U ovom radu ćemo teorijski i praktično riješiti jedan konkretan problem “Hrvatskih šuma“ koje u svom sastavu imaju dvije transportne jedinice koje prevoze drvni materijal od pomoćnog stovarišta (tvrda šumska cesta) do glavnog stovarišta (kraj željezničkog kolodvora). Rješava se transportni problem kao specijalni slučaj linearnog optimiranja.U radu ćemo koristiti analitičko rješenje

Dominika Crnjac Milić

Hrvoje Crnjac

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

24TRANSPORTNI PROBLEM U ŠUMARSTVU  Primljen: 27.4.2012. UDK 656:630 Prihvaćen: 9.5.2012. Izvorni znanstveni rad   Dr. Dominika Crnjac Milić, Assistant Professor J. J. Strossmayer University of Osijek, Faculty of Electrical Engineering Kneza Trpimira 2b, HR – 31000 Osijek, Croatia e-mail: dominika.crnjac@etfos.hr  Hrvoje Crnjac, 3rd year student, Master’s degree study programme J. J. Strossmayer University of Osijek, Faculty of Economics in Osijek Trg Lj. Gaja 7, HR– 31000 Osijek, Croatia   SAŽETAK - U ovom radu ćemo teorijski i praktično riješiti jedan konkretan problem “Hrvatskih šuma“ koje u svom sastavu imaju dvije transportne jedinice koje prevoze drvni materijal od pomoćnog stovarišta (tvrda šumska cesta) do glavnog stovarišta (kraj željezničkog kolodvora). Rješava se transportni problem kao specijalni slučaj linearnog optimiranja.U radu ćemo koristiti analitičko rješenje. Ključne riječi: transport, optimizacija, analitičko rješenje, funkcija cilja.  ABSTRACT – In this paper we will theoretically and practically solve a specific problem of the company “Hrvatske šume“ Ltd which has two transportation units transporting wood material from an ancillary storage facility (an unpaved forest road) to the main storage facility (near the railway station). The transportation problem is solved as a special case of linear optimisation.An analytical solution will be used in the paper. Key words: transportation, optimisation, analytical solution, objective function.   I. POSTAVLJANJE PROBLEMA  U ovom radu ćemo specijalni problem šumarstva pokušat optimizirati putem matematičkog modela transporta prikazanog na primjeru Šumarije koja je u sastavu javnog poduzeća “Hrvatske šume“. Kod ovog transportnog problema drveni sortimenti (trupci,celuloza, višemetrica) u količini ia  prevoze s pomoćnog stovarišta 1,2,...,i m  na glavno stovarište u količinama ,  1, 2,...,jb j n  koju glavno stovarište treba. Količina koju se prevozi iz mjesta i  u mjesto j  je ijx i izražena je u tonama. Matematička formulacija problema se sastoji u tome da treba naći brojeve ijx( 1,2,..., ,  1,2,..., )i m j n   za koje funkcija cilja izražava ukupne tona kilometre (tkm) koje treba minimalizirati, a koji se sastoje od umnoška jediničnih udaljenosti ijc  (između pomoćnih i glavnih stovarišta) i količina koje se prevoze.   1 1minm nij iji jtkm x c     Uvjet koji se postavlja pred ovaj model je zahtjev nenegativnosti za količine koje se transportiraju 0ijx  , za svaki ( 1,2,..., ,  1,2,..., )i m j n   i da je suma svih ponuđenih količina jednaka sumi koja se potražuje na glavnom stovarištu. Ukoliko to nije ispunjeno uvodi se dopunska varijabla koja “preuzima“ količinu koja manjka.  1.   Prethodno teorijski prikazan problem pojednostavljeno ćemo izložiti na primjeru Šumarije koja s tri pomoćna stovarišta  1 2 3,  i S S S  prevozi robu na dva glavna stovarišta i to glavno stovarište 1O  i glavno stovarište 2O .    Budući da se roba otprema svakodnevno sa stovarišta, a doprema povremeno uzet ćemo onaj moment kada je roba dopremljena. U tom trenutku na 1S se nalazi 1500 tona robe, na 2S  1000 tona, a CRNJAC MILIĆ, D., CRNJAC, H.Praktični menadžment,  Vol. III,  br. 4, str. 24-2625na 3S  također 1000 tona. Iste količine treba prevesti na 1O  1500 t  i 2O  2000 t.  Iz praktičnih razloga robu iskazujemo u tonama, a ne u m3 jer je dozvoljena nosivost kamiona u tonama. Udaljenost između 1S  i 1O  je 10 km, 2S  i 1O  15 km, 3S  i 1O  18 km, 1S  i 2O  30 km, 2S  i 2O  15 km i između 3S  i 2O  17 km.  Ukupni tona kilometri dani su funkcijom cilja koju treba minimalizirati, a glasi:  11 12 13 21 22 2310 15 18 30 15 17Z x x x x x x         Između mnoštva transportnih programa koji zadovoljavaju funkciju cilja treba odabrati onaj kod koga će ukupni tonakilometri biti najniži.  Postoji više poznatih metoda putem kojih se može doći do rješenja, međutim ovdje ćemo prikazati analitičko rješenje.  Udaljenosti između svakog pomoćnog i svakog glavnog stovarišta prikazane su u tablici 1.  Tablica   1.     1S  2S  3S  ia  1O  11 10d   12 15d   13 18d   1500 2O  21 30d   22 15d   23 17d   2000 jb  1500 1000 1000 3500   Tako npr. 12d  pokazuje kolika je udaljenost između drugog pomoćnog stovarišta 2S  i prvog glavnog stovarišta 1O . Budući da ima 2m   odredišta i 3n   ishodišta postoji 6m n   mogućih transportnih mogućnosti. Transportne mogućnosti prikazane su na slici.     Nepoznate količine koje se mogu prevesti na mogućim relacijama prikazane su u tablici 2.   Tablica  2.   1S  2S  3S  ia  1O  11x  12x  13x  1500 2O  21x  22x  23x  2000 jb  1500 1000 1000 3500    Treba pronaći takve veličine ijx  da sumi elemenata u redovima odgovara ukupna količina koja se dovozi na glavno stovarište. Mogu se prikazati sljedeće jednadžbe.  4.  11x + 12x + 13x  = 1500 21x  + 22x  + 23x  = 2000             11x + 22x = 15000             12x  + 22x = 1000             13x  + 23x  = 1000                        ijx > 1000  Prethodni sustav jednadžbi sastoji se bez funkcije cilja od 5 jednadžbi i šest nepoznanica. Budući da ima više nepoznanica nego jednadžbi, sustav je neodređen, tj. ima mnogo rješenja.    II. ANALITIČKO RJEŠENJE   Radi jednostavnijeg rada s jednadžbama u funkciji cilja i ostalim jednadžbama zamijenit ćemo 11x  sa 1x , 12x  sa 2x , 13x  sa 3x , 13x sa 4x , 22x  sa 5x  i 23x  sa 6x . Tada funkcija cilja i jednadžbe izgledaju ovako: 110Z x + 215x + 3 4 5 618 30 15 17x x x x    1x + 2x + 3x  = 1500 4x  + 5x  + 6x  = 2000              1x + 4x = 1500             2x  + 5x = 1000              3x  + 6x  = 1000   Varijable 3 4 5 6, ,  i x x x x  izrazit ćemo pomoću 1x  i 2x . Tada dobivamo sljedeće 4 jednadžbe: 3x = 1500 – 1x – 2x  4x = 1500 – 1x  S1 S2 S3 O1 O2 S1, S2, S3 = POMOĆNA STOVARIŠTA  O1, O2 = GLAVNA STOVARIŠTA Transportni problem u šumarstvuPraktični menadžment,  Vol. III,  br. 4, str. 24-26265x = 1000 – 2x  x6 =  –500 + 1x + 2x  Budući da je u funkciji cilja uz  4x  najveći koeficijent, a mi tražimo minimum, 4x  izjednačujemo s nulom. Dakle, 4 1 3 20,  1500,  x x x x    ,  što je moguće onda i samo onda ako je 3 2 0x x  , jer količine moraju ispunjavati uvjet nenegativnosti, 5 61000 i 1000x x  .  Tako smo dobili početno bazično rješenje.  5.  Sada funkciju cilja izrazimo pomoću 1x  i 2x .      1 2 1 2 12 1 21 210 15 18 1500 30 150015 1000 17 50021 78500Z x x x x xx x xx x                Budući da varijable 1x  i 2x  u funkciji cilja imaju negativan predznak postignuto rješenje je optimalno. Uvrštavanjem dobivenih količina u funkciju cilja dobijemo da su minimalni tonakilometri jednaki 47000.   III. ZAKLJUČAK   Transportni problem prijevoza drvnih sortimenata šumarstva u praksi je daleko kompleksniji. Da bi se pronašle optimalne veličine koje bi respektirale nova ograničenja koja se pojavljuju u logistici transporta neophodno je koristiti programska rješenja jer je brzina u donošenju odluka od velike važnosti svugdje pa tako i šumarstvu.   LITERATURA  1. Gill P.E. Murray W. and Wrigth M.H. (1991),   Numericel Linear Algebra and Optimization 2. Golub, G.H. von Loan, C.F. Metrix Computations, The J. Hopkins Universety Press, Baltimone and London (1989). 3. Long, O. Uvod u ekonometriju, Sarajevo (1956) 4. Martić Lj. Matematičke metode za ekonomiste Narodne novine Zagreb, 1979. 5. Dantzing G.B. Linear programing and Extensions Princeton University Press, N.J. 1963.    CRNJAC MILIĆ, D., CRNJAC, H.Praktični menadžment,  Vol. III,  br. 4, str. 24-26

TRANSPORTNI PROBLEM U ŠUMARSTVU

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia