U ovome članku se do Heronove formule, za razliku od mnogih dokaza iste, dolazi netipičnim načinom i postupkom. Naime, promatrajući jedan sustav funkcijskih jednadžbi s tri realne varijable dobivamo rješenje čiji kvadratni korijen ima istovjetnu algebarsku strukturu kao i Heronova formula. Analizirajući svaku od četiri jednadžbe sustava dobivamo ne samo informacije koje nam govore da se uistinu radi o Heronovoj formuli, nego i mnogo više.In this article many non-standard methods and procedures are being
used to prove Heron\u27s formula. Namely, by observing one system of functional equations with three real variables we reach a solution which square root has the same algebraic structure as the Heron\u27s formula. While analyzing each of the four equations of the system
we get not only the information which confirme that the formula in question is indeed the Heron\u27s formula but much more as well

Antun Ivanković

U ovome članku se do Heronove formule, za razliku od mnogih dokaza iste, dolazi netipičnim načinom i postupkom. Naime, promatrajući jedan sustav funkcijskih jednadžbi s tri realne varijable dobivamo rješenje čiji kvadratni korijen ima istovjetnu algebarsku strukturu kao i Heronova formula. Analizirajući svaku od četiri jednadžbe sustava dobivamo ne samo informacije koje nam govore da se uistinu radi o Heronovoj formuli, nego i mnogo više.In this article many non-standard methods and procedures are being

used to prove Heron's formula. Namely, by observing one system of functional equations with three real variables we reach a solution which square root has the same algebraic structure as the Heron's formula. While analyzing each of the four equations of the system

we get not only the information which confirme that the formula in question is indeed the Heron's formula but much more as well

Ivanković, Antun

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Osjecˇki matematicˇki list 10(2010), 15–20 15Heronova formula kao rjesˇenje sustava funkcijskihjednadzˇbiAntun Ivankovic´∗Sazˇetak. U ovome cˇlanku se do Heronove formule, za razliku odmnogih dokaza iste, dolazi netipicˇnim nacˇinom i postupkom. Naime,promatrajuc´i jedan sustav funkcijskih jednadzˇbi s tri realne varijable do-bivamo rjesˇenje cˇiji kvadratni korijen ima istovjetnu algebarsku struk-turu kao i Heronova formula. Analizirajuc´i svaku od cˇetiri jednadzˇbesustava dobivamo ne samo informacije koje nam govore da se uistinuradi o Heronovoj formuli, nego i mnogo viˇse.Kljucˇne rijecˇi: funkcijska jednadzˇba, sustav funkcijskih jednadzˇbi,trokut, pravokutni trokut, defekt trokuta, paralelogram, trigonometrijaHeron’s formula as the solution system of functional equationsAbstract. In this article many non-standard methods and proce-dures are being used to prove Heron’s formula. Namely, by observing onesystem of functional equations with three real variables we reach a solu-tion which square root has the same algebraic structure as the Heron’sformula. While analyzing each of the four equations of the system we getnot only the information which confirme that the formula in question isindeed the Heron’s formula but much more as well.Key words: functional equations, system of functional equations,triangle, rectangular triangle, defect of triangle, paralellogram, trigonom-etry1. UvodU literaturi postoje razni dokazi i poopc´enja Heronove formule, kako u ravnini,tako i u prostoru, od kojih neki mozˇda datiraju i prije Heronovog vremena. Heroniz Aleksandrije je grcˇki matematicˇar koji je zˇivio najvjerojatnije u prvom stoljec´uprije Krista, pisao djela iz matematike, mehanike i optike. Ova njegova znamenitaformula, kojom se u ovom cˇlanku bavimo, dokazana je u prvoj knjizi njegovog djelaMetrica, koju je napisao oko 75. godine poslije Krista. Naime, postoje kontroverzeo vremenu u kojem je zˇivio i djelovao Heron. Po prvima je zˇivio u 2. stoljec´u prijeKrista, a po drugima u 1. stoljec´u poslije Krista. No, kako bilo, nama je najvazˇnije∗Srednja sˇkola Ilok, HR-32236 Ilok, antun.ivankovic@vk.htnet.hr16 Antun Ivankovic´ono sˇto nam je taj genijalni cˇovjek ostavio. Formulacija Heronove formule, a mozˇdai dokaz, bila je poznata Arhimedu josˇ u 3. stoljec´u pr. Krista. Znacˇi, kao sˇto jedobro poznato, povrsˇinu 4ABC sa stranicama a, b i c, izracˇunavamo po formuli:P =√s(s − a)(s − b)(s − c),gdje je s poluopseg stranica, tj. s = 12(a+ b+ c).Postoje i razna poopc´enja ove formule, kao za konveksni cˇetverokut, tzv. Bret-schneiderova formula:P =√s(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)− abcd cos2 α+ γ2,gdje su a, b, c i d redom duljine susjednih stranica konveksnog cˇetverokuta, s jenjihov poluopseg, a kutovi α i γ su kutovi izmed¯u susjednih stranica cˇetverokuta,te Brahmaguptina formula za tetivni cˇetverokut, pa generalizacija u prostoru zatetraedar, viˇsedimenzioni simpleks, itd. Kako u tetivnom cˇetverokutu ABCD sastranicama a, b, c, d i redom kutovima α, β, γ, δ vrijedi da je α+γ = pi, iz prethodneformule slijedi da je povrsˇinaP =√s(s − a)(s − b)(s − c)(s − d).Ova formula zove se Brahmaguptina formula i dobija se kao “specijalni” slucˇajBretschneiderove formule. U ovome cˇlanku nije bilo planirano razmatrati ovakvesadrzˇaje, pa upuc´ujem cˇitatelja na npr. [2] i drugu srodnu literaturu ili pak mnosˇtvouradaka na Internetu.O razlicˇitim dokazima Heronove formule dosta je vec´ recˇeno i napisano (vidi [1]i [2]). U izvod¯enju i dokazivanju ove formule koristimo se elementarnom matemati-kom (algebra, planimetrija, vektori, itd.) pa je i to razlog sˇto nam je ona tako lijepa ielegantna. Narocˇito je vazˇno sˇto sve