Burde, Gerhard

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Hochschulschriftenserver - Universität Frankfurt am Main

66 Forschung Frankfurt 2/2008Forschung aktuellAtome. Wie viele gibt es überhaupt davon? Mit zwei Henkeln gibt es genau drei verschiedene Flächen, auf denen insgesamt 11 verschiedene reguläre Dessins möglich sind, bei drei Henkeln (also g = 3) sind es acht verschiedene Flächen mit insgesamt 25 verschiedenen Parketten, eines davon in den Bildern 3 und 4 zu se-hen, und für g = 4 gibt es bereits 11 Flächen und 28 Parkette. Mathematiker in der Slowakei und in Neu-seeland lassen mit sportlichem Ehrgeiz ihre Computer heiß laufen, um zu sehen, wie es weitergeht: Wir ken-nen neuerdings solche Anzahlen bis zur Größenord-nung von g = 100, sehen aus den neuesten Tabellen allerdings vor allem, dass sie sehr unregelmäßig an-wachsen und von komplizierten arithmetischen Eigen-schaften der Zahl g abhängen. Wächst g in astronomi-sche Größenordnungen, dann gibt ein ebenfalls in Frankfurt gefundenes Resultat/4/ wenigstens eine grobe Größenordnung für diese Anzahl: Sie wächst mit g schneller als jedes Polynom, aber langsamer als die Ex-ponentialfunktion. Genauer gesagt lässt sich die An-zahl nach oben und unten durch Potenzen von glog g eingrenzen.Ebenso wie andere Wissenschaften wird auch Ma-thematik besonders faszinierend, wenn unerwartete Querverbindungen sichtbar werden, sei es zu Nachbar-wissenschaften, sei es zwischen Teildisziplinen, die sonst wenig miteinander gemein haben. Hier sind es die geometrische Symmetrie regulärer Parkettierungen einerseits und die Arithmetik von Gleichungen ande-rerseits – und vielleicht eines Tages die Grundlagen der Physik, wenn sich deren kühne Spekulationen be-wahrheiten.  ◆sins auf der Kugel. Wir haben gezeigt, dass aber – an-ders als beim Torus und der Kugel – Flächen höheren Geschlechts höchstens 24 reguläre Dessins gleichen Typs besitzen können, die nach festen Regeln ausein-ander hervorgehen./2/Wie schon angedeutet, spielen quasiplatonische Flä-chen und ihre regulären Dessins oder Parkette für die arithmetisch interessanten Riemann’schen Flächen eine ähnliche Rolle wie das Periodensystem für dieDie AutorenDr. Ernesto Girondo, 34, hat 2001 an der Universidad Autónoma de Madrid promo-viert und bald darauf eine fast zweijährige Postdoc-Zeit in Frankfurt bei der Ar-beitsgruppe von Prof. Wolfart verbracht, zunächst mit einem Stipendium der spa-nischen Regierung, dann als Humboldt-Stipendiat. Er interessiert sich vor allem für Riemann’sche Flächen und hat auf diesem Gebiet eine Reihe von Veröffent-lichungen vorzuweisen. Nach seiner Rückkehr hat er für das CSIC, eine bedeu-tende spanische Forschungsorganisation, gearbeitet und hat jetzt eine Professur an der Universidad Autónoma de Madrid inne. Seine gegenwärtigen Forschungs-projekte schlagen eine Brücke zwischen Geometrie, Algebra und Zahlentheorie.Prof. Dr. Jürgen Wolfart, 63, studierte Mathematik und Physik in Hamburg und Freiburg, nach seiner Promotion und einem Postdoc-Jahr in Paris habilitierte er sich 1976 in Freiburg. 1979 wurde er an die Universität Frankfurt berufen. Er ar-beitet über Riemann’sche Flächen und Zahlentheorie; zu seinen Veröffentlichun-gen gehört ein 1996 erschienenes Lehrbuch über »Zahlentheorie und Algebra«. Wolfart war 1986/87 Dekan und 2001 bis 2003 Studiendekan des Fachbereichs Mathematik, 2007 erhielt er den zweiten Preis für exzellente Lehre der 1822- Stiftung. Er pﬂ  egt wissenschaftliche Kontakte und Austauschprogramme mit   Madrid, Southampton und Chiba (Japan).ernesto.girondo@uam.es    wolfart@math.uni-frankfurt.dehttp://www.math.uni-frankfurt.de/~wolfartVon echten und unechten KnotenEin Beweis mit drei Farben1 Die Kleeblattschlinge ist ein echter Knoten. Sie kann nicht durch irgendwelche Veränderungen ihrer Lage im Raum oder »Deformation«, wie der Mathe  matiker sagt, in einen   ebenen Kreis überführt werden.Die Mathematiker verstehen unter einem »Knoten« eine geschlossene Raumkurve. Es handelt sich um einen »echten« Knoten, wenn diese nicht in eine ebe-ne Kreislinie »deformierbar« ist. Der in Figur 1 abge-bildete Knoten, eine »Kleeblattschlinge«, ist echt.von Gerhard BurdeDabei ist »Deformation« sinnfällig beschrieben, wenn man sich die Raumkurve als elastisches Seil vorstellt, das man beliebig deformieren darf, ohne das Seil zu zer  stören. Die Knotentheorie ist für den Mathematiker deshalb interessant, weil sie Auskunft über topologi-sche Eigenschaften des Raumes gibt. Die Existenz von echten Knoten im Raum – genauer im mathemati-schen Modell des physikalischen Raumes, im »Euklidi-schen« Raum – ist ein geometrisches Grundphänomen dieses Raumes.Wir erfahren den physikalischen Raum mit unserer Wahrnehmung »lokal«, von unserem Standpunkt aus, und für unsere lokale Umgebung hat sich das Modell des Euklidischen Raumes gut bewährt. Ein Raum, der lokal überall so aussieht wie der Euklidische, wird eine (drei-di  mensionale) Mannigfaltigkeit genannt. Was ist damit gemeint? Für die Bewohner einer Kugeloberﬂ  äche sieht der Raum lokal wie eine ﬂ  ache Scheibe aus. Gleiches gilt aber auch für die Bewohner auf einer beliebigen an-06 UNI 2008_02 Teil 02 Fa.indd   66 06 UNI 2008_02 Teil 02 Fa.indd   66 26.06.2008   12:24:49 Uhr 26.06.2008   12:24:49 Uhr7Ω21234562 Ω–1Ω3 2xΩ3 2x1 Ω–1Ω3,1 Ω–1, 2 Ω–11 Ω–1, 2 Ω–11 Ω–1, 2 Ω–1Forschung Frankfurt 2/2008 67Forschung aktuellwerden Deformationen des Knotens seine Projektio-nen stark verändern. Wir betrachten Typen solcher Veränderungen.Die drei Prozesse Ωi und ihre »Inversen« Ωi –1, i = 1, 2, 3, verändern die Projektionen »wesentlich«, das heißt, sie verändern die Zahl der Kreuzungspunkte (Ω1  ±1, Ω 2 ±1) oder deren Lage zueinander (Ω 3 ±1). Tatsäch-lich kommt man mit zwei von diesen sechs Prozessen aus, das heißt, zwei (reguläre) Knotenprojektionen ge-hören genau dann zum selben Knoten, wenn sie durch eine endliche Abfolge dieser Prozesse ineinander über-gehen./1/ /2/ Diese Überlegungen gehen auf Kurt Reide-meister (1893 – 1971) zurück, einen der Väter der Kno-tentheorie; die Ωi±1 heißen auch »Reidemeister-Pro-zesse«.Wie weit tragen diese Prozesse? Kann man sie für einen Algorithmus nutzen, der entscheidet, ob zwei Projektionen zum selben Knoten gehören? Es gibt nur endlich viele reguläre Projektionen mit einer Anzahl von Überkreuzungen, die eine beliebige, aber fest ge-wählte Zahl nicht überschreiten. Leider kann sich die Zahl der Überkreuzungen während des Übergangs von einer (regulären) Projektion zu einer anderen dessel-ben Knotens mit der Ωi ±1 unkontrolliert erhöhen; eine deren Fläche. Lokal betrachtet sehen alle diese Flächen gleich aus, weshalb man von Mannigfaltigkeit spricht.Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit kann als plausibles Raum  modell für das Weltall gelten, wenn man von einzelnen »Singularitäten« einmal absieht. Die drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sind in den letzten 100 Jahren intensiv erforscht worden, und es wurde gerade in letzter Zeit ein gewisser Abschluss er-reicht  – davon soll aber hier nicht die Rede sein. Uns sollen Knoten interessieren, die bei dem Studium von Mannigfaltigkeiten eine große Rolle spielen. Die »Kno-tentheorie« einer Mannigfaltigkeit, das heißt, ihre ech-ten Knoten und deren Deformationen in ihr sind »glo-bale« Eigenschaften dieser Mannigfaltigkeit. Sie kom-men erst zum Tragen, wenn man sie als Ganzes be  trachtet. Es gibt ein- und drei-dimensionale Mannig-faltigkeiten, in denen eine Kleeblattschlinge kein ech-ter Knoten ist. Auch die Dimension einer Mannigfal-tigkeit hängt mit ihrer Knotentheorie zusammen: In der Euklidischen Ebene und in den Euklidischen Räu-men einer Dimension > 3 gibt es keine echten Knoten.Die Hauptfrage der Knotentheorie ist: Wann sind zwei Knoten ineinander deformierbar? Tatsächlich gibt es einen Algorithmus, der diese Frage entscheidet – er überschreitet aber den Rahmen dieses Beitrags bei wei-tem. Auf diese Weise erhält man eine Klassiﬁ  kation der Knoten. Kehren wir zur Kleeblattschlinge im drei-di-mensionalen Raum zurück. Ist sie wirklich ein echter Knoten? Alle Versuche, sie in einen Kreis zu deformie-ren, schlagen fehl. Aber wie lässt sich zweifelsfrei bewei-sen, dass die Kleeblattschlinge ein echter Knoten ist?Wie Mathematiker Knoten deformierenDie Figur 1 stellt eine »Knotenprojektion« dar. Sie heißt »regulär«, weil sie nur endlich viele Kreuzungs-punkte enthält. Man kann jede Projektion durch »klei-ne« Deformationen regulär machen. Im Allgemeinen Ω–13Ω3Ω–11Ω1Ω22 Ω–12 Kurt Reide-meister, einer der Väter der Knoten-theorie, erkannte, dass man durch eine endliche Ab-folge der abgebil-deten sechs De-formationen zwei gleiche Knoten in-einander überfüh-ren kann.3 Echter oder unechter Knoten? Mit Hilfe der Reidemeister-Prozesse lässt sich zeigen, dass das kompliziert aussehende Gebilde in einen Kreis überführt werden kann.Der AutorProf. Dr. Gerhard Burde, 77, promovierte 1961 in Göttingen bei Kurt Reidemeister. Er war von 1971 bis 1996 Professor an der Goethe-Universität. Seine Forschungsschwerpunkte waren Knoten, Verkettungen, Zöpfe, 3-Mannigfaltigkeiten und ihre algebraischen Invarianten.burde@math.uni-frankfurt.de06 UNI 2008_02 Teil 02 Fa.indd   67 06 UNI 2008_02 Teil 02 Fa.indd   67 26.06.2008   12:24:50 Uhr 26.06.2008   12:24:50 Uhr68 Forschung Frankfurt 2/2008Forschung aktuellSatz: Lässt eine reguläre Knotenprojektion eine nicht-triviale Färbung zu, so ist sie die Projektion ei-nes echten Knotens. Zum Beweis zeigen wir: Eine nicht-triviale zulässige Färbung bleibt bei den Reidemeister-Prozessen erhal-ten! Da die Kreislinie nur die triviale Färbung zulässt, ist damit alles gezeigt. In Figur 2 markieren Kreise den Bereich, in dem die »lokalen« Ω i-Prozesse stattﬁ  nden – außerhalb bleibt die Projektion unverändert. Ist die Färbung innerhalb der Kreise, in der die Veränderung der Projektion stattﬁ  ndet, trivial, so bleibt sie dort trivi-al. Ist das nicht der Fall, so gilt: Man kann stets mit der Ω i ±1-Änderung die Färbung innerhalb des Kreises so (zulässig) ändern, dass außerhalb des Kreises alles beim Alten bleibt. Betrachten wir zwei Beispiele:Offenbar treten nur wenige Fälle auf – bei denen die Farben anders verteilt sind – die Behauptung ist immer richtig; davon kann sich der Leser selbst überzeugen. Schranke für diese Erhöhung ist nicht bekannt. Daher ist ein derartiger Algorithmus auf solch elementare Weise nicht gelungen. Die Figur 3 zeigt die Projektion eines Kreisknotens; man kann ihn leicht mit Reide-meister-Prozessen in die Kreislinie überführen – aller-dings nur, wenn man zwischendurch die Anzahl der Kreuzungen vermehrt. Man erkennt dies daran, dass an der Figur 3 nur die Prozesse Ω 1 und Ω 2 überhaupt durchführbar sind, und diese vermehren die Kreu-zungszahl.Die Färbung echter KnotenFür den folgenden Beweis benötigen wir den Begriff des »Bogens«. In einer Projektion verstehen wir dar-unter ein Teilstück, das unterkreuzend an einer Kreu-zung beginnt und bis zu der Kreuzung verläuft, wo es zum ersten Mal wieder unterkreuzt. Figur 1 enthält drei, Figur 3 sieben Bögen. Wir färben die Bögen mit den drei Farben a, b, c. Die Färbung heißt »zulässig«, wenn an jeder der Kreuzungen entweder alle drei oder nur eine der Farben auftritt. Eine zulässige Färbung ist »trivial«, wenn überhaupt nur eine Farbe verwendet wird; eine triviale zulässige Färbung ist natürlich im-mer möglich, eine nicht-triviale zulässige Färbung da-gegen nicht. Offenbar lässt Figur 1 eine nicht-triviale Färbung zu, bei Figur 3 scheitern alle Bemühungen – wir werden gleich sehen, warum.4 Beispiele zur nicht-trivialen Färbung von Knoten. Außer-halb des Kreises ändert sich die Färbung  durch Anwendung eines Reidemeister-Prozesses nicht.5 Nicht alle Knoten lassen sich durch die Färbungsmethode als echt erkennen, wie dieses Beispiel zeigt. Es existiert keine nicht-triviale Färbung und dennoch handelt es sich um einen echten Knoten.Ω2aab acbba bLiteratur/1/ K. Reidemeister: Elementare Begründung der Knotenthe-orie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 24 – 32./2/ G. Burde: Knoten, Jahrbuch Überblicke Mathematik 1978, 131 – 147./3/ G. Burde: Die beiden Kleeblattschlingen, Didaktik d. Math. (1993), 21 Heft 4, 250 – 264.abcab c a b caabcc6 Drei echte   Knoten mit nicht-trivialer zulässiger FärbungLeider sind diesem Verfahren, einen Knoten als echt zu erkennen, Grenzen gesetzt. Nur eine relativ kleine Menge der echten Knoten lässt eine nicht-triviale Fär-bung überhaupt zu. Man überzeugt sich zum Beispiel durch Probieren, dass es für Knoten von Figur 5 keine nicht-triviale Färbung gibt – trotzdem ist er echt. Man kann das Verfahren verbessern, indem man mehr Far-ben verwendet – aber auch das führt noch nicht zu ei-nem Algorithmus, echte Knoten zu erkennen./2/ /3/   ◆06 UNI 2008_02 Teil 02 Fa.indd   68 06 UNI 2008_02 Teil 02 Fa.indd   68 26.06.2008   12:24:50 Uhr 26.06.2008   12:24:50 Uhr

Von echten und unechten Knoten : ein Beweis mit drei Farben

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