Im Rahmen philosophisch-mathematischer Ansätze steht häufig der kardinale Aspekt natürlicher Zahlen im Vordergrund, auf den sprachlich mit Kardinal-Konstruktionen („sieben Zwerge“) referiert wird. Zahlen werden jedoch nicht nur in solchen quantitativen, sondern auch in ordinalen („der dritte Mann“) oder nominalen Kontexten („Bus Nr.129“) gebraucht. Bei einer umfassenden Analyse des Zahlkonzepts sind daher auch diese Komponenten zu berücksichtigen

Wiese, Heike

German

Hochschulschriftenserver - Universität Frankfurt am Main

Heike WIESE, Berlin  (e-mail: heike.wiese@rz.hu-berlin.de)Komponenten und Entwicklung des Zahlkonzepts - eine Analyse im Lichte neuerer ent-wicklungspsychologischer und meßtheoretischer Ergebnisse1  Der konzeptuelle Status von ZahlenIm Rahmen philosophisch-mathematischer Ansätze steht häufig der kardinale Aspekt na-türlicher Zahlen im Vordergrund, auf den sprachlich mit Kardinal-Konstruktionen („siebenZwerge“) referiert wird. Zahlen werden jedoch nicht nur in solchen quantitativen, sondernauch in ordinalen („der dritte Mann“) oder nominalen Kontexten („Bus Nr.129“) ge-braucht. Bei einer umfassenden Analyse des Zahlkonzepts sind daher auch diese Kompo-nenten zu berücksichtigen.Für eine solche generelle Herangehensweise bietet sich die sog. „Repräsentationstheorieder Messung“ als Ausgangspunkt an: Dieser Ansatz ermöglicht es, die unterschiedlichenArten der Zahlzuweisung unter einer allgemeinen Definition von „Messung“ zusammen-zufassen, nämlich als homomorphe Abbildungen eines empirischen Relativs 1 auf ein nu-merisches Relativ 2 (vgl. Orth 1983).Auf dieser Basis lassen sich folgende Arten der „Messung“ - d.h. hier: der Zahlzuweisung - unter-scheiden (n sei jeweils die zugeordnete Zahl, u das gemessene Objekt):1•   numerische Quantifizierung: n zeigt die Mächtigkeit von u an (u ist eine Menge);•   Messung i.e.S.: n zeigt die Ausprägung einer extensiven Eigenschaft wie Länge oder Ge-wicht von u („direkte Messung i.e.S.“) oder die einer nicht-extensiven Eigenschaft wieTemperatur von u („indirekte Messung i.e.S.“) an;•   ordinale Numerierung: n zeigt den Rang von u in einer geordneten Menge D an;•   nominale Numerierung: n dient als „label“ zur Identifizierung von u in einer Menge D.Man kann die verschiedenen Meßarten danach einteilen, auf welchen Aspekt der natürli-chen Zahlen sie rekurrieren. Von der Art und Weise, wie eine Messung auf die jeweiligeRelation in > Bezug nimmt, hängt dann der Typ der ihr zugrundeliegenden Skala ab.Der Erwerb der verschiedenen Meßarten führt zur Ausbildung unterschiedlicher numeri-scher Konzepte, die im folgenden als „Anzahl“, „Rang“, „Maß“ und „Nummer“ analysiertwerden. Abb.1 skizziert die Zusammenhänge zwischen Eigenschaften natürlicher Zahlen,Meßarten und numerischen Konzepten:                                               1 Die relevanten Phänomene können hier nur skizziert werden; für eine ausführliche Diskussion unddetaillierte Definitionen der betreffenden Meßarten und der mit ihnen verknüpften numerischenKonzepte vgl. Wiese (1995; 1996).from:K. P. Müller, ed., Beiträge zum Mathema-tikunterricht 1997. Vorträge auf der 31.Tagung für Didaktik der Mathematik vom3. bis 7. März 1997 in Leipzig. Hildes-heim: Franzbecker, pp.545-548.bU\UfQ^dUb1c‘U[d f_^ >C[Q\U^￿di‘=U￿Qbd ^e]UbYcSXUc;_^jU‘dc‘bQSX\YSXUc   2UYc‘YU\quantitativ(jedes Element von >bildet den Abschlußeiner quantitativdefinitenTeilsequenz von >)absoluteSkalenVerhältnis-skalenIntervall-skalenNumerischeQuantifizierungMessung i.e.S: (a) direkte      Messung (b) indirekte      Messung„Anzahl“„Maß“ sieben Zwerge Eisen von  4 kg Gewicht Wasser von  4 0C Wärmeordinal(jedes Element von >hat eine bestimmtePosition in >)Ordinal-skalenOrdinaleNumerierung„Rang“der dritte Mann die Nr.1 in  meinem Leben   nominal(jedes Element von >ist von allen anderenElementenwohlunterschieden)Nominal-skalenNominaleNumerierung „Nummer“ Bus Nr.129 Meier zwoAbb.1Um in den diskutierten Arten der Messung als Bilder fungieren zu können, müssen Zahlenbestimmte Merkmale aufweisen, die mit den bereits von Dedekind (1887) aufgestelltenBedingungen für ein System > der natürlichen Zahlen übereinstimmen: (i) Alle Elementevon > müssen wohlunterschieden sein (nominaler Aspekt); (ii) > muß geordnet sein, jedesElement von > verweist dementsprechend auf einen bestimmten Rang (ordinaler Aspekt)sowie auf eine bestimmte Vorgängermenge einer definiten Quantität (quantitativerAspekt); (iii) > muß einfach unendlich sein und ist daher für beliebige Erweiterungen ver-fügbar.Zahlen sind nach dieser Auffassung nicht bestimmte abstrakte Entitäten, sondern als Men-ge der natürlichen Zahlen gebraucht zu werden ist eine Funktion, die von allen Sequen-zen erfüllt werden kann, die die genannten Eigenschaften aufweisen. Die hier entwickelteAnalyse ist damit anders als andere Ansätze weder auf den kardinalen noch den ordinalenAspekt natürlicher Zahlen festgelegt, sondern kann die Verwendung von Zahlen zur Ab-bildung sowohl quantitativer als auch ordinaler und selbst nominaler Eigenschaften erfas-sen.Interessanterweise werden die genannten Bedingungen bereits von den Zählsequenzennatürlicher Sprachen erfüllt (vgl. hierzu auch Wiese 1995; 1996). Für den Bereich dercommon sense-Ontologie können diese daher als Systeme in Zahlfunktion identifiziertwerden; der Erwerb der Zählsequenz bildet eine wesentliche Basis für die Entwicklungnumerischer Konzepte.2  Numerische KonzepteFür das Zahlkonzept kann somit als Basiskomponente die Repräsentation einer Sequenz >von Zählwörtern zugrundegelegt werden, die aufgrund ihrer rekursiven Struktur eine un-endliche Menge wohlunterschiedener (sprachlicher) Entitäten bilden. Auf diese Sequenzgreifen verschiedene numerische Konzepte zu, die die oben diskutierten Arten der Zahl-zuweisung repräsentieren:(i)   Anzahl:R e p r äsentation einer numerischen Quantität n;(ii)  Rang:R e p r äsentation eines numerisch definiten Stellenwerts n in einer geordnetenMenge D;(iii) Nummer:Repräsentation eines numerischen „labels“ n zur Identifikation eines Objektsin einer Menge D.Diese Konzepte können mithilfe der folgenden Definitionen formalisiert werden(für jedes x £ > sei >x jeweils die kleinste Teilmenge von >, für die gelte: für alle Q £ >: Q £ >x genau dann, wenn Q x x):Definition 1: Anzahlzuweisung (numerische Quantifizierung):Sei n £ > (d. h. n ist Element der Zählsequenz) und sei D eine Menge;dann sei Anz(D D,n) wahr genau dann,wenn es eine eineindeutige Abbildung { von D auf >n gibt.Definition 2: Stellenwertzuweisung (ordinale Numerierung)Sei n £ >; sei D eine Progression, die durch eine Relation R geordnet ist, und sei a £ D;dann sei Nuord(a,D D,n) wahr genau dann,wenn eine eineindeutige Abbildung { von D auf >p existiert,so daß xRy genau dann, wenn {(x) ￿ {(y) für alle x,y £ D, und {(a) = n.Definition 3: Zuweisung numerischer „labels“ (nominale Numerierung)Sei n £ >; sei D eine Menge und sei a £ D; dann sei Nunom(a,D D,n) wahr genau dann,wenn es eine injektive Funktion { von D auf > gibt und {(a) = n.Auf diesen Konzepten findet eine Reihe von Operationen statt:•   Die Konzepte niedriger Anzahlen werden mit frühen, vermutlich angeborenen Konzep-ten der „Einheit“, „Zweiheit“ und „Dreiheit“ verbunden.•   Neben > wird ein weiteres System in Zahlfunktion, das System JY von Ziffern, erwor-ben, das mit > korreliert wird.•   Durch Abstraktion von konkreten Anzahlen entsteht das Konzept „Ganze Zahlm“, dasReferenten einfacher mathematischer Aussagen repräsentiert.•   Das Konzept „Maß“ repräsentiert die Korrelation von Objekten mit diskreten Mengenvon Maßobjekten im Rahmen der Messung i.e.S. und ermöglicht so mittelbar die Ver-knüpfung von extensiven und nicht-extensiven Eigenschaften mit Anzahlen.3  Struktur des ZahlkonzeptsDiese, miteinander verknüpften und in je unterschiedlicher Weise auf die Zählsequenz be-zogenen Komponenten machen die Struktur des Zahlkonzepts aus:Auf die Repräsentation einer einfach unendlichen Sequenz > von Zählwörtern greifen ver-schiedene, miteinander verknüpfte und aufeinander aufbauende numerische Konzepte zu,deren Erwerb jeweils auf dem Erlernen bestimmter Meßverfahren basiert.Abb. 2 gibt einen abschließenden Überblick über den Aufbau des Zahlkonzepts:            „Einheit“           „Zweiheit“          „Dreiheit“                                                   >J YAnwendung       Korrelation      Verbindung      Numerische  Quantifizierung        Anwendung     „Anzahl“ (Anz)          Abstraktion                                                         Numerierung„Ganze Zahlm“         Anwendung                                                          ordinal               nominal  Messung i.e.S. „Rang“ (Nuord)  „Nummer“ (Nunom)     „Maß“Abb.2LiteraturnachweisDedekind, Richard (1887): Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig: Viehweg.Orth, Bernhard (1983): Grundlagen des Messens. In: Feger, H. et al. (Hg.): Messen und Testen. Göttin-gen. S.136-180.Wiese, Heike (1995): Semantische und konzeptuelle Strukturen von Numeralkonstruktionen. In: Zeit-schrift für Sprachwissenschaft 1995/14;2: S.181-235. - (1996): Zahl und Numerale. Eine Untersuchung zur Korrelation sprachlicher und konzeptueller Struktu-ren. Diss., Humboldt-Universität Berlin.

Komponenten und Entwicklung des Zahlkonzepts : eine Analyse im Lichte neuerer entwicklungspsychologischer und meßtheoretischer Ergebnisse

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