Oggetto di studio di questa tesi sono alcuni problemi che riguardano le
estensioni abeliane di campi di numeri.
Inizialmente esponiamo alcuni risultati fondamentali di teoria algebrica dei numeri, che
costituiscono la base per il seguito del lavoro.
Introduciamo poi il concetto di divisore di un campo di numeri in modo da poter enunciare
i principali teoremi di class field theory nella formulazione più classica.
Il primo problema che affrontiamo riguarda la costruzione esplicita dell'Hilbert class field
del ventinovesimo campo ciclotomico. A tal scopo richiamiamo alcune delle proprietà che caratterizzano
i campi ciclotomici, in particolare quelle riguardanti il gruppo delle unità.
Pur essendo un problema essenzialmente di tipo computazionale,
la maggior parte del lavoro consiste
nel produrre un insieme sufficientemente piccolo di candidati generatori dell'estensione,
da cui sia possibile estrarre rapidamente, grazie all'utilizzo di un calcolatore, gli elementi cercati.
Calcoliamo quindi il gruppo di Galois assoluto dell'Hilbert class field in modo indipendente
da come abbiamo costruito l'estensione.
Presentiamo poi la teoria dei nodi di Scholz con alcune importanti conseguenze e studiamo
l'ℓ-rango del gruppo delle classi di ideali di un campo di numeri,
dove ℓ è un primo dispari, nel caso di estensioni cicliche assolute di grado ℓ.
Proponiamo infine una nuova dimostrazione di un risultato del 2007 di Nomura
che riguarda una condizione necessaria affinché la lunghezza dell'Hilbert 3-class field tower di
un campo ciclico cubico assoluto sia strettamente maggiore di 1
