U ovom članku analizira se uvjetovanost
matrice linearnog sustava i njena povezanost sa singularnom
dekompozicijom matrice. Pokazuje se da su loše uvjetovane matrice
"gotovo singularne". Singularna dekompozicija također ukazuje na
tu vezu, a koristi se i za određivanje ranga i numeričkog ranga
matrice. Ove povezanosti ilustrirane su na primjerima s matricama
dimenzije $3times3$, za koje je korišten programski paket
Mathematica.This paper provides analysis of condition of a linear system and its connection to the singular value decomposition. It can be seen that ill-conditioned matrices are "nearly singular". The singular value decomposition (SVD) also points to that relationship. In addition, SVD can be used to determine rank and numerical rank of a matrix. These relationships are demonstrated on examples with $3times3$ matrices, for which Mathematica software package is used

Jasenka Augustinović

U ovom članku analizira se uvjetovanost

matrice linearnog sustava i njena povezanost sa singularnom

dekompozicijom matrice. Pokazuje se da su loše uvjetovane matrice

"gotovo singularne". Singularna dekompozicija također ukazuje na

tu vezu, a koristi se i za određivanje ranga i numeričkog ranga

matrice. Ove povezanosti ilustrirane su na primjerima s matricama

dimenzije $3\times3$, za koje je korišten programski paket

Mathematica.This paper provides analysis of condition of a linear system and its connection to the singular value decomposition. It can be seen that ill-conditioned matrices are "nearly singular". The singular value decomposition (SVD) also points to that relationship. In addition, SVD can be used to determine rank and numerical rank of a matrix. These relationships are demonstrated on examples with $3\times3$ matrices, for which Mathematica software package is used

Augustinović, Jasenka

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Osjecˇki matematicˇki list 9(2009), 93–104 93Uvjetovanost linearnog sustavaJasenka Augustinovic´∗STUDENTSKA RUBRIKASazˇetak. U ovom cˇlanku analizira se uvjetovanost matrice lin-earnog sustava i njena povezanost sa singularnom dekompozicijom ma-trice. Pokazuje se da su losˇe uvjetovane matrice “gotovo singularne”.Singularna dekompozicija takod¯er ukazuje na tu vezu, a koristi se i zaodred¯ivanje ranga i numericˇkog ranga matrice. Ove povezanosti ilustri-rane su na primjerima s matricama dimenzije 3× 3, za koje je koriˇstenprogramski paket Mathematica.Kljucˇne rijecˇi: uvjetovanost linearnog sustava, singularna matrica,singularna dekompozicija, rang, numericˇki rangCondition of a linear systemAbstract. This paper provides analysis of condition of a linearsystem and its connection to the singular value decomposition. It canbe seen that ill-conditioned matrices are “nearly singular”. The singularvalue decomposition (SVD) also points to that relationship. In addition,SVD can be used to determine rank and numerical rank of a matrix.These relationships are demonstrated on examples with 3 × 3 matrices,for which Mathematica software package is used.Key words: condition of a linear system, singular matrix, the sin-gular value decomposition, rank, numerical rank1. Uvjetovanost matrice sustavaPojam uvjetovanosti koristi se kao pokazatelj osjetljivosti rjesˇenja nekog prob-lema na male promjene ulaznih velicˇina. Ovdje promatramo osjetljivost rjesˇenjalinearnog sustava Ax = b na male promjene elemenata matrice A ili vektora b.Neka je A kvadratna regularna matrica, tako da inverz A−1 postoji i jedinstvenje. Tada linearan sustav Ax = b ima jedinstveno rjesˇenje x = A−1b. Pret-postavimo da smo promijenili desnu stranu sustava u b + δb, dok je matrica A∗Sveucˇiliˇste u Osijeku, Odjel za matematiku, Gajev trg 6, HR - 31000 Osijek, e-mail:jaugusti@mathos.hr94 Jasenka Augustinovic´ostala nepromijenjena. Neka je x + δxb rjesˇenje takvog sustava:A(x + δxb) = b+ δb.Kako vrijedi Ax = b, slijedi da je Aδxb = δb, odnosno δxb = A−1δb. Takodobivamo ocjenu:‖δxb‖ ≤ ‖A−1‖‖δb‖, (1)gdje jednakost vrijedi za barem jedan vektor δb. Takod¯er, iz relacijeAx = b slijedi:‖b‖ ≤ ‖A‖‖x‖, (2)gdje jednakost vrijedi za neke vektore x i b. Mnozˇenjem nejednakosti (1) i (2) idijeljenjem obje strane s ‖x‖‖b‖, dobivamo:‖δxb‖‖x‖ ≤ ‖A−1‖‖A‖‖δb‖‖b‖ . (3)Slicˇno, mozˇemo promijeniti matricu A i vektor b ostaviti nepromijenjen. Nekaje x + δxA rjesˇenje takvog sustava:(A+ δA)(x+ δxA) = b.Pri tome pretpostavimo da je ‖δA‖ dovoljno malen da je matrica A+δA regularna.Analognim izvodom kao za (3), dobivamo:‖δxA‖‖x+ δxA‖ ≤ ‖A−1‖‖A‖‖δA‖‖A‖ . (4)Vrijednost ‖A−1‖‖A‖, koja se pojavljuje u (3) i (4), zovemo uvjetovanost matriceA (u odnosu na rjesˇavanje sustava Ax = b) i oznacˇavamo s κ(A). Ona pokazujekoliko se povec´ava relativna promjena u rjesˇenju x u odnosu na relativnu promjenuvektora b u (3), odnosno matrice A u (4). Vrijednost κ(A) ovisi o normi koja seprimjenjuje, ali za bilo koju normu vrijedi κ(A) ≥ 1. Naime, jedinicˇna matrica jenorme 1 za bilo koju normu, te vrijedi:‖I‖ = ‖A−1A‖ ≤ ‖A−1‖‖A‖.Za matricu A kazˇemo da je dobro uvjetovana ako male promjene u vektoru bili matrici A rezultiraju malim promjenama u rjesˇenju x. Iz (3) i (4) vidimo da c´eto vrijediti kada je κ(A) blizu 1. Suprotno tome, matrica A je losˇe uvjetovana akomale promjene u vektoru b ili matrici A vode do velikih promjena u rjesˇenju x, sˇtoc´e biti ispunjeno ako je κ(A) mnogo vec´i od 1. Po konvenciji je κ(A) =∞ kada jematrica A singularna.Naravno, mozˇemo istovremeno promijeniti i matricu A i vektor b. Dobivamosustav:(A + δA)(x + δx) = b+ δb.Uvjetovanost linearnog sustava 95Uz pretpostavku da je δA dovoljno malen da vrijedi ‖A−1δA‖ ≤ ‖A−1‖‖δA‖ < 1,mozˇe se pokazati sljedec´a nejednakost (vidi [1]):‖δx‖‖x‖ ≤κ(A)1− κ(A)‖δA‖‖A‖(‖δA‖‖A‖ +‖δb‖‖b‖).Vrijednostκ(A)1− κ(A)‖δA‖‖A‖je blizu uvjetovanosti κ(A) kada je ‖δA‖ dovoljno malen.U sljedec´im primjerima promatramo kako se ponasˇa rjesˇenje x pri malim prom-jenama vektora b kada je matrica A dobro, odnosno losˇe uvjetovana.Primjer 1. Promotrimo linearni sustav:2x+ 2y + z = 74x− 0.5y + z = 4−x − 0.5y + 4z = 2Rjesˇenje ovog sustava je tocˇka x = (1, 2, 1). Na slici 1 prikazane su tri ravnineodred¯ene ovim jednadzˇbama.Slika 1. Graficˇki prikaz sustavaMatrica sustava je:A = 2 2 14 −0.5 1−1 −0.5 4 .Izracˇunamo li uvjetovanost matrice A za normu ∞:κ∞(A) = 1.90295,96 Jasenka Augustinovic´vidimo da je matrica A dobro uvjetovana. Zbog relacije (3) ocˇekujemo da c´e malerelativne promjene vektora b uzrokovati male relativne promjene vektora x. Topotvrd¯uje graficˇki prikaz na slici 2. Vektor b = [7, 4, 2]T mijenjan je tako da jesvakoj njegovoj komponenti dodana normalna slucˇajna varijabla N (0, σ2). Zatim jeza svaki tako dobiven vektor b+δb rjesˇavan sustav A(x+δxb) = b+δb. Na slici 2su s lijeve strane prikazane tocˇke koje predstavljaju relativnu promjenu vektora b, as desne strane tocˇke koje predstavljaju odgovarajuc´u relativnu promjenu vektora x.Primjec´ujemo da su ”oblaci” koji predstavljaju te relativne promjene slicˇne velicˇine.To znacˇi da su male relativne promjene vektora b zaista rezultirale malim relativnimpromjenama vektora x.-0.020.000.020.04-0.050.000.05-0.10-0.050.000.050.10-0.050.000.05-0.050.000.05-0.050.000.05Slika 2. Utjecaj relativne promjene vektora b na relativnu promjenu rjesˇenja xPrimjer 2. Promotrimo sljedec´i linearni sustav:3x+ 2y + z = 84x− 0.5y + z = 4x− 0.5y + 0.25z = 0.25Matrica sustava je:A = 3 2 14 −0.5 11 −0.5 0.25 ,a rjesˇenje ponovno x = (1, 2, 1). Na slici 3 primjec´ujemo mali kut izmed¯u jedneravnine i pravca u kojem se sjeku druge dvije ravnine.Uvjetovanost linearnog sustava 97Slika 3. Graficˇki prikaz sustavaTo znacˇi da su retci ove matrice gotovo linearno zavisni. Zaista, ako napravimosljedec´u kombinaciju prva dva retka:− 319 321+ 719 4−0.51 = 1−0.5419 ≈ 1−0.50.21vidimo da se rezultat malo razlikuje od zadnjeg retka matrice A: [1,−0.5, 0.25].Nasluc´ujemo da je matrica sustava losˇe uvjetovana, sˇto potvrd¯uje izracˇun: κ∞(A) =232. Takod¯er, na slici 4 primjec´ujemo da male relativne promjene vektora b rezul-tiraju velikim relativnim promjenama rjesˇenja x.-0.020.000.020.04-0.050.000.05-0.50.00.51.0-2-101 -0.4-0.20.00.2-505Slika 4. Utjecaj relativne promjene vektora b na relativnu promjenu rjesˇenja xVidjeli smo da c´e matrica biti losˇe uvjetovana ako su neki od njenih redakagotovo linearno zavisni. Mozˇe se rec´i da je losˇe uvjetovana matrica ”gotovo singu-larna”. Zaista, vrijedi (vidi [4]):min{‖∆A‖‖A‖ : A+∆A singularna}=1κ(A)98 Jasenka Augustinovic´Dakle, relativna udaljenost matriceA do najblizˇe singularne matrice je upravo 1κ(A) .Sˇto je matrica losˇije uvjetovana, to je blizˇa singularnosti.Josˇ neke razloge losˇe uvjetovanosti otkriva singularna dekompozicija matrice A.O tome viˇse u sljedec´em poglavlju.2. Singularna dekompozicija matricePrvi teorem govori da je za svaku matricu moguc´e nac´i singularnu dekompozi-ciju.Teorem 1. ([1])Ako je A ∈ Cm×n, tada postoje unitarne matrice U ∈ Cm×m i V ∈ Cn×n, takveda vrijedi:A = UΣV∗ (5)gdje je Σ ∈ Cm×n dijagonalna matrica oblika Σ = diag(σ1, σ2, ..., σmin(m,n)) ivrijedi σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σmin(m,n) ≥ 0.Rastav (5) zovemo singularna dekompozicija matriceA, a brojeve σ1, σ2, ..., σmin(m,n)singularne vrijednosti matrice A. Stupce matrice U zovemo lijevim, a stupce ma-trice V desnim singularnim vektorima matrice A.Singularna dekompozicija daje mnogo informacija o strukturi matrice, o cˇemugovori sljedec´i teorem.Teorem 2. ([7])Neka je A ∈ Cm×n matrica sa singularnom dekompozicijom A = UΣV∗ i singu-larnim vrijednostima σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > σr+1 = ... = σn = 0. Tada vrijedi:i) rang(A) = r,ii) R(A) = Im(A) = span{u1, ...,ur},iii) N (A) = Ker(A) = span(vr+1, ...,vn),iv) ‖A‖2 = σ1.Dakle, broj singularnih vrijednosti razlicˇitih od nule daje rang r matrice A.Prvih r stupaca matrice U cˇini ortonormalnu bazu za R(A), dok zadnjih n − rstupaca matrice V cˇini ortonormalnu bazu za N (A). I konacˇno, 2-norma matriceA jednaka je najvec´oj singularnoj vrijednosti.Primjetite da ako je matrica A = UΣV∗ ranga r i oznacˇimo:Σr = diag(σ1, σ2, ..., σr), Ur = [u1,u2, ...,ur], Vr = [v1,v2, ...,vr]tada vrijedi:A = UΣV∗ =UrΣrV∗r =r∑i=1σiuiv∗i .Uvjetovanost linearnog sustava 99Josˇ jedno zanimljivo svojstvo singularne dekompozocije daje sljedec´i teorem.Teorem 3. ([1])Neka je A = UΣVT singularna dekompozicija matrice A ∈ Rm×n, gdje je m ≥ n.Neka je S jedinicˇna sfera u Rn :S = {x ∈ Rn : ‖x‖2 = 1}.Tada je:A · S = {Ax : x ∈ Rn i ‖x‖2 = 1}elipsoid sa srediˇstem u ishodiˇstu Rm i glavnim poluosima σiui.Dakle, singularne vrijednosti matrice A jednake su duljinama poluosi elipsoidaAS. Ispostavlja se da se djelovanje matrice A = UΣVT na jedinicˇnu sferu mozˇeopisati kao niz od tri jednostavnije transformacije: VT rotira sferu, Σ ju zatimrastezˇe u elipsoid s poluosima duljine σi, a zatim ga matrica U rotira. Naime, U iV su ortogonalne matrice i ne mijenjaju normu vektora na kojeg djeluju. Njihov jegeometrijski smisao rotacija.Primjer 3. Promotrimo josˇ jednom matrice iz prva dva primjera:A1 = 2 2 14 −0.5 1−1 −0.5 4 , A2 = 3 2 14 −0.5 11 −0.5 0.25 .Nacˇinimo li singularnu dekompoziciju tih matrica, dobivamo da su singularne vri-jednosti matrice A1 jednake:σ1 = 4.71535, σ2 = 4.14502, σ3 = 2.02095dok za matricu A2 iznose:σ1 = 5.34839, σ2 = 1.98897, σ3 = 0.0352517.Elipsoidi nastali djelovanjem matrice A1 i A2 na jedinicˇnu sferu S prikazani su naslici 5. Primjetite da je σ3 kod matrice A2 mnogo manja u odnosu na prve dvijesingularne vrijednosti. Kako su singularne vrijednosti jednake duljinama poluosielipsoida, elipsoid A2S je prilicˇno plosnat.Slika 5. Jedinicˇna sfera S i elipsoidi A1S, A2S.100 Jasenka Augustinovic´U sljedec´a dva odjeljka dana je veza izmed¯u singularne dekompozicije i uvje-tovanosti matrice, te vazˇna povezanost s rangom i numericˇkim rangom matrice.2.1. SVD i uvjetovanost matricePrisjetimo se definicije uvjetovanosti matrice:κ(A) = ‖A−1‖‖A‖.Iskoristimo li svojstvo iv) iz teorema 2, mozˇemo dobiti izraz za uvjetovanost u2-normi. No, najprije je potrebno odrediti najvec´u singularnu vrijednost matriceA−1. Iz A = UΣV∗ slijedi:A−1 = VΣ−1U∗.Kako su U i V unitarne matrice i Σ dijagonalna matrica, ta relacija pokazuje da susingularne vrijednosti matrice A−1 jednake reciprocˇnim singularnim vrijednostimamatrice A. Stoga je najvec´a singularna vrijednost matrice A−1 jednaka 1/σn. Sadaimamo:κ2(A) = ‖A−1‖2‖A‖2 = σ1σnSlijedi da je matrica A sve losˇije uvjetovana sˇto je σn manji.Primjer 4. Promotrimo sustav dvije jednadzˇbe s dvije nepoznanice:a11x1 + a12x2 = b1 (6)a21x1 + a22x2 = b2Tim jednadzˇbama odred¯ena su dva pravca u ravnini. Pretpostavimo da vrijedi:a211 + a212 = 1 (7)a221 + a222 = 1Tada je kut izmed¯u tih pravaca jednak:cosϕ = a11a21 + a12a22Mozˇe se pokazati (vidi [8]) da je uvjetovanost matrice A sustava (6) uz uvjete (7)jednaka:κ2(A) =√1 + cosϕ1− cosϕ =σ1σ2pri cˇemu su σ1 i σ2 singularne vrijednosti matrice A. To znacˇi da uvjetovanostmatrice ovisi o kutu izmed¯u pravaca koje odred¯uju njeni retci. Sˇto je kut ϕ manji,manja je σ2 i time uvjetovanost κ2(A) vec´a.Uvjetovanost linearnog sustava 1012.2. SVD i numericˇki rangRang matriceA definira se kao broj linearno nezavisnih redaka (stupaca) te ma-trice. Med¯utim, zbog prisutnosti gresˇaka pri mjerenju, aproksimaciji i zaokruzˇivanju,retci matrice koji su matematicˇki gledano linearno nezavisni mogu biti gotovo lin-earno zavisni u prakticˇnom smislu. Stoga se definira numericˇki rang rε, kao brojredaka matrice A koji su linearno nezavisni s obzirom na neki prag ε :rε = rε(A, ε) = min‖E‖2≤εrang(A+ E)Dakle, to je broj redaka matrice A koji c´e biti linearno nezavisni za bilo koju prom-jenu E koja je po normi manja ili jednaka od ε.Jedna od vazˇnih upotreba singularne dekompozicije je upravo odred¯ivanje rangai numericˇkog ranga matrice. Naime, po teoremu 2 rang matrice je jednak brojusingularnih vrijednosti razlicˇitih od nule. Slicˇna veza, kao sˇto c´emo vidjeti, postojiizmed¯u sigularnih vrijednosti i numericˇkog ranga.Teorem 4. ([9])Neka su σ1, σ2, ..., σn singularne vrijednosti matrice A i τ1, τ2, ..., τn singularne vri-jednosti matrice A +E. Tada vrijedi:|σi − τi| ≤ ‖E‖2, i = 1, 2, ..., n.Dvije su zanimljive cˇinjenice u ovom teoremu. Prvo, ne postoji ogranicˇenje zamatricu E, tj. tvrdnja c´e biti istinita za bilo koju promjenu matrice A. Drugo,ako su singularne vrijednosti poredane po velicˇini, tada c´e za po normi malen Esingularna vrijednost σi biti blizu τi. Kako je matrica A ranga r ako je σr > σr+1 =0, teorem 4 povlacˇi sljedec´i teorem:Teorem 5. ([2])Neka je A ∈ Cm×n matrica ranga r sa singularnom dekompozicijom A = UΣV∗.Neka je k < r i:Ak =k∑i=1σiuiv∗i .Tada je:minrang(B)=k‖A−B‖2 = ‖A−Ak‖2 = σk+1.Teorem kazˇe da je udaljenost matriceA ranga r do najblizˇe matrice ranga k jednakaσk+1 i da se taj minimum postizˇe u matrici Ak. Primjetite da je:Ak = UΣkV∗,gdje je Σk = diag(σ1, σ2, ..., σk, 0, ...,0). Dakle, matrica Ak se od matrice A raz-likuje samo po matrici Σ.Uzimajuc´i u obzir ove cˇinjenice, numericˇki rang rε mozˇe se definirati kao brojsingularnih vrijednosti koje su vec´e od nekog praga ε :σrε > ε ≥ σrε+1102 Jasenka Augustinovic´Odred¯ivanje numericˇkog ranga je relativno lako kada postoji razmak izmed¯u velikihi malih singularnih vrijednosti. Na primjer, neka su singularne vrijednosti matriceA sljedec´e:σ1 = 1, σ2 = 0.5 σ3 = 0.1 σ4 = 10−4 σ5 = 10−8Uzmemo li prag ε = 10−3, numericˇki rang matrice A bit c´e 3, dok c´e za npr.ε = 10−5 numericˇki rang biti 4. Med¯utim, ako su singularne vrijednosti:σ1 = 1, σ2 = 10−1 σ3 = 10−2 σ4 = 10−3 σ5 = 10−4vrlo je tesˇko odrediti prag, pa tako i numericˇki rang. Opc´enito, numericˇki rangmatrice ima smisla odred¯ivati samo kada postoji jasan razmak izmed¯u singularnihvrijednosti.Sada mozˇemo povezati uvjetovanosti matrice i njen numericˇki rang. Neka jeA ∈ Cm×n i n ≤ m. Ako je matrica A punog ranga, tj. rang(A) = n, tada jeudaljenost izmed¯u matrice A i najblizˇe matrice ranga n − 1 jednaka σn. S drugestrane, κ2(A) = σ1σn . Proizlazi da sˇto je σn manji, matrica je sve losˇije uvjetovana isve blizˇe matrici nizˇeg ranga. Takod¯er, ako je σn dovoljnomalen, mozˇe se zanemaritiuz neki prag ε. Tako bi numericˇki rang mogao biti n − 1. Dakle, losˇe uvjetovanematrice mogu imati numericˇki rang nizˇi od stvarnog ranga.Primjer 5. Promotrimo jedan losˇe uvjetovan sustav:1x+ 2y + 3z = 145x+ 2y + 7z = 306x+ 4y + 9.999z = 43.997Rjesˇenje sustava je tocˇka x = (1, 2, 3), iako se na prvi pogled cˇini da je rjesˇenjepravac (vidi sliku 6).Slika 6. Graficˇki prikaz sustavaUvjetovanost linearnog sustava 103Ocˇito je da su retci ove matrice gotovo linearno zavisni:A = 1 2 35 2 76 4 9.999Zbroj prva dva retka daje vektor [6, 4, 10], dok je trec´i redak matrice [6, 4, 9.999].Ova matrica ima uvjetovanost cˇak κ∞(A) = 59997. Promotrimo njene singularnevrijednosti:σ1 = 15.5434 σ2 = 1.54398 σ3 = 0.000333352Vidimo da je σ3 reda velicˇine 10−4 i mogla bi se zanemariti uz prag npr. ε = 10−3.Tada bi numericˇki rang matrice A bio 2. Takod¯er, σ3 nam pokazuje da je matricaA vrlo blizu matrice ranga 2. Iako se na prvi pogled cˇini da je najbliˇza matricaranga 2 upravo:Aˆ = 1 2 35 2 76 4 10ipak je ‖Aˆ−A‖2 = 0.001 > σ3.Prema teoremu 5, najbliˇza matrica ranga 2 je:A2 = UΣ2VT = 1.00011 2.00011 2.999895.00011 2.00011 6.999895.99989 3.99989 9.99911gdje je Σ2 = diag(σ1, σ2, 0), jer vrijedi ‖A2 −A‖2 = 0.000333352 = σ3.Literatura[1] J. W. Demmel, Applied numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997.[2] Z. Drmacˇ, V. Hari, M. Marusˇic´, M. Rogina, S. Singer, Numericˇkaanaliza, predavanja i vjezˇbe, Zagreb, 2003.http://web.math.hr/∼ rogina/2001096/num anal.pdf[3] P. E. Gill, W. Murray, M. H. Wright, Numerical Linear Algebra andOptimization, Volume 1, Addison-Wesley Publishing Company, Redwood City,California, 1991.[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan, Matrix Computations, Third Edition, TheJohns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1996.[5] G. Golub, V. Klema, G. W. Stewart, Rank Degeneracy and Least SqaresProblems, Computer Science Department, Stanford University, 1976.http://eprints.kfupm.edu.sa/60731/1/60731.pdf104 Jasenka Augustinovic´[6] P. C. Hansen, Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: NumericalAspects of Linear Inversion, SIAM, 1998.[7] D. Kincaid, W. Cheney, Numerical Analysis: Mathematics of ScientificComputing, Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 1991.[8] M. Mesˇtrovic´, K. Sabo, Graficˇka ilustracija pogresˇke u rjesˇenju sustavalinearnih jednadzˇbi, Osjecˇka matematicˇka sˇkola, Vol. 4 (2004) br. 2, Osijek,2004.[9] G. W. Stewart, Perturbation Theory for the Singular Value Decomposition,Institute for Advanced Computer Studies, University of Maryland, 1990.http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.44.9904

Condition of a linear system

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia