Ryhmä SO(3) ja sen lineaariset redusoitumattomat esitykset

Abstract

Ryhmät ovat yksinkertaisina mutta elegantteina algebrallisina rakenteina jo pitkään olleet keskeinen osa niin puhdasta kuin sovellettuakin matematiikkaa. Erityisesti ryhmät soveltuvat erilaisten symmetrioiden esittämiseen. Ryhmien esitysteoriassa voidaan ryhmien rakennetta koskevia ongelmia palauttaa lineaarialgebran ongelmiksi, jotka ovat hyvin ratkaistavissa. Tämä tapahtuu kuvaamalla ryhmä homomorfisesti lineaarikuvausten ryhmään. Osoittautuu myös mielenkiintoiseksi tutkia jo itsessään lineaarikuvauksista muodostuvien ryhmien epätriviaaleja lineaarisia esityksiä. Erityisen tarkastelun kohteena tutkielmassa on klassinen matriisiryhmä SO(3), joka siis koostuu avaruuden &#8477;3 rotaatiokuvauksista. Ryhmä SO(3) muiden klassisten matriisiryhmien tapaan on erityisesti ns. Lien ryhmä, ts. sileä monisto siten, että ryhmän operaatio ja käänteisalkion muodostaminen ovat vastaavassa mielessä sileitä kuvauksia (Sophus Lie, 1842-1899). Monistoja puolestaan voidaan luonnehtia käyrien ja pintojen yleistyksiksi. Tarkemmin ilmaistuna monisto on topologinen avaruus, joka on lokaalisti euklidinen, ts. jokaisella pisteellä on ympäristö, joka on homeomorfinen jonkin euklidisen avaruuden &#8477;n avoimen joukon ts. kartan kanssa. Monisto on sileä, jos siirtymät karttojen välillä ovat avaruuden &#8477;n sileitä kuvauksia. Lien ryhmät ovat merkillisiä monistoja siinäkin mielessä, että niiden geometria on pitkälti kuvattavissa algebrallisesti ns. Lien algebran avulla. Osoittautuu, että tämä Lien ryhmää vastaava Lien algebra saadaan aina moniston tangenttiavaruudesta neutraalialkiolle. Riittävän siistissä tapauksessa koko ryhmän geometria määräytyy pelkästään sitä vastaavasta Lien algebrasta. Kuitenkin aina neutraalialkion sisältävä yhtenäinen komponentti määräytyy Lien ryhmää vastaavasta Lien algebrasta. Lien ryhmien esitysteoria eroaa hieman äärellisten ryhmien esitysteoriasta, sillä ryhmän rakenteen säilymisen homomorfismissa lisäksi vaaditaan moniston sileän struktuurin säilymistä. Lisäksi useat Lien ryhmät, kuten SO(3), ovat kompakteja. Tämä tarkoittaa puolestaan sitä, että käyttöön saadaan myös kompaktien topologisten ryhmien esitysteorian tulokset, kuten unitaaristen esitysten olemassaolo ja Peterin ja Weylin lause (Hermann Weyl, 1885-1955 sekä hänen oppilaansa Fritz Peter, 1899-1949). Nämä perustuvat pohjimmiltaan ns. Haarin mitan (Alfréd Haar, 1885-1933) olemassaoloon kaikilla lokaalisti kompakteilla topologisilla ryhmillä, joita kompaktit ryhmät tietysti ovat. Tutkielman päätuloksena esitetään ryhmän SO(3) redusoitumattomien esitysten konstruktio, sekä todistus sille, että kaikki muut redusoitumattomat esitykset ovat ekvivalentteja tälle konstruktiolle. Konstruktiossa päädytään ns. palloharmonisiin funktioihin.</p