It is considered whether Fermat’s so called Last Theorem can be understood by substituting variables by polynomials and discussing their properties. The same substitution yields a survey of the Pythagorean Triples

Trömel, Martin

German

Hochschulschriftenserver - Universität Frankfurt am Main

1Kann Fermats so genannter letzter Satz auf Grund einfacher Überlegungen verstandenwerden?Martin TrömelInstitut für Anorganische und Analytische ChemieMax von Laue-Strasse 7, D-60438 Frankfurt am Maintroemel@chemie.uni-frankfurt.deSummary: It is considered whether Fermat’s so called Last Theorem can be understood bysubstituting variables by polynomials and discussing their properties. The same substitutionyields a survey of the Pythagorean Triples.Schlüsselwörter: Fermats letzter Satz, Pythagoreische Tripel.EinleitungPierre de Fermat (1601-1665) formulierte in seinem Exemplar einer lateinischen Übersetzungder „Arithmetica” des Diophantos (3. Jh. n.Chr.?), die 1621 im Druck erschienen war, alsRandnotizen achtundvierzig mathematische Theoreme ohne Beweis. Sein Sohn veröffentlichediese Notizen 1670 in einer Ausgabe dieses Werkes, in das die Randbemerkungen eingetragenwaren. Spätere Mathematiker bewiesen die Richtigkeit dieser Theoreme1. Eins davon, dessenBeweis Andrew Wiles erst 1994 führen konnte, wird deshalb als „Fermats letzter Satz”bezeichnet. Tietze2 behandelt es unter der Bezeichnung „Das große Fermatsche Problem”. Eslautet in der Übersetzung von Cantor3:Es ist ganz unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat in zwei Biquadrateund allgemein irgend eine Potenz ausser dem Quadrate in zwei Potenzen von demselbenExponenten zu zerfällen. Hierfür habe ich einen wahrhaft wunderbaren Beweisentdeckt, aber der Rand ist zu schmal, ihn zu fassen4.Lateinischer Text:Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos &generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fasest diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitasnon caperet5.Der Beweis dieses Satzes durch Andrew Wiles (1994, veröffentlicht 1995) auf Grund neuererErkenntnisse der Zahlentheorie6 wirft ein wissenschaftshistorisches Problem auf. Wie2gelangte Fermat angesichts des Entwicklungsstandes der Mathematik im 17. Jahrhundert zuseinem Beweis? Die Frage lässt sich nicht durch Rekonstruktion von Fermats Beweisführungbeantworten, „da alle uns erhaltenen und in Frage kommenden Briefe und Schriften aus demNachlaß [Fermats] längst auf das eingehendste durchforscht sind”7. Zudem haben sich alleachtundvierzig Randbemerkungen Fermats später als richtig erwiesen. So muss auchangenommen werden, dass ihm Beweise dieser Sätze bekannt waren. Cantor schrieb dazu:„... sicher ist, dass Fermat sie besessen hat oder besessen zu haben glaubte”4 und sah sich aneinem anderen Beispiel in der Überzeugung bestärkt, „dass Fermat, ... wo er von thatsächlichgeführten Beweisen sprach, auch wirklich solche, die ihm tadellos erschienen, besessen habenmuss”8. Daher stellt sich, nachdem das mathematische Problem gelöst ist, um so dringlicherdie Frage, wie es möglich war, mit den mathematischen Mitteln des 17. Jahrhunderts zueinem Beweis des Satzes zu gelangen.Überlegungen zu einem einfachen Beweis für Fermats letzten SatzDie Gleichung, deren Lösung die Zerlegung einer Potenz in zwei Potenzen mit gleichenExponenten darstellt, ist mit natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... für x, y, z und n(1) zn = xn + ynSie hat mit n = 1 Lösungen für alle z, die grösser sind als 1. Ihre Lösungen mit n = 2, diepythagoreischen Zahlentripel (x,y,z), sind die ganzzahligen Seitenlängen x, y und zrechtwinkliger Dreiecke entsprechend dem Satz des Pythagoras.Werden die Variablen x und y durch x = z – u und y = z – v ersetzt, so ergibt sich alsBedingungsgleichung für die ganzzahlige Zerlegung(2) zn = (z – u)n + (z – v)nDie ganzen rationalen Funktionen f(z,u) = (z – u)n und f(z,v) = (z – v)n sind Polynomen-ten Grades der Formn(3) f(z) = Sai.zii=0Die Bedingungsgleichung erfordert(4)                  (z – u)n = zn –  (z – v)n = g(z,v)und wegen der Vertauschbarkeit von x und y in  Gl. (1) zugleich(5)                  (z – v)n = zn – (z – u)n = g(z,u)In der Polynomdarstellung der ganzen rationalen Funktionen g(z,u) und g(z,v) sind dieKoeffizienten an gleich Null, und für n > 2 ergeben sich Polynome vom Grad n – 1. Sofern diePolynomdarstellung ganzer rationaler Funktionen eindeutig ist, also jede ganze rationale3Funktion nur durch genau ein Polynom dargestellt werden kann9,10, sind f(z,u) und f(z,v) alsPolynome n-ten Grades mit g(z,v) und g(z,u) als Polynomen des Grades n – 1 unverträglich:(6)                  f(z,u) „ g(z,v)(7) f(z,v) „ g(z,u)Da z, u und v ganzzahlig definiert sind, können in Gl. (6) und (7) neben z nur u oder v, jedochnicht beide ganzzahlig sein. Entsprechendes gilt für x und y in Gl. (1).Anmerkungen zu den pythagoreischen ZahlentripelnIm Falle n = 2 sind g(z,u) und g(z,v) keine Polynome, sondern lineare Funktionen von z.Die Gleichung(2) z2 = (z – u)2 + (z – v)2lässt sich dann umformen in(8) z2 – 2￿z￿(u + v) + (u2 + v2) = 0Durch Addition von 2￿u￿v auf beiden Seiten ergibt sich die quadratische Gleichung(9) (z – u – v)2 = 2￿u￿v2￿u￿v ist eine gerade Quadratzahl. Mit w = ￿(2￿u￿v), x = v + w, y = u + w und z = u + v + wführt jede Zerlegung des Produkts u￿v in Faktoren (einschliesslich des Faktors 1) auf einpythagoreisches Tripel (x,y,z):2￿u￿v  u ￿ v    u    >  v w    x    y    z- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -   4   2   2   1 2    3    4    516    8    8   1 4    5  12  1316    8    4   2 4    6   8  1036  18  18   1 6    7  24  2536  18    9  2 6    8  15  1736  18    6  3 6    9  12  15usw.Ermöglicht die lineare Abhängigkeit der g(z,u) und g(z,v) von z die ganzzahlige Zerlegung,so sollten Flächenzahlen allgemein zerlegbar sein, und die Quadratzahlen q(z) = z2 wärenlediglich ein Sonderfall. In der Tat sind Dreieckszahlen t(z) = (z2 + z)/2 und Fünfeckszahlenp(z) = (3.z2 – z)/2 ganzzahlig zerlegbar. Die kleinsten quasi-pythagoreischen Tripel sind beiden Dreieckszahlen (5,6,8), entsprechend 15 + 21 = 36, und bei den Fünfeckszahlen (4,7,8),entsprechend 22 + 70 = 92.4DiskussionWesentliche Punkte der obigen Überlegungen sind die Darstellung ganzer rationaler (auchganzrationale genannter10) Funktionen durch Polynome sowie die Eindeutigkeit dieserDarstellung. Sollte Fermats Beweis ähnlich geführt worden sein, so könnte die Bezeichnung„wahrhaft wunderbar” sich auf die Einfachheit und die eigenartige logische Struktur desSchlusses auf die Nichtzerlegbarkeit dritter oder höherer Potenzen beziehen, da die eineBedingungsgleichung auf zwei Gleichungen führt, welche Ganzzahligkeit nur für x oder yzulassen.Literatur1 Singh, Simon: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte einesmathematischen Rätsels. dtv, München 2000.2 Tietze, Heinrich: Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter undneuer Zeit, Band II. Verlag C.H. Beck, München 1959.3 Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Band II. Verlag vonB.G. Teubner, Leipzig 1913.4 Cantor, S. 774.5 Faksimile-Wiedergabe: Singh, Abb. 6, S. 90.6 Singh, Kap. 6, S. 237 ff.7 Tietze, S. 113 f.; Literatur ebenda, S. 248, Anmerkung 15. Nach Singh, S. 108 ff.,führte Leonhard Euler 1753  den Beweis für n = 3 auf Grund von Fermats Notizen.Die dabei angewandte Methode des unendlichen Abstiegs findet sich auch in demFragment einer Schrift von Fermat; vgl. Cantor, S. 778 f.8 Cantor, S. 778.9 Bronstein, Ilja Nikolajewitsch und Semendjajew, Konstantin Adolfowitsch:Taschenbuch der Mathematik, 22. Auflage, Harri Deutsch, Frankfurt am Main undThun 1979, S. 168.10  Gellert, W., Küstner, H., Hellwich, M. und Kästner, H. (Hrsg.): Großes Handbuch derMathematik. Buch und Zeit Verlagsgesellschaft, Köln 1969, S. 139 f.

Kann Fermats so genannter letzter Satz auf Grund einfacher Überlegungen verstanden werden?

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hochschulschriftenserver - Universität Frankfurt am Main