U radu će se pokazati interdisciplinarnost matematike, botanike, biologije, stočarstva, i tako dalje. Pokazat će se uloga Fibonaccijevih brojeva u rješavanju mnogih prirodnih fenomena. Ukazat će se na uporabu matematike za objašnjavanje zakonitosti prirode i utjecaj gospodarstva na razvoj matematike

Dominika Crnjac Milić

Hrvoje Crnjac

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

7  INTERDISCIPLINARNOST MATEMATIKE I PRIRODE U GOSPODARSTVU                                          UDK51:59:338                                        Izvorni znanstveni rad  dr.sc. Dominika Crnjac Mili, Hrvoje Crnjac Elektrotehniki fakultet Osijek Kneza Trpimira 2b, 31000 Osijek, Hrvatska e-mail: dominika.crnjac@etfos.hr  SAŽETAK - U radu e se pokazati interdisciplinarnost matematike, botanike, biologije, stoarstva, i tako dalje. Pokazat e se uloga Fibonaccijevih brojeva u rješavanju mnogih prirodnih fenomena. Ukazat e se na uporabu matematike za objašnjavanje zakonitosti prirode i utjecaj gospodarstva na razvoj matematike. Kljune rijei: rekurzija, relacija, indukcija, niz  ABSTRACT - Interdisciplinarity of mathematics, botany, biology, cattle breeding, etc. will be presented in the paper. We will show the role of Fibonacci numbers in solving many phenomena in nature. Usage of mathematics for the purpose of explaining laws of nature and the influence of economy on the development of mathematics will also be pointed out. Key words: recursion, relation, induction, sequence   I.  UVOD  U elementarnoj kombinatorici važna i primjenjiva metoda je metoda rekurzivnih relacija ili rekurzivnih formula. To su ustvari formule ili relacije pomou kojih se n - ti lan na  niza  ,na n N  nalazi pomou nekoliko prethodnih lanova ,ka k n .  Najopenitiji pojam rekurzije se može precizno definirati koristei teoriju izraunljivih funkcija i princip definicije indukcijom (Kurepa ,1970. i Mardeši,1982.). Rekurzivne relacije su vrlo korisne pri radu na raunalu. Pri rabljenju su postupci slini interativnim metodama.   II.  FIBONACCIJEVI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA U PRIRODI   Leonardo od Pise poznat kao Fibonacci, skraeno filius Bonacci u svom radu Liber abaci (knjiga o abakusu) objavljenom 1202. godine postavio je problem zeeva: Zeevi se razmnožavaju po sljedeoj shemi; Svaki par zec – zeica, stari barem dva mjeseca, dobiju za vrijeme svakog narednog mjeseca par mladih (zeca i zeicu). Pretpostavimo da na poetku godine poinjemo s jednim novoroenim parom, koliko e biti ukupno parova zeeva poetkom sljedee godine ili openito nakon n  mjeseci, uz pretpostavku da zeevi ne ugibaju. Jasno da e nakon prvog mjeseca biti samo jedan par zeeva, jer oni nisu zreli za oplodnju. Nakon dva mjeseca imamo dva para, tj. tijekom treeg mjeseca imamo dva para. Nakon tri mjeseca imamo tri para, poetni par i njihovi potomci nakon drugog i treeg mjeseca. Nakon etiri mjeseca imamo pet parova. Zamjetimo da od prethodno troje postojeih parova, samo dvoje su zreli parovi. Nakon pet mjeseci imamo osam parova, jer od pet parova živih prethodnih mjeseci samo tri para mogu dati potomke. Prethodno izreeno poopimo u obliku matematikog modela. Neka je nf  broj parova zec – zeica nakon n  mjeseci, odnosno tijekom  1n  - og mjeseca od poetka godine. Po pretpostavci je 0 1f   i 1 1f  , pa je 2 32, 3f f   itd. Da se dobije openito nf , potrebito je broju parova 1nf 	  koji su živjeli prethodni mjesec dodati novoroene parove koji mogu nastati samo od 2nf 	  parova živih zeeva prije dva mjeseca. Dakle, za 2n   vrijedi:   1 2n n nf f f	 	   Na osnovu prethodnog možemo napisati niz Fibonaccijevih brojeva:                      0,1 , 1,1 , 2,2 , 3,3, , 4,5 , 5,8 , 6,13 , 7,21 ,..., , nn f   Svaki broj u prethodnom nizu, osim prva dva, dobijemo kao sumu prethodno dva. Tako e na primjer biti 7 34f   parova zeeva.  Da bismo dobili broj odraslih parova u zejem razmnožavaju nakon n - mjeseci, oznaimo taj broj sa nf , dobivamo niz 1 1f  , 2 3 4 51, 2, 3, 5f f f f    , ... Zamijetimo zanimljivu osobinu ovog niza; Svaki lan niza za 2n   dobiva se kao zbroj prethodno dva, tj. 3 1 2 4 2 32, 3,...f f f f f f       1 1n n nf f f 	  , pa je  ,nf n N  Fibonaijev niz. 8 Praktični menadžment,  Vol. I,  br. 1, str. 7.-9. Uoimo broj 1n nnf Ff koji nam kazuje rast procesa. Navedimo nekoliko lanova niza  ,nF n N ; 1 2 331, 2, ,2F F F   4 51,66, 1,60,F F 6 1,625,F  ... Može se naslutiti da niz  ,nF n N  komergira, pa možemo potražiti njegovu granicu. Neka je x  tražena granica, tj. lim nn F x  . Dijeljenjem jednadžbe 1 1n n nf f f 	   s nf  dobivamo: 1 1 1n nn nf ff f 	 . Nije teško zamijetiti da je 11 1nnFF	 , pa je 11lim lim 1nn nnFF 	    , tj. 1 1xx , odakle slijedi kvadratna jednadžba 2 1 0x x	 	  . Jedan od korijena kvadratne jednadžbe je pozitivan što je ujedno rješenje za rast  1 1 5 1,61803...2x    , što kazuje da je uveanje procesa razmnožavanja oko 61,809...%. Vrijedna pažnje je injenica da broj  1 1 52 ima važnu ulogu u estetici.  Fibonaccijevi brojevi se prirodno pojavljuju u raznim granama matematike i srodnim znanostima u vidu algoritama. Davne 1844. godine G. Lame je našao vezu Fibonaccijevih brojeva i Euklidovog algoritma (Knuth, 1973.). U suvremenoj literaturi n - ti Fibonaccijev broj nf  definira se tako da je 0 1 1 20, 1, n n nf f f f f	 	     za  2n  s nešto drugaijim poetnim uvjetima nego kod problema zeeva.  Interesantna svojstva Fibonaccijevih brojeva izuavao je E. Lucas (francuski matematiar), koji se bavio raznim primjenama u prirodi i matematici. Možemo utvrditi da su mnogi fenomeni u prirodi vezani uz Fibonaccieve brojeve. Primjerice, raspored latica u nekih cvjetova slijede Fibonaccieve brojeve. Nadalje, može se pokazati da listovi koji rastu iz stabljike ekvidistantno primaju najviše svjetlosti ako za njihove kuteve, dobivene projekcijom na horizontalnu ravninu, vrijedi da je za svaki takav kut, jednak sumi prethodna dva, tj. ponašaju se po Fibonaccijevoj rekuzivnoj relaciji. Naime, promatrajmo stabljike kojima su listovi rasporeeni po krivulji koju nazivamo helikoid. Period biljke je broj okreta oko stabljike dok list ne doe u isti položaj.  Oznaavajui taj broj sa m , a broj listova u jednom periodu sa n  možemo dati tablicu 1 brojeva i m n  za neke biljke:     TABLICA I  m  n  naziv biljke 1 2 u dvije vrste liše grmljastog bilja 1 2 horizontalne grane brijesta 1 3 joha, breza, šaš 2 5 ruže, vrbe 3 8 kupus, astra 8 21 ljuske od omorike i jelove šišarke 13 34 ljuske od šišarke  Zamijetimo da su brojevi iz tablice lanovi Fibonaccijevog niza za 1 1f   i 2 1f  . Zbog interesantnih i mnogobrojnih svojstava postoji asopis koji im je posveen Fibonacci Quarterly.    III.  NEKE INTERESANTNE APLIKACIJE MATEMATIKE U BIOLOGIJI   Oblik etveronožnih životinja u veoj mjeri je predodreen. Ako s D  oznaimo duljinu trupa izmeu nogu, a s V  visinu trupa, tada je karakteristian broj za etveronožne životinje odreen 2 / 3:D V . Prethodni kvocijent se kree u odreenim granicama što je nasljee gravitacije. Na primjer, za indijskog slona ovaj odnos je 5,8:1 pri emu je 153 ,  135D cm V cm  , dok je za indijskog tigra ovaj odnos 7:1, pri emu je 90 ,  45D cm V cm  .   IV.  MATEMATIKA KOMUNIKACIJA PELA   Poznato je da položaj toke u ravnini možemo odrediti s parom  ,r  , pri emu je r  udaljenost toke od ishodišta na polarnoj osi, a  kut koji zatvara r  sa polupravcem (polarni koordinatni sustav). Ispitivanjem meusobnog komuniciranja pela ustanovljeno je da u priopavanju informacija o nalazištu hrane glavnu ulogu ima polarni koordinatni sustav. Zaista, kad pela nae stanište hrane dalje od sto metara, pela se kree po vertikalnoj stranici košnice ispisujui osmicu. Kut  koji zatvara pravi dio putanje u odnosu na vertikalu je kut staništa hrane u odnosu na sunce. Brzina kretanja po osmici daje rastojanje do staništa hrane. Primjerice, ako je broj obilazaka oko osamnaest minuta, rastojanje je tisuu metara.  Ope je poznato da sa pravokutnog koordinatnog sustava  ,x y  prelazimo na polarni koordinatni sustav  ,r   i obrnuto koristei relacije 2 2r x y  , cos , sinx r y r   ( Pavkovi i Veljan, 1995.).   Crnjac Milić, D., Crnjac, H.9Praktični menadžment,  Vol. I,  br. 1, str. 7.-9. V. ZAKLJUAK   U ovom radu je pokazano prožimanje matematike i prirode. Koristei metodu rekurzije analiziran je vrlo interesantan model procesa razmnožavanja zeeva. Pokazana je korisnost Fibonaccijevih brojeva u izuavanju razvoja biljnog i životinjskog svijeta. Dane su neke aplikacije matematike u biologiji. Korištenjem koordinatnih sustava pojašnjeno je komuniciranje pela u aktivnom radu.  LITERATURA  1. Knuth D.E. (1973): The Art of Computer Programing, Vol 1. , New York, Addision Wesley  2. Kurepa S. (1970): Uvod u matematiku, Zagreb,Tehnika knjiga Zagreb 3. Mardeši S. (1982): Matematika analiza u n- dimenzionalnom realnom prostoru, Zagreb, Školska knjiga 4. Pavkovi B., Veljan D. (1995): Elementarna matematika 2, Zagreb, Školska knjiga  Interdiscipliranost matematike i prirode u gospodarstvu 

INTERDISCIPLINARNOST MATEMATIKE I PRIRODE U GOSPODARSTVU

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia