Šefket Arslanagić

Croatian

Arslanagić, Šefket

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

77atka 27 (2018./2019.) br. 106VIŠE RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJEŠefket Arslanagić, SarajevoNastava geometrije u osnovnoj školi od iznimne je važnosti. Naravno, usvajanje toga znanja mora biti sustavno; prvo treba usvojiti osnov-ne pojmove i važne aksiome, a zatim određeni broj poučaka koji se odnose na trokute, četverokute, krug, itd. U ovome članku dat ćemo više različitih rješe-nja jednoga zanimljivog zadatka o trokutu. Istaknuo bih ovdje misao jednog velikog matematičara da je vrednije riješiti jedan zadatak na dva ili više načina nego desetine zadataka na jedan te isti način.Dakle, riječ je o sljedećem zadatku:Neka je točka D polovište stranice AB  trokuta DABC, a točka E nalazi se na stranici AC  ovoga trokuta tako da vrijedi |AE| = 2|EC|. Dokažimo da pravac BE raspolavlja težišnicu CD  trokuta ABC∆ .Dokaz 1. Neka je točka G polovište dužine AE . Tada je očito |AG| = |GE| = = |EC| i DG BE  (jer je dužina DG  srednjica trokuta DABE), (Slika 1.). Neka je točka F  presjek dužina BE  i CD . U trokutu GDC∆  sada je DG FE  i |GE| = = |EC|, odakle slijedi da je |DF| = |FC|. Dakle, točka F je polovište dužine CD , a to je trebalo dokazati.                   Slika 1.Dokaz 2. Neka je ADF BDFu p p∆ ∆= = , AFEv p∆= , CFEw p∆=  i BFCz p∆=  (Slika 1.). Tada je:( )2 2u v w z+ = +odakle zbog 2v w= slijedi da je:2 2u z= , tj.u z=iliBDF BFCp p∆ ∆= .Budući da ova dva trokuta imaju zajedničku visinu iz vrha B na pravac CD, slijedi da su im osnovice CF  i DF  jednake, što znači da je točka F polovi-šte težišnice CD , što je trebalo dokazati.MATKA 106.indd   77 27.11.2018.   6:42:0178atka 27 (2018./2019.) br. 106Dokaz 4. Neka je točka K polovište stranice AC  trokuta DABC; tada je |BC| = 2|DK| i BC DK (Slika 3.).Neka se pravci BE i DK sijeku u točki N. Trokuti EBCD  i ENKD  su slični te vrijedi da je |EC| = 2|EK|, odakle slijedi da je |BC| = 2|KN| te |DN| = |BC|. To znači da je četverokut DBCN paralelogram čije se dijagonale BN  i CD  sijeku u točki F (koja je zajedničko polovište obiju dijagonala), što je trebalo dokazati.Slika 2.Slika 3.Dokaz 5. Očigledno vrijede sljedeće jednakosti:  12BDE ADE ABE BECp p p pD D D D= = = .                   Slika 4.Neka je točka F  presjek dužina BE  i CD . Neka su točke P i Q redom noži-šta okomica iz točaka D i C na pravac BE (Slika 4.). Budući da je BDE BECp pD D= , s tim što ova dva trokuta imaju zajedničku osnovicu BE , to slijedi da su i visi-ne tih trokuta DP  i CQ  sukladne, tj. vrijedi |DP| = |CQ|. Budući da su trokuti DPFD  i CQFD  slični pravokutni trokuti za koje vrijedi |DP| = |CQ|, to su ti trokuti također i sukladni pa je |DF| = |CF|, što je trebalo dokazati.Dokaz 3. Neka je točka M polovište dužine BE . Tada je 12DM AE EC= =  i DM AC  (Slika 2.).Neka je točka F  presjek dužina BE  i CD . Budući da je sada |∠CEF| = = |∠DMF| i |∠ECF| = |∠FDM| kao i |DM| = |EC|, slijedi da su trokuti DCEF i DDMF sukladni. Odavde slijedi da je |CF| = |FD|, što je trebalo dokazati.MATKA 106.indd   78 27.11.2018.   6:37:5279atka 27 (2018./2019.) br. 106Dokaz 5. Očigledno vrijede sljedeće jednakosti:  12BDE ADE ABE BECp p p pD D D D= = = .Dokaz 6. U prethodnom smo dokazu koristili činjenicu da je BDE BECp pD D= . Sada imamo (Slika 4.): ( ) ( ): : : : : 1 :1DEF CEF BDF CBF DEF DBF CEF CBF BDE BECDF CF p p p p p p p p p pD D D D D D D D D= = = + + = =( ) ( ): : : : : 1 :1DEF CEF BDF CBF DEF DBF CEF CBF BDE BECDF CF p p p p p p p p p pD D D D D D D D D= = = + + = = ,a odavde slijedi da je |DF| = |CF|, što je trebalo dokazati.Rješenje 7. Neka točka U pripada stranici BC  trokuta DABC tako da je DU AC  (Slika 5.).                            Slika 5.Neka se pravci DU  i BE sijeku u točki V. Tada je 2|EC| = |AE| = 2|DV| (jer je dužina DV  srednjica trokuta DABE) pa je odavde |DV| = |EC|. Sada je |∠VDF| = |∠ECF| i |∠DFV| = |∠CFE| pa su trokuti DVFD  i CEFD  sukladni. Odavde slijedi da je |DF| = |CF|, što je trebalo dokazati.Kako vidimo, u ovih sedam raznih rješenja koristili smo se mnogim zna-čajnim činjenicama u vezi trokuta, kao što su teorem o srednjici trokuta, po-dudarnost i sličnost trokuta te činjenica da dva trokuta jednakih površina i osnovica imaju i jednake visine. U jednom smo dokazu koristili činjenicu da se dijagonale paralelograma polove. Izloženo je obilje raznih ideja koje mogu biti od velike koristi učenicima osnovne škole koji pokazuju veći interes za matematiku.Literatura:1.  Arslanagić, Š., Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo, 2005.2.  Arslanagić, Š., Zbirka riješenih zadataka sa takmičenja iz matematike učeni-ka osnovnih škola u Federaciji Bosne i Hercegovine (1996. – 2008.), Grafičar promet d.o.o., Sarajevo, 2008.3.  Marić, A., Planimetrija – Zbirka riješenih zadataka, Element, Zagreb, 1996.4.  Pavković, B., Veljan, D., Elementarna matematika 1, Tehnička knjiga, Za-greb, 1992.MATKA 106.indd   79 27.11.2018.   6:37:52

VIŠE RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia