Ryhmät ovat yksinkertaisina mutta elegantteina algebrallisina rakenteina jo pitkään olleet keskeinen
osa niin puhdasta kuin sovellettuakin matematiikkaa. Erityisesti ryhmät soveltuvat erilaisten
symmetrioiden esittämiseen. Ryhmien esitysteoriassa voidaan ryhmien rakennetta koskevia ongelmia
palauttaa lineaarialgebran ongelmiksi, jotka ovat hyvin ratkaistavissa. Tämä tapahtuu
kuvaamalla ryhmä homomorfisesti lineaarikuvausten ryhmään. Osoittautuu myös mielenkiintoiseksi
tutkia jo itsessään lineaarikuvauksista muodostuvien ryhmien epätriviaaleja lineaarisia
esityksiä.
Erityisen tarkastelun kohteena tutkielmassa on klassinen matriisiryhmä SO(3), joka siis koostuu
avaruuden ℝ3 rotaatiokuvauksista. Ryhmä SO(3) muiden klassisten matriisiryhmien tapaan
on erityisesti ns. Lien ryhmä, ts. sileä monisto siten, että ryhmän operaatio ja käänteisalkion
muodostaminen ovat vastaavassa mielessä sileitä kuvauksia (Sophus Lie, 1842-1899). Monistoja
puolestaan voidaan luonnehtia käyrien ja pintojen yleistyksiksi. Tarkemmin ilmaistuna monisto
on topologinen avaruus, joka on lokaalisti euklidinen, ts. jokaisella pisteellä on ympäristö, joka
on homeomorfinen jonkin euklidisen avaruuden ℝn avoimen joukon ts. kartan kanssa. Monisto
on sileä, jos siirtymät karttojen välillä ovat avaruuden ℝn sileitä kuvauksia.
Lien ryhmät ovat merkillisiä monistoja siinäkin mielessä, että niiden geometria on pitkälti kuvattavissa
algebrallisesti ns. Lien algebran avulla. Osoittautuu, että tämä Lien ryhmää vastaava
Lien algebra saadaan aina moniston tangenttiavaruudesta neutraalialkiolle. Riittävän siistissä
tapauksessa koko ryhmän geometria määräytyy pelkästään sitä vastaavasta Lien algebrasta.
Kuitenkin aina neutraalialkion sisältävä yhtenäinen komponentti määräytyy Lien ryhmää vastaavasta
Lien algebrasta.
Lien ryhmien esitysteoria eroaa hieman äärellisten ryhmien esitysteoriasta, sillä ryhmän rakenteen
säilymisen homomorfismissa lisäksi vaaditaan moniston sileän struktuurin säilymistä.
Lisäksi useat Lien ryhmät, kuten SO(3), ovat kompakteja. Tämä tarkoittaa puolestaan sitä,
että käyttöön saadaan myös kompaktien topologisten ryhmien esitysteorian tulokset, kuten unitaaristen
esitysten olemassaolo ja Peterin ja Weylin lause (Hermann Weyl, 1885-1955 sekä
hänen oppilaansa Fritz Peter, 1899-1949). Nämä perustuvat pohjimmiltaan ns. Haarin mitan
(Alfréd Haar, 1885-1933) olemassaoloon kaikilla lokaalisti kompakteilla topologisilla ryhmillä,
joita kompaktit ryhmät tietysti ovat.
Tutkielman päätuloksena esitetään ryhmän SO(3) redusoitumattomien esitysten konstruktio,
sekä todistus sille, että kaikki muut redusoitumattomat esitykset ovat ekvivalentteja tälle konstruktiolle.
Konstruktiossa päädytään ns. palloharmonisiin funktioihin.</p