Die Bedingung für die Aufspaltung einer Potenz in zwei Potenzen mit gleichem Exponenten ist eine Gleichung, die nur zwei Lösungen hat. Das ist unvereinbar mit Exponenten grösser als 2.The condition of splitting a power into two powers with the same exponent is an equation which has two solutions only. This is incompatible with exponents greater than 2

Trömel, Martin

German

Hochschulschriftenserver - Universität Frankfurt am Main

1Einfache Überlegungen zu Fermats letztem SatzMartin Trömel, Institut für Anorganische und Analytische Chemieder  Goethe-Universität Frankfurt, Max von Laue-Strasse 7, D-60438 Frankfurt am Main.e-mail: troemel@chemie.uni-frankfurt.deEinleitungPierre de Fermat (1601-1665) formulierte in seinem Exemplar einer lateinischen Übersetzungder Arithmetica des Diophantos (3. Jh. n.Chr.?), die 1621 im Druck erschienen war, alsRandnotizen achtundvierzig mathematische Theoreme ohne Beweis. Sein Sohn veröffentlichediese Notizen 1670 in einer Ausgabe dieses Werkes, in das die Randbemerkungen eingetragenwaren. Spätere Mathematiker bewiesen die Richtigkeit dieser Theoreme. Eins davon, dessenBeweis Andrew Wiles erst 1994/5 führen konnte, wird deshalb als „Fermats letzter Satz“bezeichnet. Es lautet:Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat in zwei Biquadrate undallgemein bis ins Unendliche irgend eine Potenz höher als das Quadrat in zweiPotenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen. Hierfür habe ich einen wahrhaftwunderbaren Beweis entdeckt. Aber der Rand ist zu schmal, ihn zu fassen.Lateinischer Text:Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos &generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominisfas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginisexiguitas non caperet.1Da dieser Satz erst auf Grund neuer Erkenntnisse bewiesen werden konnte und der Beweiskeineswegs einfach ist, ist bezweifelt worden, dass Fermat überhaupt einen Beweis gefundenhat. War es mit den mathematischen Methoden des 17. Jahrhunderts möglich, zu einemBeweis des Satzes zu gelangen?Überlegungen zu Fermats letztem SatzBei der Zerlegung einer Potenz in zwei Potenzen mit dem selben Exponenten muss dieZerlegungsgleichung erfüllt sein(1) zn -  xn -  yn =  0In dieser Gleichung n-ten Grades sind x, y, z und n natürliche Zahlen grösser als Null.xn und  yn stellen einer Zerlegung nur dar, wenn beide kleiner sind als zn.xn, yn und zn sind verschiedene Werte der selben Folge von Potenzen. Daher sind x, y und zWerte der selben Variablen. Diese wird hier als Unbekannte mit x bezeichnet:(2) xn -  x1n -  x2n =  0Kann xn in zwei Potenzen mit dem selben Exponenten zerlegt werden, so sind x1 und x2 diezwei Lösungen der Zerlegungsgleichung.Jede Gleichung n-ten Grades mit einer Unbekannten hat genau n Lösungen. Deshalbentspricht der Zerlegung von xn in x1n und x2n eine Gleichung mit zwei Lösungen, also einequadratische Gleichung. Das ist die Aussage von Fermats letztem Satz.Weiterführende ÜberlegungenAuch die Produktdarstellung einer Gleichung n-ten Grades mit der Unbekannten x und denLösungen x1, x2, ... xn(3) (x – x1)(x – x2) ... (x – xn)  =  0zeigt, dass nur eine quadratische Gleichung der Zerlegung in zwei Potenzen mit dem selben2Exponenten wie xn entspricht. Die Produktdarstellung ist das Produkt von n Linearfaktorender Form(4) (x – xL)  =  0wobei die xL die Lösungen bzw. die Nullstellen der Gleichung sind.Für n = 2 ist entsprechend dem Vietaschen Wurzelsatz(5) x2 – (x1 + x2)x + x1x2  =  0Mit dieser Gleichung kann für jedes pythagoreische Zahlentripel (x1,x2,x) dieZerlegungsgleichung aufgestellt werden. Für die kleinste zerlegbare Quadratzahl 25 mit dempythagoreischen Tripel (3,4,5) ist(6) x2 – 7x + 12  =  0Aus dem Vietaschen Wurzelsatz folgt auch x1 „ x2, da die Zerlegungsgleichung andernfallslinear wäre:(7) (x - x1)2  =  0 und x - x1  =  0Kubikzahlen können nicht in zwei andere zerlegt werden. Die Produktdarstellung derkubischen Gleichung(8) (x – x1)(x – x2)(x – x3)  =  0ist aber vereinbar mit einer Zerlegung in drei Kubikzahlen. So gilt für die kleinste zerlegbareKubikzahl 63 = 216 = 33 + 43 + 53 mit(9) (x – 3)(x – 4)(x – 5)  =  (x2 – 7x + 12)(x – 5)   =  0die Zerlegungsgleichung(10) x3 – 12x2 + 47x – 60  =  0Dass vierte Potenzen in vier andere mit dem selben Exponenten zerlegt werden können, zeigtdas Beispiel 3534 = 304 + 1204 + 2724 + 3154.Können solche Überlegungen Fermat zu seinem Beweis geführt haben?Der Satz, dass es zu jeder natürlichen Zahl n Gleichungen vom Grad n gibt, die genau nLösungen haben, wurde im ersten Drittel des 17. Jahrhunderts bekannt. Das wurde zunächstohne Beweis mitgeteilt,2 und zwar 1608 durch den Nürnberger Rechenmeister Peter Roth.3François Vietas (1540-1603) Wurzelsatz, 1615 postum veröffentlicht,4 enthält ebenfallskeinen Beweis, und Gericke diskutiert die Frage, ob der Wurzelsatz und Folgerungen darausohne den Aufbau der Gleichung aus den Linearfaktoren gefunden werden konnten.Eine weitere Veröffentlichung ohne Beweis (1629) stammt von Albert Girard (1595-1632).5Der Beweis, dass Gleichungen keine anderen Lösungen haben als die aus den Linearfaktorenablesbaren, was der Produktdarstellung der Zerlegungsgleichung entspricht, findet sich erst ineiner postumen Veröffentlichung von Thomas Harriot (ca. 1560-1621), die 1631 erschien.6Wenn Fermat seinen Beweis in der zweiten Hälfte der 1630er Jahre gefunden hat,7 so könnenihm alle diese Schriften bekannt gewesen sein, doch ist das nicht mehr nachweisbar. FermatsBemerkung, er habe den Beweis gefunden, könnte aber darauf hindeuten, dass er dieUntersuchung von Harriot nicht kannte. Vieta hatte in seinen Theoremen I bis IV denWurzelsatz für n = 2 bis n = 5 abgeleitet. Fermats mathematischen Arbeiten waren stark vonVieta beeinflusst,8  und in anderem Zusammenhang hält Gericke es für möglich, „daß jemand,der viel mit Gleichungen experimentiert, das Theorem I einfach sieht, und daß er, nachdem erden Aufbau dieser Gleichung durchschaut hat, auch die Aussagen für die höheren Gradekonstruieren kann.“9 Die Annahme, Fermat sei auf solche Art zu seinem Beweis gelangt, istdaher keineswegs unwahrscheinlich, und „wahrhaft wunderbar“ mag ihm erschienen sein, wieeinfach sich dann auf die Unmöglichkeit der Zerlegung aller höheren Potenzen bis insUnendliche, „in infinitum“, schliessen lässt.3Literatur und Anmerkungen1 Faksimile-Wiedergabe: Singh, Simon: Fermats letzter Satz. Die abenteuerlicheGeschichte eines mathematischen Rätsels. Deutscher Taschenbuch Verlag, München2000, Abbildung 6, S. 90.2 Gericke, Helmuth: Mathematik im Abendland, Fourier Verlag, Wiesbaden 2003.3 Roth, Peter: Arithmetica philosophica. Gericke, S. 270 sowie S. 342.4 Vieta, François: De emendatione aequationum XIV. Faksimile: Gericke, S. 268 sowieS. 345 f..5 Girard, Albert: Invention nouvelle en algebre. Zitat und Übersetzung: Gericke, S.271sowie S. 327.6 Harriot, Thomas: Artis analyticae praxis, s. Gericke, S. 270 f. sowie S. 328 f..7 Singh, S. 88, schreibt: um 1637.8 Gericke, S. 287.9 Gericke, S. 267.

Simple considerations on Fermat's last theorem

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