The dissertation Exceptional sets in projection and slicing theorems contains a treatment of two classical topics in fractal geometry: projections and slicing. The thesis consists of an introductory chapter and two scientific articles; the new results extend a long line of research originated by J. M. Marstrand in 1954.
The first paper deals with projecting a planar set K onto lines. The fractal geometer is interested in the following question: what is the relation between the dimensions of K and its projections? In 1954, Marstrand proved that if the dimension of K lies between zero and one, then the projections tend to preserve dimension; for almost every line the dimension of the projection equals dim K. During its nearly 60 years of existence, this theme has spawned countless variations. In the thesis, special attention is given to scrutinizing the words almost every line in Marstrand s theorem. The words cannot be entirely omitted (an illustrative example is given by projecting the y-axis onto the x-axis), but they can be sharpened in many cases. The definition used by Marstrand allows for a fairly large set of exceptional lines , the projection onto which fails to preserve the dimension of K. It turns out that better bounds for the size of this exceptional set can be obtained through a more intricate analysis.
The second paper is thematically close akin to the first; it takes up another 1954 result by Marstrand, the slicing theorem , and examines the exceptional set estimates therein. To explain the slicing theorem, fix a planar set K with dimension greater than one. This time, the set K is intersected with various planar lines. What is the dimension of these slices of K? In general, one cannot expect to find a single constant answering the question: if K is bounded, many lines evade K altogether, and the corresponding slices have dimension zero. However, not all slices of K can be so small. Marstrand showed that in almost every direction many lines meet K in a set of dimension dim K 1. In Marstrand s original formulation, the same definition for the words almost every was used as in the projection theorem, and, again, bounds for the size of the exceptional set can be improved with new techniques. In the thesis, similar estimates are also derived in a variant of the theorem where planar lines are replaced by more complicated curves.Matematiikan väitöskirjani Exceptional sets in projection and slicing theorems (suom. Poikkeusjoukot projektio- ja viipalointilauseissa) käsittelee kahta klassista ongelmaa fraktaaligeometriassa: joukkojen projisointia ja viipalointia. Väitöskirja koostuu johdannosta sekä kahdesta tieteellisestä artikkelista; näiden sisältämät uudet tulokset ovat jatkoa kehityskululle, joka sai alkunsa J. M. Marstrandin työstä vuonna 1954.
Väitöskirjan ensimmäinen artikkeli käsittelee tason osajoukon K projisointia suorille. Fraktaaligeometrian kannalta olennainen kysymys on seuraava: millainen yhteys on joukon K ja sen projektioiden dimensioilla? Marstrand osoitti vuonna 1954, että jos K:n dimensio dim K on nollan ja yhden välillä, projektioiden dimensio on dim K melkein kaikilla suorilla. Tämä teema on lähes 60 vuodessa poikinut lukemattomia muunnelmia, ja näihin lukeutuvat myös artikkelini tulokset. Erityisroolissa on sanojen melkein jokaisella täsmentäminen. Sanoista ei voida tyystin luopua Marstrandin lauseessa (havainnollinen esimerkki on y-akselin projisointi x-akselille) mutta ne voidaan korvata tarkemmalla väitteellä. Marstrandin käyttämä määritelmä sallii melko suuren joukon poikkeuksellisia suoria, joilla projektion dimensio poikkeaa luvusta dim K; tämän poikkeusjoukon koolle saadaan parempia arvioita analyysiä tarkentamalla.
Väitöskirjan toinen artikkeli on aiheeltaan lähellä ensimmäistä: taas tarkennetaan poikkeusjoukkoarvioita Marstrandin lauseessa vuodelta 1954, tosin kyse on eri lauseesta kuin yllä. Kiinnitetään tason osajoukko K, jonka dimensio on yli yhden. Tällä kertaa joukkoa K ei projisoida vaan sitä leikellään suorilla. Mikä on näiden K:n viipaleiden dimensio? Yleisesti ei ole toivoa löytää vain yhtä vakiota, joka olisi sama melkein kaikilla suorilla: jos K on rajoitettu, leikkaus on usein tyhjä, ja silloin viipaleiden dimensio on nolla. Osoittautuu kuitenkin, etteivät kaikki viipaleet voi olla näin pieniä; Marstrand todisti, että melkein jokaisessa suunnassa monet suorat leikkaavat joukkoa K dimensiossa dim K 1. Lauseen alkuperäisessä muotoilussa käytetään samaa melkein jokaisessa sanojen määritelmää kuin projektioiden yhteydessä, ja poikkeusjoukkoarvioita voidaan jälleen tarkentaa uusilla tekniikoilla. Väitöskirjassani johdetaan vastaavia arvioita myös tapauksessa, jossa tason suorat korvataan monimutkaisemmilla käyräperheillä
