En  el  marco  de  la  teoría  generalizada  de  Ginzburg  Landau  propuesta  por  Shanenko  e  Ivanov,  para  una  muestra  mesoscópica  superconductora  cilíndrica  bajo  la  acción  de  un  campo  magnético  axial,  analizamos  la  contribución  de  la  interacción  de  confinamiento  de  los  pares  de  Cooper  a  la  energía  del  sistema.  Se  presta  especial  atención  a  discutir  la  dependencia de la energía de confinamiento con respecto a la geometría y el tamaño de la muestra

Calero, J

da Silva, E

Granada, J

Pasaje, A

Universidad de Nariño

Suplemento de la Revista Latinoamericana de Metalurgia y Materiales 2009; S1 (3): 881-885  0255-6952 ©2009 Universidad Simón Bolívar (Venezuela)  879           EFECTOS DE LA INTERACCION DE CONFINAMIENTO EN SUPERCONDUCTORES MESOSCOPICOS CILINDRICOS BAJO LA ACCION DE UN CAMPO MAGNETICO AXIAL A. Pasaje 1 *, 2, J. M. Calero2, J. C. Granada2, E. Z. da Silva3      9 Este artículo forma parte del “Volumen Suplemento” S1 de la Revista Latinoamericana de Metalurgia y Materiales (RLMM). Los suplementos de la RLMM son números especiales de la revista dedicados a publicar memorias de congresos.   9 Este suplemento constituye las memorias del congreso “X Iberoamericano de Metalurgia y Materiales (X  IBEROMET)” celebrado en Cartagena, Colombia, del 13 al 17 de Octubre de 2008.  9 La selección y arbitraje de los trabajos que aparecen en este suplemento fue responsabilidad del Comité Organizador del X  IBEROMET, quien nombró una comisión ad-hoc para este fin (véase editorial de este suplemento).  9 La RLMM no sometió estos artículos al proceso regular de arbitraje que utiliza la revista para los números regulares de la misma.  9 Se recomendó el uso de las “Instrucciones para Autores” establecidas por la RLMM para la elaboración de los artículos. No obstante, la revisión principal del formato de los artículos que aparecen en este suplemento fue responsabilidad del Comité Organizador del  X  IBEROMET.                                                  Suplemento de la Revista Latinoamericana de Metalurgia y Materiales 2009; S1 (3): 881-885 0255-6952 ©2009 Universidad Simón Bolívar (Venezuela)  881 EFECTOS DE LA INTERACCION DE CONFINAMIENTO EN SUPERCONDUCTORES MESOSCOPICOS CILINDRICOS BAJO LA ACCION DE UN CAMPO MAGNETICO AXIAL A. Pasaje 1 *, 2, J. M. Calero2, J. C. Granada2, E. Z. da Silva3 1: Departamento de Física, Universidad de Nariño, A. A. 1365, Pasto, Colombia 2: Departamento de Física, Universidad del Valle, A. A. 25360, Cali, Colombia; 3Instituto de Física, Universidad de Estadual de Campinas, 13083-970, C.P. 6165, Campinas, Brazil * E-mail: apasaje@univalle.edu.co Trabajos presentados en el X CONGRESO IBEROAMERICANO DE  METALURGIA Y  MATERIALES IBEROMET Cartagena de Indias (Colombia), 13 al 17 de Octubre de 2008 Selección de trabajos a cargo de los organizadores del evento Publicado On-Line el 29-Jul-2009 Disponible en: www.polimeros.labb.usb.ve/RLMM/home.html Resumen En el marco de la teoría generalizada de Ginzburg Landau propuesta por Shanenko e Ivanov, para una muestra mesoscópica superconductora cilíndrica bajo la acción de un campo magnético axial, analizamos la contribución de la interacción de confinamiento de los pares de Cooper a la energía del sistema. Se presta especial atención a discutir la dependencia de la energía de confinamiento con respecto a la geometría y el tamaño de la muestra. Palabras Claves: Superconductor mesoscópico, Interacción de confinamiento,  potencial de confinamiento. Abstract In the framework of a generalized Ginzburg Landau theory proposed by Shanenko and Ivanov, for a cylindrical mesoscopic superconducting sample placed in an axial magnetic field, we analyze the contribution of the confinement interaction of the Cooper pairs to the system energy. Special attention is paid to investigate how the confinement energy depends on the shape and on the sample size. Keywords: Mesoscopic superconductor; confining interaction; confining potential. 1. INRTODUCCION Muchos trabajos tanto teóricos como experimentales se han desarrollado para investigar materiales superconductores mesoscópicos [1]-[8]. Durante los últimos años el interés por el estudio de propiedades mesoscópicas superconductoras se ha incrementado debido a los recientes avances en nanotecnología.  Una de las más importantes características de estos sistemas es el efecto que tienen tanto la forma como el tamaño de las muestras en las propiedades superconductoras. Usualmente este efecto es estudiado utilizando las ecuaciones de Ginzbur-Landau (GL) que se resuelven con las condiciones de frontera convencionales, en las cuales la componente normal de la corriente superconductora es igual a cero.  Sin embargo la aproximación realizada en la funcional de la energía libre de GL no incluye la contribución adquirida por los pares de Cooper debida a la interacción de confinamiento.  El confinamiento en el estado superconductor de estructuras mesoscópicas, conduce a un nuevos fenómeno interesantes asociados a la reestructuración en las propiedades superconductoras.  La teoría GL ha sido ampliamente utilizada en el estudio de diferentes propiedades críticas en sistemas superconductores mesoscópicos tales como: cilindros [1,2], discos [3,4], anillos [5,6], triángulos [7], cuadrados y rectángulos [8].  En particular se ha estudiado: la magnetización, la densidad de pares de Cooper, la distribución de campo magnético, la densidad de corriente superconductora [9]; el efecto Meissner paramagnético [10]; la influencia de las condiciones de frontera sobre el comportamiento crítico en anillos superconductores mesoscópicos Pasaje et al. 882   Rev. LatinAm. Metal. Mater. 2009; S1 (3): 881-885 [11]; la distribución  de la densidad de electrones superconductores y el comportamiento del parámetro de orden en la fase superconductora [12]. Para muestras mesoscópicas la contribución causada por la interacción de confinamiento no es despreciable,  debido a que el tamaño de la muestra es comparable con la longitud de coherencia y por lo tanto resulta de mucho interés desarrollar una teoría, que incluya este tipo de contribuciones a la energía del sistema.  Dicha teoría fue propuesta en el año 2004 por Shanenko e Ivanov [13,14], y recientemente ha sido aplicada para calcular el campo crítico termodinámico en cilindros superconductores mesoscópicos de altura finita, sin campo magnético aplicado [15].  En este trabajo usamos la teoría generalizada de GL propuesta por Shanenko e Ivanov [14], la cual incluye el potencial de confinamiento, para estudiar el comportamiento de la energía de confinamiento de los pares de Cooper, en función del campo magnético aplicado, para cilindros superconductores mesoscópicos de altura finita, en presencia de un campo magnético axial. Se han efectuado cálculos para diferentes estados de momento angular y también para diferentes geometrías del cilindro, especificadas por diferentes valores de la razón radio-altura. 2. MARCO TEORICO  Consideramos un cilindro superconductor de longitud L y sección transversal de radio R, tal que satisfaga la condición λ(T) >> (L, R) > ξ(T)   donde ξ(T) es la longitud de coherencia que depende de la temperatura y λ(T)  es la longitud de penetración.  Cuando la interacción de confinamiento es tomada en cuenta en presencia de un campo magnético axial externo B, el estado superconductor es descrito por un parámetro de orden no homogéneo  que satisface la ecuación [14]:  ( ) ( )⎢⎢⎣⎡ ++⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −∇−− rr confVAceim2221 2*rh  ( ) ( ) ] ( ) 022 =ΨΨ+Ψ+ rrr βαβα     (1)   donde ( ) ϕρ eBA ˆ21=r ; las dos longitudes características  ,   están definidas por ( )αξ *22 2mh=  y ( )22* 16 ecm απβλ = , r describe el centro de masa del par de Cooper y ,  son los parámetros utilizados en la teoría de GL [16]. Cabe mencionar que en este trabajo  y  están renormalizados  por el potencial de confinamiento  de tal manera que cuando  (  temperatura de transición superconductora), el parámetro  no se anula junto con  sino que tiende a cierto valor  dado por el valor propio más bajo de la ecuación:  ( ) ( )+Ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −∇−− rr2*221 Aceimrh ( ) ( )rrr Ψ−=Ψ cconfV α)(2      (2) Una de las características más interesantes de la ecuación (2) es que el parámetro  adquiere un importante significado debido al confinamiento;  puede ser interpretado como una medida de la contribución de la interacción de confinamiento a la energía del sistema. En presencia de un potencial de confinamiento, el comportamiento de la longitud de coherencia  y la longitud de penetración   difieren considerablemente de lo predicho en la teoría convencional de GL.  De hecho, cuando  los parámetros  y  tienden a valores del orden del tamaño de la muestra y nunca exceden estos valores [14]. En coordenadas cilíndricas la ecuación (2) toma la forma:  ( )+Ψ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂− rBcenzm2222222*121 ρρρρρρ hhh ( ) ( )rrV cconf Ψ−=Ψ α2 ,   (3) Siendo n = 0, 1, 2, . . . el estado de momento angular. Para el caso particular de una interacción de  confinamiento  de tal manera que  tanto en la frontera como fuera de la muestra, y  en el interior de la muestra, la ecuación (3) se reduce a la ecuación de GL.  ⎪⎩⎪⎨⎧ +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂− 222*121zm ρρρρh ( ) ( )rrBcen cψαψρρ −=⎪⎭⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−2222hh.   (4) Efectos de la interacción de confinamiento en superconductores mesoscopicos   Rev. LatinAm. Metal. Mater. 2009; S1 (3): 881-885  883 Sin embargo, la condición de contorno es ahora: ( ) 0=Ψboundaryr ,                        (5) que difiere de la condición de frontera convencional  donde  es un vector normal a la superficie de la muestra. Introduciendo las cantidades adimensionales Rx ρ= y Lzy = en la ecuación (4) tenemos:         (6) La solución de la Ecuación (6) con las condiciones de frontera dadas por ,  ,   se puede expresar como: ( ) =Ψ ϕ,, yx( )ypxnYMinxxA nn πφφϕφφ sin,1,2exp0202⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +−    (6) donde:  φφπα 022222*24121⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −−=LRRmY ch,          (7)  n =0, 1, 2, . . . ,    ,      La cantidad Y  está determinada por la ecuación 0,1,0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ + φφnYM  la cual resulta de las condiciones de contorno. Para un flujo dado φ el valor más bajo  para un valor predeterminado del momento angular n se obtiene cuando se minimiza la cantidad 22*2hRm cα [10]. 3. RESULTADOS Y DISCUSION  En la figura 1 graficamos la energía de confinamiento  (en unidades de  E0=h2/2m*R2) como función de la relación φ/φ0 para diferentes estados de momento angular n y para una muestra con una razón entre el radio de la sección transversal y la altura dada por  R/L = 5.  En este caso el confinamiento longitudinal (en la dirección z) es más pronunciado que en la dirección radial.  Se puede observar que para n = 0, la energía de confinamiento es una función monótona del campo magnético aplicado, mientras que para n diferente de cero la cantidad  muestra un mínimo, el cual cambia a medida que aumenta el valor de n, que describe el estado de momento angular o el número de cuantos de flujo atrapados en el sistema. La presencia de una disminución de la energía de confinamiento  con φ/φ0  puede ser interpretada como una contribución paramagnética de la magnetización debida a la interacción de confinamiento.             Figura 1. Energía de confinamiento  (donde E0=h2/2m*R2) como función de la relación φ/φ0, para diferentes estados de momento angular n=0, 1, 2, 3, 4.  Para energías de confinamiento tales que , el confinamiento geométrico es más fuerte que el confinamiento magnético, mostrando una fuerte dependencia de  con n.  Para  el confinamiento magnético domina y la energía de confinamiento deja de depender del estado de momento angular n. En la figura 2 se muestra la energía de confinamiento  como función de la relación φ/φ0  para un radio R fijo y un momento angular n=0 y para diferentes valores de  R/L .  Para un valor determinado de n, la energía de 0 2 4 6 8 10 12250260270280290300n = 0n = 4n = 3n = 2n = 1φ0  -αcE0φRL =5n = 0Pasaje et al. 884   Rev. LatinAm. Metal. Mater. 2009; S1 (3): 881-885 confinamiento aumenta con el confinamiento longitudinal, es decir con la disminución de la altura  L del cilindro. En la figura 3 presentamos la energía de confinamiento  (en unidades de  E1=h2/2m*R2) como función de la relación φ/φ0  para el valor más bajo del momento angular (n=0), cuando se varía la relación R/L  pero manteniendo L fijo.  Se observa un comportamiento similar al mostrado en la figura 2, ya que con el aumento del confinamiento radial, debido a la disminución de R, la energía de confinamiento aumenta. De las figuras 2 y 3 podemos asegurar que el efecto del confinamiento longitudinal es mucho más grande que el debido al confinamiento radial           Figura 2. Energía de confinamiento   del estado de momento angular mas bajo (n=0) como función de la relación φ/φ0, para un radio fijo R y para diferentes valores de la relación R/L: (a) R/L = 2, (b) R/L = 2.5 ,  (c) R/L = 3 ,  (d) R/L = 3.5,  (e) R/L = 4.          Figura 3. Energía de confinamiento   del estado de momento angular mas bajo (n=0) como función de la relación φ/φ0, para una altura L  fija y para diferentes valores de la relación  R/L: (a)  R/L = 2, (b)  R/L = 2.5,  (c)  R/L = 3,  (d)  R/L = 3.5,  (e)  R/L = 4.  4. CONCLUSIONES En conclusión, en este trabajo presentamos los resultados concernientes a los efectos de la interacción de confinamiento en muestras mesoscópicas superconductoras cilíndricas, bajo la acción de un campo magnético externo axial. El análisis de la energía de confinamiento muestra que: (i) El tamaño y la forma de la muestra tienen un efecto significativo en la energía de confinamiento; (ii)  A medida que la altura del cilindro L disminuye, la energía de confinamiento aumenta; (iii) A medida que el radio R de la sección transversal del cilindro disminuye, la energía de confinamiento aumenta; (iv) El efecto asociado con el confinamiento longitudinal es más pronunciado que el efecto debido al confinamiento radial; (v) Para muestras mesoscópicas de tamaño fijo, la energía de confinamiento se aumenta a medida que crece el estado de momento angular n. Los resultados obtenidos en el presente trabajo pueden ser extendidos a cilindros huecos.  Los resultados correspondientes al caso cuando el campo magnético exterior es nulo, (B=0),  fueron reportados recientemente por A. Pasaje y colaboradores [15]. 5. AGRADECIMIENTOS Este trabajo fue financiado parcialmente por Colciencias a través de los proyectos de investigación identificados con los códigos 1106-05-13828 y 1106-14-17903, el Centro de Excelencia en Nuevos Materiales (CENM) bajo el contrato  043-2005 suscrito con COLCIENCIAS, el convenio de colaboración CNPq-Colciencias No. 0491486/2004-9 y la Universidad del Valle. 6. REFERENCIAS  [1]   G.A. Gogadze, Fizika Nizkikh Temperatur, v.34, No. 3, p. 225–230 (2008)  [2]   J. J. Barba et al, Physica C 460–462 1272 (2007) [3]   V. R. Misko et al, Phys. Rev. B 76, 024516 (2007) [4]   A. R. de C Romanguera et al, Physica C 460–462, 1232 (2007). [5]   Y. Terai et al, Physica B 298 536 (2001) [6]   F.M. Peeters et al,  Physica C 332.255 (2000) [7]  M. Morelle et al,  Phys. Rev. B 70, 094503 (2004) 0 2 4 6 81011121314(e)(d)(c)(b)  -αcE1φ0φ(a)0 2 4 6 8406080100120140160180(e)(d)(c)(b)-αcE0φ0φ(a)Efectos de la interacción de confinamiento en superconductores mesoscopicos   Rev. LatinAm. Metal. Mater. 2009; S1 (3): 881-885  885 [8]  G. Teniers et al, Physica B 329-333, 1340 (2003). [9]   B. J. Baelus and F. M. Peeters, Phys. Rev. B, 65, 104515 (2002). [10]  C.  Meyers, Phys. Rev. B 68, 104522 (2003). [11] J. M. Calero et al, Braz. J. Phys, 36,  933  (2006). [12] J. J. Barba et al, Physica C 460-462, 1272 (2007) [13]  A. A. Shanenko et al, Sol. State. Commun. 131, 409 (2004) [14]  A. A. Shanenko and V.A. Ivanov, Phys. Lett. A 332, 384 (2004). [15] A. Pasaje, et al.  Phys. Stat. Solidi C 4, 4209 (2007). [16]  P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and alloys, Addison-Wesley, New York.                                                                      

Efectos de la Interacción de Confinamiento en Superconductores Mesoscópicos Cilíndricos Bajo la Acción de un Campo Magnético Axial

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