 | 229 - 2, 31 | 231 - 2,89 | 289 - 2 apod. nebo 29 | 228 - 1,31 | 330 -- 1, 89 | 288 - 1 apod. Z věty T4b plyne, že vlastnost „n je prvočíslo" je posta-čující podmínkou pro platnost vztahu „« dělitelem 2n— 2". Jestliže jste studovali předcházející kapitolu, víte, že tato vlastnost není nutnou podmínkou pro platnost vztahu n | 2" — 2, neboť jsme zjistili, že i pro některá složená čísla n (tzv. pseudoprvočísla) platí též n \ 2n — 2. Jinak řečeno: Věta (9,1) platí, avšak věta k ní obrácená (8,1) neplatí. Nyní větu T4 5 zobecníme. Její zobecněli vyjádříme dvojím způsobem, přičemž místo označení „prvočíslo n" 99 budeme užívat označení „prvočíslo p", což trochu přispěje k zapamatování postačující podmínky v následujících větách. T46 Pro libovolné celé číslo a a pro každé prvočíslo p je p dělitelem čísla OP — a. T47 Pro každé celé číslo a nesoudělné s prvočíslem p je p dělitelem čísla aP-1 — 1. Dokážeme nejprve dva výroky I, II, jejichž pravdivost bude předpokladem pro logický závěr o platnosti věty T46. I. Každé prvočíslo p je dělitelem čísla 1P — 1. Tento výrok je zvláštním případem věty T46 pro a = 1. Jeho důkaz je snadný, neboť 1? — 1 = 0 a pro každé prvo-číslo p platí p | 0. II. Je-li prvočíslo p dělitelem čísla aP — a, pak p je děli-telem čísla (a + 1)P — (a + 1), kde a je libovolné číslo při-rozené. . DůkazTpravdivosti tohoto výroku"^provedeme takto: Platí Již v první části této kapitoly jsme ukázali, že binomické koeficienty ( 2 ) ' '"' (p ^ l ) ' s o u čísla děli-telná prvočíslem p. Proto je dělitelný prvočíslem/) součet čísel 100 v první lomené závorce, neboť je jím dělitelný každý jeho sčítanec jako násobek čísla p. Je-li tedy prvočíslem p děli-telný výraz v druhé lomené závorce, musí být prvočíslem p dělitelný i součet výrazů v první a druhé lomené závorce, tj. tedy číslo (a + 1 )P — (a + 1). Jestliže v obecném výroku právě dokázaném položíme a = 1, dostaneme tento pravdivý výrok: Je-li prvočíslemp dělitelné číslo 1P — 1, pak je prvočíslem p dělitelné číslo 2p — 2. Spojením tohoto výroku s výrokem I dostaneme předpoklady, z nichž podle běžných pravidel logického usuzováni vyplývá závěr: Každé prvočíslo p je dělitelem čísla 2P — 2. Tohoto výroku, který je ve shodě s větou T46, mohli bychom užít dále k důkazu věty T46 pro a = 3 a pak pro konečný počet dalších přirozených čísel. Budeme však postupovat jinak, abychom větu T4 6 dokázali pro všechna přirozená čísla a. V matematice užíváme často následujícího pravidla pro závěr ze dvou předpokladů (premis), jejichž příklady jsme ukázali výroky I a II. Toto pravidlo, nazývané matema-tická indukce, můžeme formulovat takto: Jestliže nějaký výrok závislý na přirozeném čísle a platí pro přirozené číslo a = 1, a jestliže z platnosti tohoto výroku pro přiro-zené číslo a plyne platnost výroku pro číslo a + 1, pak odtud plyne závěr, že výrok je platný pro každé přirozené číslo a. Užitím této matematické indukce plyne tedy z premis I, II logicky správný závěr o platnosti věty T48 pro každé přirozené číslo a. (Přitom se nám nyní věta T4B jeví jako speciální (zvláštní) případ věty T46 pro a = 2.) Nyní zbývá ještě dokázat, že věta T46 platí též pro číslo 0 a pro čísla opačná k číslům přirozeným. Pro a = 0 věta zřejmě platí, neboť OP — 0 = 0 a přitom p | 0. Je-li a < 0 libovolné celé záporné číslo, pak — a > 0 je zřejmě číslo přirozené, pro něž věta T4 6 platí, tj. platí, že prvočíslo p je dělitelem čísla 101 (_ a ) p _ (_ f l ) . (9,5) Je-li p > 2 liché prvočíslo, pak platí (—a)p — (—a) = —ar + a = — {aP — a) a platí /> | —a(aP — a) čili též p \ a? — a, čímž je věta T4 6 doká-zána i pro celá čísla a < 0 pro lichá p. Zbývá ještě případ p = 2. V tom případě však platí, že p = 2 je dělitelem čísla (—a)2 — (—a) = a2 + a = a (a + 1), neboť ze dvou po sobě jdoucích čísel celých a, a + 1 je právě jedno děli-telné číslem 2. Tím je ukončen celý důkaz platností věty T 4 6 pro každé celé číslo a. Poněvadž/) je dělitelem aP — a = a (a? -1 — 1), nemůže platit p | a při nesoudělnosti čísel a, p a proto musí platit podle věty T42, že p \ a"-1 — 1. Tím je dokázána věta T47. Znalost vět T4 6 a T47 je velmi užitečná při vyšetřování dělitelnosti některých čísel i pro řešení jiných problémů, s nimiž se setkáme při dalším studiu matematiky. Tak např. můžeme hned psát, že 5097 — 50 je dělitelné 97 (podle věty T47) apod. Užití těchto vět ukážeme ještě na několika pří-kladech. Příklad 44. Dokažte, že pro každé celé číslo x je hod-nota funkce x& + 4x — 10 číslo dělitelné pěti. Tuto úlohu bychom mohli řešit metodou vyloženou v kap. 3 (viz př. 10), tj. předpokládat, že číslo x je tvaru 5k nebo tvaru 5k ± 1, nebo tvaru 5k ± 2, přičemž bychom zjistili, že ve všech pěti případech dostaneme číslo dělitelné pěti. Rychleji však rozřešíme úlohu, když nejprve daný mnohočlen upravíme na tvar xs + 4x - 10 = (x5 - x) + 5 (* - 2). První sčítanec x6 — x je podle věty T4 6 dělitelný číslem 5 pro každé celé číslo x a druhý sčítanec je rovněž dělitelný číslem 5, když součin 5 (x — 2) obsahuje činitele 5. Proto 102 je jejich součet a tedy také funkční hodnota daného poly-nomu pro každé celé číslo x násobkem čísla 5. Příklad 45. Dokažte, že pro každé celé číslo a je 561 dělitelem čísla a881 — a. Rozkladem čísla 561 na prvočinitele dostaneme 561 = 3.11.17. Dokažme nejprve, že čísla 3, 11, 17 jsou děliteli čísla a661 ~a = a (a560 - 1). a) Je-li a násobkem čísla 3, pak zřejmě platí 3 | a (a680-l). Když číslo a je nesoudělné s číslem 3, pak podle věty T4 7 platí: 3 | a2 - 1 a také 3 | a2-280 — 1, a tedy i 3 | a (a880- 1). b) Je-liadčlitelnéčíslem ll,pakzřejměplatí 11 |a(a880-l). Není-li a dělitelné číslem 11, pak podle věty T47 platí 11 | a10 - 1, a proto i 11 | a10-56 - 1 čili též 11 [a (a860- 1). c) Je-li a dělitelné číslem 17, pak platí 17 | a (a860 — 1). Není-li a dělitelné číslem 17, pak 17 | a 1 6 - 1 , a proto i 17 | ai6.35 _ i , a tedy i 17 | a (a860 - 1). Odtud plyne podle včty T32 pravdivost tvrzení 3.11.17 | a (a880 — 1). Tím je též dokázáno, že číslo 561 = 3.11.17 je absolutní pseudoprvočíslo (viz D20 v kap. 8). Příklad 46. Dokažte, že číslo z = 9710° - 47100 je násobkem čísla 5050. Vztah 50 197100 — 47100 plyne ihned ze vzorce (1,3) pro rozklad a" — bn. Upravujeme nyní: z = 97100— 47100 = = (97100 - 1) - (47100 - 1). Poněvadž číslo 101 je prvo-číslo, je dělitelem čísel 97100 — 1, 47100 — 1, a tedy i jejich rozdílu. Ze vztahů 50 | z a 101 | z plyne ihned podle T32 50.101 ¡z čili 5050 | z. Příklad 47. Jsou-li a, b celá čísla nesoudělná s číslem 5, pak číslo a4 — b* je dělitelné pěti! Jsou-li a, b celá čísla nesoudělná s číslem 5, pak podle věty T47 jsou prvočíslem 5 dělitelná čísla a4 — 1, b* — 1. 103 Odtud však snadno plyne, že číslem 5 je dělitelné i číslo (a4 - 1) - (é4 - 1) = a4 - b*. Z věty T40 jsme odvodili snadno větu T47. Bylo by ovšem možno dokázat nejprve jiným způsobem na důkazu věty T46 nezávislým platnost věty T47 a z její platnosti odvodit větu T46. Tím by se ukázalo, že obě věty, pro něž se často užívá označení malá věta Fermatova, jsou rovno-cenné (ekvivalentní). Pierre Fermat (1601 —1665), francouzský právník a po-radce parlamentu v Toulouse, zabýval se ve volných chví-lích matematikou, v níž dosáhl výsledků cenných pro rozvoj číselné teorie, analytické geometrie a matematické analýzy. Přívlastku „malá" k označení malé věty Fermatovy se užívá proto, aby se odlišila od tzv. velké věty Fermatovy, podle níž pro přirozená čísla n > 2 nelze najit taková přirozená čísla x,y, z, aby platilo x" + y" = z". Toto tvrzení uvedl Fermat bez důkazu v poznámce na okraji spisu, který četl. Od doby Fermatovy se mnoho matematiků mamě pokou-šelo o důkaz Fermatova tvrzení pro všechna přirozená čísla n. Zatím je pravdivost Fermatova tvrzení dokázána pro mnohá přirozená čísla n, jako např. pro všechna přirozená čísla n, pro která platí 2 < rt < 4002. Vlastnost celých čísel, která je vyjádřena v malé větě Fermatově, uvedl Fermat bez důkazu již roku 1640 v do-pise svému příteli. První důkaz malé věty Fermatovy podal roku 1736 slavný člen petrohradské akademie věd Leonhard Euler (1707—1783) a později Fermatovu větu ještě zobec-nil. Euler patří k největším a nejplodnějším matematikům všech dob. Svými pracemi zasáhl podnětně do všech oborů matematiky a dosažené výsledky aplikoval s velkým úspě-chem na řešení různých problémů v jiných vědách matematicko-fyzikálních i v technické praxi. 104 Cvičení 9.1. S částečným využitím malé věty Fermatovy i vět dříve poznaných dokažte, že pro každé celé číslo x je číslo y = x"' — x násobkem čísla 210. 9.2. Využitím výsledku předcházející úlohy dokažte, že pro každé celé číslo x je číslo x1 -f 105x2 + 104* násobkem čísla 210. 9.3. S použitím malé věty Fermatovy dokažte pro každé ce-lé číslo a platnost těchto vztahů: a) 1105 | a1105 - a;b) 1387 | a1387 - a;c) 1729 | a1729 - a; d) 1905 | a1905 - a. 105 

9. kapitola. Malá věta Fermatova

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/403572/SkolaMladychMatematiku_014-1966-1_12.pdf

9. kapitola. Malá věta Fermatova

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.