to mogu pratiti i ucˇenici zavrsˇnih razreda osnov-nih i srednjih sˇkola i dozˇivjeti ljepotu matematike kroz ovakve sadrzˇaje. Najboljidokaz za ovo je lijep, elegantan i elementaran dokaz srednjosˇkolca Milesa Edwardsaprikazan u radu [4].U ovome cˇlanku pokazat c´emo kako se do Heronove formule dolazi malo dru-gacˇijim pristupom, tj. rjesˇavanjem jednog sustava funkcijskih jednadzˇbi (vidi [3]).Nadalje, analizirajuc´i upotrebljivost tako dobivenog rezultata na jednom jedno-stavnom zadatku, dobivamo razne trigonometrijske odnose, tj. mozˇemo prirodnoizgraditi i samu trigonometriju.2. “Dokaz” Heronove formuleNeka je f : R+3 −→ R+ polinom od tri realna pozitivna argumenta x, y, z, sasljedec´im svojstvima:1. f(1, 1,√2) = 142. f(x, y, z) = f(x, z, y) = f(y, x, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y) = f(z, y, x)3. f(kx, ky, kz) = k4f(x, y, z), gdje je k ∈ R+Heronova formula kao rjesˇenje sustava funkcijskih jednadzˇbi 174. f(x, y, x + y) = 0.Svojstvima od (1) do (4) polinoma f zadan je sustav funkcijskih jednadzˇbi.Analizirajmo sˇto nam ovi uvjeti odnosno jednadzˇbe govore:Uvjet (2) kazˇe da je polinom f simetricˇan po svim promjenljivim velicˇinama, aiz uvjeta (3) slijedi da je funkcija odnosno polinom cˇetvrtog stupnja homogen posvim varijablama.Iz svojstva (4) slijedi da je z = x+y nula polinoma f , a zbog simetricˇnosti, nulesu takod¯er x = y + z i y = x + z. Posˇto polinom f(x, y, z) mora (zbog (3)) biticˇetvrtog stupnja, i zbog (4), mozˇemo pisati:f(x, y, z) = g(x, y, z)(y + z − x)(x+ z − y)(x + y − z),gdje je g(x, y, z) neki polinom prvog stupnja simetricˇan po svim argumentima.Stoga je:g(x, y, z) = a(x+ y + z),gdje je a konstanta, tj. a ∈ R+. Iz svojstva (1) dobivamo:14= a(1 + 1 +√2)(1 + 1−√2)(1 +√2− 1)(1 +√2− 1) = 4a,odakle slijedi da je a = 116. Sada mozˇemo pisatif(x, y, z) =116(x + y + z)(y + z − x)(x+ z − y)(x + y − z) (i)Ova funkcija predstavlja rjesˇenje sustava (1) do (4) funkcijskih jednadzˇbi. Pro-motrimo li dobivenu funkciju lako se uvjeravamo da su svi zadani uvjeti zadovoljeni,tj. da je ona uistinu trazˇeno rjesˇenje sustava. No, nastavimo dalje. Ako stavimox+ y + z = 2spolinom f(x, y, z) dobija krac´i oblikf(x, y, z) = s(s − x)(s− y)(s − z)u kojem lako prepoznajemo kvadrat Heronove formule. Dobro je poznato da jes njom zadan postupak za izracˇunavanje povrsˇine trokuta ako su zadane strani-ce, ovdje x, y i z. Osvrnimo se ponovno na cˇetiri uvjeta zadana funkcijskim jed-nadzˇbama, i pokusˇajmo zakljucˇiti sˇto nam oni govore u svjetlu dobivenog rezultata.Uvjet (1) kazˇe nam da kvadrat sa stranicom 1 ima povrsˇinu 1, odnosno njegovapolovina (trokut sa stranicama 1, 1,√2) ima povrsˇinu 12 . Drugim rijecˇima uvodise “jedinica mjerenja”, tj. jedinicˇni kvadrat. Kako je ovim uvjetom zadan kvadratte povrsˇine, zakljucˇujemo da je povrsˇina trokuta sa stranicama x, y, z jednaka√f(x, y, z), odnosno zapisujemoP (x, y, z) =√s(s − x)(s − y)(s − z) (ii)sˇto predstavlja dobro poznati zapis Heronove formule. Uvjet (2) govori nam dapovrsˇina trokuta ne ovisi o poretku njegovih stranica.18 Antun Ivankovic´Uvjet (3) kazˇe da povrsˇina slicˇnog lika nekom liku raste s kvadratom koeficijentaslicˇnosti k. Koeficijent slicˇnosti daje nam ujedno i informaciju o promjeni jedinicemjerenja.Uvjet (4) govori da je povrsˇina trokuta jednaka nuli u slucˇaju da sva tri njegovavrha lezˇe na jednom pravcu, odnosno stranici. Iz svega ovoga mozˇemo zakljucˇitida sustav funkcijskih jednadzˇbi (1) do (4) uistinu daje sve potrebne informacije iuvjete da bi se iz rjesˇenja sustava (i) mogla izvesti Heronova formula (ii). Evo, sadakada je nasˇa formula “dokazana” krenimo dalje. Primijenimo Heronovu formuluna rjesˇavanje jednog planimetrijskog zadatka kako bismo proveli jedno zanimljivorazmiˇsljanje.3. Jedan zadatak i njegove posljediceNad¯imo trec´u stranicu c trokuta ABC (Slika 1) ako su poznate stranice a, b i njegovapovrsˇina P . Ovaj zadatak je ekvivalentan nalazˇenju druge dijagonale c2 paralelo-grama ABCD kada su mu poznate stranice a, b i dijagonala c1. Posˇto dvije straniceparalelograma sa dijagonalom cˇine trokut, po Heronovoj formuli mozˇemo izracˇunatipovrsˇinu, a onda se po prvotnoj formulaciji zadatka dobija prva dijagonala, a uzput nalazimo i drugu. Redom provedimo navedeni postupak:Slika 1. Trokut ABC prosˇiren do paralelograma ABCDPrema ranije izlozˇenom vrijedi:16P 2 = (a+ b+ c)(a+ b− c)(a+ c − b)(b+ c− a)gdje su a, b, c stranice trokuta, a P njegova povrsˇina (Slika 1). Neka je zadano: P ,a i b, a trazˇi se stranica c. Nakon mnozˇenja, iz prethodnog izraza dobivamo:16P 2 = [(a+ b)2 − c2][c2 − (a− b)2].Heronova formula kao rjesˇenje sustava funkcijskih jednadzˇbi 19Uvedimo supstitucije: (a + b)2 = u, (a − b)2 = v, c2 = x, 16P 2 = w. Nakonuvrsˇtavanja u prethodni izraz i sred¯ivanja dobijamo kvadratnu jednadzˇbu po x:x2 − (u + v)x + uv +w = 0.Rjesˇavanjem jednadzˇbe i vrac´anjem supstitucija dobivamo:x1,2 = a2 + b2 ± 2√a2b2 − 4P 2 (iii)gdje jedno rjesˇenje daje jednu dijagonalu, a drugo drugu dijagonalu odgovarajuc´egparalelograma.Ilustrirajmo sve to na jednostavnom primjeru. Uzmimo trokut sa stranicama a = 3,b = 4 i povrsˇine P = 5. Stranicu c izracˇunavamo koristec´i izraz (iii). Tako dobivamox1,2 = 9 + 16± 2√9 · 16− 4 · 36 = 25,pa su obje dijagonale odgovarajuc´eg paralelograma jednake 5 (jer je c1,2 =√x1,2)i takav trokut je pravokutan. Ako, na primjer, u tom trokutu uzmemo za a = 3,b = 5 i P = 6, na isti nacˇin dobivamox1,2 = 9 + 25± 2√9 · 25− 4 · 36 = 34± 18,odnosno x1 = 16 i x2 = 52, odakle slijede dijagonale c1 = 4 i c2 = 2√13 odgo-varajuc´eg paralelograma. Prvu dijagonalu mogli smo naslutiti odmah, a drugu tekposlije provedenog racˇuna. Izraz (iii) za izracˇunavanje trec´e stranice, ako su zadanedvije i povrsˇina, mozˇemo opet lako vratiti na oblik za izracˇunavanje povrsˇine iz tristranice. Ako u (iii) umjesto x1,2 stavimo c2, gdje je c2 = x1,2, dobivamoc2 = a2 + b2 ± 2√a2b2 − 4P 2.Nakon sred¯ivanja dobivamo16P 2 = 4a2b2 − (a2 + b2 − c2)2,odakle slijediP =√(ab2)2−(a2 + b2 − c24)2.U gornjem izrazu, oznacˇimo sa Q = ab2i D = a2+b2−c24. Izraz Q predstavljapovrsˇinu pravokutnog trokuta sa katetama a i b, a izraz D nazovimo “defekttrokuta.”1 Sada gornja formula dobiva oblik P =√Q2 −D2 odnosnoP 2 +D2 = Q2 (iv)Primjec´ujemo da se P , Q i D “ponasˇaju” kao stranice pravokutnog trokuta. Za-kljucˇujemo sljedec´e: povrsˇina Q pravokutnog trokuta sa stranicama a i b, povrsˇina1Ako su a, b, c stranice trokuta, a α, β i γ kutovi nasuprot redom zadanih stranica, ondaimamo: D = ab2cosγ i P = ab2sinγ. Nije tesˇko provjeriti da je za ovakve vrijednosti povrsˇinajednakost u (iv) identicˇki zadovoljena.20 Antun Ivankovic´P trokuta sa stranicama a, b, c i defekt D ovog trokuta u odnosu na stranicu c,redom su hipotenuza i kateta pravokutnog trokuta. Ako (iv) napiˇsemo u obliku(PQ)2+(DQ)2= 1vidimo da se PQ mozˇe uzeti kao sinus nekog kuta, aDQ kao kosinus istog kuta i izvestidalje niz trigonometrijskih odnosa. Na taj nacˇin navedene funkcijske jednadzˇbesadrzˇe informacije iz kojih se mozˇe izgraditi i sama trigonometrija.Literatura[1] D. Jovicˇic´, J. Beban-Brkic´, Razlicˇiti dokazi Heronove formule, Miˇs45(2008), 210–214.[2] B. Pavkovic´, D. Veljan, Elementarna matematika 1 i 2, Sˇkolska knjiga,Zagreb, 2004.[3] M. Stojakovic´, Stazama matematike, Radnicˇki univerzitet ”RadivojC´irpanov”, Novi Sad, 1977.[4] N. Truhar, Dva dokaza Heronove formule, OML 2(2008), 65–69.

Heron\u27s formula as the solution system of functional equations

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia