Operacije nad politopskim skupovima kod optimalnog upravljanja sustava s ograničenjima

Abstract

In the last decade a lot of research has focused on the explicit solution of optimal and robust control problems for the class of constrained discrete-time systems. Many newly developed control algorithms for such control problems internally use operations on polytopic sets. We review basic polytopic manipulations and analyze them in the context of the computational effort. We especially consider the so-called regiondiff problem where the set difference between a polyhedron and union of polyhedra needs to be computed. Regiondiff problem and related polycover problem – checking if a polytope is covered by the union of other polytopes – are utilized very often in derivation of the explicit solutions to the constrained finite time optimal control problems for piecewise affine systems. Similar observation holds for the computation of the (positive) controlled invariant sets, infinite time optimal control solution and/or controllers with reduced complexity for piecewise affine systems. We describe an in-place depth-first exploration algorithm that solves the regiondiff problem in an efficient manner. We derive strict upper bound for the computational complexity of the described algorithm. In extensive testing we show that our algorithm is superior to the mixed integer linear programming approach when solving the polycover problem.U posljednjih desetak godina znatna istraživačka aktivnost usmjerena je na pronalaženje eksplicitnih rješenja optimalnog i robusnog upravljanja za klasu vremenski diskretnih sustava s ograničenjima. Brojni razvijeni algoritmi interno koriste operacije nad politopskim skupovima. U ovom radu analiziramo osnovne operacije nad politopskim skupovima sa stajališta njihove računske kompleksnosti. Naročita pozornost dana je takozvanom regiondiff problemu, odnosno problemu proračuna razlike poliedarskog skupa i unije poliedara. Isto tako je analiziran i srodni polycover problem – provjera je li poliedarski skup u potpunosti prekriven unijom poliedara. Oba ova problema često se sre´cu pri konstruiranju ekplicitnih rješenja optimalnog upravljanja po dijelovima afinih sustava uz konačan horizont predikcije, kao i pri proračunu pozitivnih invarijantnih skupova, optimalnog upravljanja uz beskonačan horizont predikcije i/ili proračunu regulatora smanjene kompleksnosti za po dijelovima afine sustave. Razvijen je efikasan algoritam za rješenje regiondiff problema zasnovan na dubinskom pretraživanju stablaste strukture problema. Izvedena je teoretska gornja ograda za kompleksnost dobivenog algoritma, i pokazano je zašto je takva ograda konzervartivna u praksi. Na nizu simulacija pokazana je računsku superiornost razvijenog algoritam za polycover problem u odnosu na pristup zasnovan na rješavanju mješovitog cjelobrojnog programa