F. M. Brückler

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Osjecˇki matematicˇki list 7(2007), 49–52 49Georg Cantor (1845.–1918.)Bit matematike je u njenoj slobodi.Franka Miriam Bru¨ckler∗POVIJESNA RUBRIKATeorija skupova kao disciplina nije nastala poimanjem da neki objekti uzetiskupa cˇine skupove. Karakteristika teorije skupova jest da je ona omoguc´ila preciznobaratanje s pojmom beskonacˇnosti i razlikovanje razlicˇitih beskonacˇnosti. MozˇdaVam se cˇini cˇudnim da postoje beskonacˇnosti razlicˇite “velicˇine”? A sˇto biste ondarekli na to da postoji beskonacˇno mnogo razlicˇitih beskonacˇnosti? Upravo to jepokazao otac teorije skupova Georg Cantor. No, krenimo kronolosˇki. . .Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, rod¯en je 3. ozˇujka 1845. u St. Peters-burgu u Rusiji. Otac mu je bio Nijemac i trgovac, a majka Ruskinja. Prema nekimizvorima otac je bio Danac, a prema drugim Cantorovo porijeklo je zˇidovsko. Usvakom slucˇaju, odgojen je u vjeri svoga oca, kao protestant (majka je bila katol-kinja), a od majke je naslijedio talent za glazbu te je bio uspjesˇan violinist. Zbogslabog ocˇeva zdravlja obitelj se preselila u Njemacˇku, u Frankfurt, kad je Georgubilo 11 godina. Studirao je matematiku, prvo u Zu¨richu, a nakon ocˇeve smrti studijje nastavio u Berlinu, gdje je diplomirao i doktorirao. Za vrijeme studija u Berlinupohad¯ao je predavanja tada najuglednijih matematicˇara poput Karla Weierstrassa iLeopolda Kroneckera. Kronecker c´e bitno utjecati na Cantorov kasniji profesionalnizˇivot te ga se ponekad naziva “cˇovjekom zbog kojeg je Cantor poludio”, iako je topomalo pretjerano.Cantor je doktorirao iz podrucˇja teorije brojeva, a znanstveni interes je usmje-rio prema matematicˇkoj analizi nakon sˇto je 1869. dobio mjesto na sveucˇiliˇstu ugradu Halle. Tu ga je naime stariji kolega Heinrich Edouard Heine usmjerio naproblematiku konvergencije trigonometrijskih redova. Dok se bavio tim pitanjimauocˇio je potrebu preciziranja pojma skupa realnih brojeva te je definirao iracionalnebrojeve kao limese nizova racionalnih brojeva. U isto doba drugacˇiji, ali takod¯ertocˇan, nacˇin pravilnog definiranja skupa realnih brojeva imao je Richard Dedekind,s kojim se Cantor sprijateljio tokom jednog odmora u Sˇvicarskoj 1872. Iz iste godinepotjecˇu i Cantorova i Dedekindova definicija iracionalnih brojeva.∗Matematicˇki odjel PMF-a, Sveucˇiliˇste u Zagrebu, Bijenicˇka 30, HR-10000 Zagreb,e-mail: bruckler@math.hr50 Franka Miriam Bru¨cklerU toku 1873. Cantor je dokazao da skup prirodnih brojeva N ima jednako mnogoelemenata kao i skup cijelih Z te kao i skup Q racionalnih brojeva. Prije negoopiˇsemo te dokaze, moramo se prvo dogovoriti oko pojmova. Ocˇito su sva tri nave-dena skupa beskonacˇni - kako onda za njih smisleno definirati kad imaju jednakomnogo elemenata? Ideja je poopc´iti ono sˇto funkcionira kod konacˇnih skupova: zaskup {♦,♥,♠,♣} kazˇemo da ima 4 elementa jer mozˇemo definirati da je ♦ prvi,♥ drugi, ♠ trec´i i ♣ cˇetvrti. Drugim rijecˇima, imamo bijekciju s {1, 2, 3, 4} na{♦,♥,♠,♣}. Opc´enito, konacˇan skup A ima n elemenata ako mozˇemo nac´i bijek-ciju s {1, 2, . . . , n} na A. Slicˇno bismo vidjeli da bilo koja dva konacˇna skupa imajujednako mnogo elemenata tocˇno ako mozˇemo nac´i bijekciju med¯u njima. Stoga sekao definicija jednakobrojnosti (ekvipotentnosti) za bilo koje skupove uzima iduc´a:dva skupa A i B su jednakobrojna (ekvipotentna) ako postoji (bar jedna) bijekcijas A na B; kazˇemo i da A i B imaju isti kardinalni broj. Cantor je koristio upravo tudefiniciju u svojim dokazima iz 1873., iako ju je izrekao mnogo kasnije. Primijetimoda je neki skup jednakobrojan s N tocˇno ako se njegove elemente mozˇe poredati uniz.Da su N i Z jednakobrojni vidi se bijekcijomJednakobrojnost N i Q slijedi iz jednakobrojnosti N i Q+, a ona se pokazuje takoda pozitivne racionalne brojeve poredamo u niz pomoc´u iduc´eg dijagrama (duplikatise ignoriraju):Skupovi koji imaju jednako mnogo elemenata kao i N zovu se prebrojivi; i tajpojam je Cantor uveo tek kasnije, a pripadni kardinalni broj oznacˇio je s ℵ0 (alef-nula, alef je prvo slovo hebrejske abecede). Danas stoga kazˇemo: N, Z i Q imajuℵ0 elemenata.Zadatak: Pokazˇite da su skup svih parnih prirodnih brojeva i skup svih prirodnihGeorg Cantor 51brojeva koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 2 prebrojivi.Prirodno pitanje koje si je Cantor postavio je: ima li i realnih brojeva jednakomnogo kao prirodnih tj. je li i skup R prebrojiv? Da je odgovor “ne” dokazao je uprosincu 1873. i opisao ga u pismu Dedekindu. Taj dokaz smatra se rod¯endanomteorije skupova: otkriveno je da postoje beskonacˇni skupovi koji nemaju jednakomnogo elemenata. Dokaz je objavio u vrlo uglednom cˇasopisu Crelle’s Journal1874. Objavljivanju se protivio jedan od urednika cˇasopisa, Leopold Kronecker, teje cˇlanak objavljen tek nakon sˇto su se Weirerstrass i Dedekind zalozˇili za njegovo ob-javljivanje. Razlog Kroneckerovog protivljenja bio je filozofske prirode: Kroneckerje pripadao struji konstruktivista, matematicˇara koji priznaju samo onaj dokazpostojanja nekog matematicˇkog objekta koji daje nacˇin konstrukcije tog objekta.Cantorovi dokazi iz teorije skupova su pak bitno nekonstruktivisticˇki. Zanimljivostovog Cantorovog cˇlanka je i da je kao jednostavnu posljedicu neprebrojivosti skupaR dobio da postoji beskonacˇno1 mnogo transendentnih2 brojeva (Cantor i Dedekindsu vec´ ranije dokazali da je skup algebarskih brojeva prebrojiv). To je bilo osobitosenzacionalno uzevsˇi u obzir da je tek 1851. Joseph Liouville dokazao da takvi bro-jevi postoje.Nakon gornjeg dokaza, Cantor je pokusˇao dokazati nesˇto sˇto je (samo) naiz-gled ocˇito: da duzˇina i kvadrat nisu jednakobrojni. No, 1877. dokazao je upravosuprotno: ne samo da duzˇina i kvadrat imaju jednako mnogo tocˇaka, nego i kockaima isto toliko. Opc´enito: svi skupovi Rn su jednakobrojni! Tom je prilikom Cantorrekao: Vidim, ali ne vjerujem! Taj je rezultat takod¯er objavio, ponovno uz velikKroneckerov otpor, u Crelle’s Journal-u, no nakon toga viˇse nije objavljivao u tomcˇasopisu. Kasnije se Cantor pokusˇao pomiriti s Kroneckerom te ga je pozvao na prvisastanak Deutsche Mathematische Vereinigung (Njemacˇkog matematicˇkog drusˇtva)1891. No, Kronecker nije mogao doc´i na taj sastanak zbog smrti supruge, a ubrzozatim je i sam umro.Najznamenitiji Cantorov teorem je tzv. Osnovni Cantorov teorem teorijeskupova: Svaki skup S ima strogo manje elemenata nego njegov partitivni skup3.Taj je teorem dokazao dijagonalnim argumentom, kojim se mozˇe dokazati ineprebrojivost skupa R. U slucˇaju da dokazujemo da je R neprebrojiv ili, sˇto jeekvivalentno4, s 〈0, 1〉, pretpostavimo suprotno: neka je I prebrojiv tj. svi brojeviiz I se mogu zapisati kao niz x1, x2, x3, . . .. Tada se svaki od brojeva xi mozˇezapisati5 u obliku 0, ai1ai2ai3 . . . (dakle, aij je j-ta znamenka iza decimalnog zareza ui-tom broju). Sad gledamo sve “dijagonalne znamenke” (tj. aii: i-ta znamenka i-togbroja - prva od prvog, druga od drugog itd.) i pogledamo broj y = 0, y1y2y3 . . .kojem je i-ta znamenka razlicˇita od aii. Tada se y ∈ I bar na i-toj znamenki razlikujeod svakog xi pa je razlicˇit od svih xi, pa smo suprotno pretpostavci nasˇli broj iz I1Beskonacˇan skup koji nije prebrojiv zove se neprebrojiv. Skup R i skup transcendentnihbrojeva su primjeri neprebrojivih skupova.2Realan broj je transcendentan ako ne postoji polinomijalna jednadzˇba s cjelobrojnim koefici-jentima kojoj je on rjesˇenje. U suprotnom je broj algebarski.3Partitivni skup od S je skup P(S) svih podskupova od S.4Skup R je ekvipotentan s I = 〈0,1〉; bijekcija je npr. f : 〈0,1〉 → R definirane s f(x) =tg(pi · (x− 0,5)).5Taj zapis nije jedinstven i upravo zbog ove nepreciznosti opisani dokaz je pojednostavljenaverzija potpunog dokaza.52 Franka Miriam Bru¨cklerkoji nije med¯u nabrojanima - imamo kontradikciju s pretpostavkom da smo ih svemogli nabrojati.Jednostavna posljedica osnovnog Cantorovog teorema teorije skupova je da pos-toji beskonacˇno mnogo beskonacˇnih kardinalnih brojeva: za kardinalni broj nekogskupa A, od njega je vec´i kardinalni broj od B = P(A), od tog je pak vec´i kardinalnibroj od C = P(B) itd.Najvec´i Cantorov doprinos je u otkric´u nacˇina za precizno baratanje pojmombeskonacˇnosti. No, Cantor je bitno doprinio i razvoju nekih drugih matematicˇkihdisciplina osim teorije skupova, ponajviˇse topologije i matematicˇke analize.Cantor se ozˇenio sestrinom prijateljicom 1874. Tokom 1880-ih je pocˇeo patiti oddepresija; prvi zabiljezˇeni napad dozˇivio je 1884. Popularno se govori da je uzrokCantorovih depresija Kroneckerov otpor njegovim idejama, no prema suvremenimsaznanjima o bolesti depresije to je ipak vjerojatno bio samo povod izbijanja bolesti.S vremenom su se napadi sve cˇesˇc´e pojavljivali i pocˇeo se sve ekscentricˇnije ponasˇati.Tako je u svojim “mracˇnim” fazama bio skloniji baviti se filozofijom i teorijom daje Roger Bacon napisao Shakespeareove drame, nego matematikom. Objavio je iradove o toj teoriji, a kad je 1911. bio kao ugledan znanstvenik pozvan na petstotuobljetnicu St. Andrews sveucˇiliˇsta u Sˇkotskoj, govorio je uglavnom o Shakespeare-Bacon teoriji. Iako je i u tom kasnijem razdoblju imao znacˇajnih matematicˇkihrezultata, oni nikad nisu dosegli razinu prije 1880. Godine 1896. umrla mu jemajka, a 1899. mlad¯i brat i najmlad¯i sin. Nakon sˇto je u razdoblju 1900.-1910.cˇesto zbog boravaka u sanatorijima bio odsutan s posla, povukao se u mirovinu1913. Posljednje godine zˇivota proveo je slabo ishranjen zbog ratnih uvjeta, a umroje od srcˇanog udaru u sanatoriju u Halleu, 6. sijecˇnja 1918.Literatura[1] A. D. Aczel, Die Natur der Unendlichkeit, Rowohlt, Hamburg, 2002.[2] P. Basieux, Abenteuer Mathematik - Bru¨cken zwischen Wirklichkeit und Fik-tion, Rowohlt, Hamburg, 1999.[3] E. Kasner, J. Newman, Mathematics and the Imagination, Dover Publica-tions, Mineola, 2001.[4] MacTutor History of Mathematics Archives: Cantor biography,http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cantor.html[5] Wikipedia: Georg Cantor, http://en.wikipedia.org/wiki/Georg Cantor

Georg Cantor (1845.–1918.)

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals

Osječki matematički list 7(2007), 49–52 49Georg Cantor (1845.–1918.)Bit matematike je u njenoj slobodi.Franka Miriam Brückler∗POVIJESNA RUBRIKATeorija skupova kao disciplina nije nastala poimanjem da neki objekti uzetiskupa čine skupove. Karakteristika teorije skupova jest da je ona omogućila preciznobaratanje s pojmom beskonačnosti i razlikovanje različitih beskonačnosti. MoždaVam se čini čudnim da postoje beskonačnosti različite “veličine”? A što biste ondarekli na to da postoji beskonačno mnogo različitih beskonačnosti? Upravo to jepokazao otac teorije skupova Georg Cantor. No, krenimo kronološki. . .Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, rod̄en je 3. ožujka 1845. u St. Peters-burgu u Rusiji. Otac mu je bio Nijemac i trgovac, a majka Ruskinja. Prema nekimizvorima otac je bio Danac, a prema drugim Cantorovo porijeklo je židovsko. Usvakom slučaju, odgojen je u vjeri svoga oca, kao protestant (majka je bila katol-kinja), a od majke je naslijedio talent za glazbu te je bio uspješan violinist. Zbogslabog očeva zdravlja obitelj se preselila u Njemačku, u Frankfurt, kad je Georgubilo 11 godina. Studirao je matematiku, prvo u Zürichu, a nakon očeve smrti studijje nastavio u Berlinu, gdje je diplomirao i doktorirao. Za vrijeme studija u Berlinupohad̄ao je predavanja tada najuglednijih matematičara poput Karla Weierstrassa iLeopolda Kroneckera. Kronecker će bitno utjecati na Cantorov kasniji profesionalniživot te ga se ponekad naziva “čovjekom zbog kojeg je Cantor poludio”, iako je topomalo pretjerano.Cantor je doktorirao iz područja teorije brojeva, a znanstveni interes je usmje-rio prema matematičkoj analizi nakon što je 1869. dobio mjesto na sveučilǐstu ugradu Halle. Tu ga je naime stariji kolega Heinrich Edouard Heine usmjerio naproblematiku konvergencije trigonometrijskih redova. Dok se bavio tim pitanjimauočio je potrebu preciziranja pojma skupa realnih brojeva te je definirao iracionalnebrojeve kao limese nizova racionalnih brojeva. U isto doba drugačiji, ali takod̄ertočan, način pravilnog definiranja skupa realnih brojeva imao je Richard Dedekind,s kojim se Cantor sprijateljio tokom jednog odmora u Švicarskoj 1872. Iz iste godinepotječu i Cantorova i Dedekindova definicija iracionalnih brojeva.∗Matematički odjel PMF-a, Sveučilǐste u Zagrebu, Bijenička 30, HR-10000 Zagreb,e-mail: bruckler@math.hr50 Franka Miriam BrücklerU toku 1873. Cantor je dokazao da skup prirodnih brojeva N ima jednako mnogoelemenata kao i skup cijelih Z te kao i skup Q racionalnih brojeva. Prije negoopǐsemo te dokaze, moramo se prvo dogovoriti oko pojmova. Očito su sva tri nave-dena skupa beskonačni - kako onda za njih smisleno definirati kad imaju jednakomnogo elemenata? Ideja je poopćiti ono što funkcionira kod konačnih skupova: zaskup {♦,♥,♠,♣} kažemo da ima 4 elementa jer možemo definirati da je ♦ prvi,♥ drugi, ♠ treći i ♣ četvrti. Drugim riječima, imamo bijekciju s {1, 2, 3, 4} na{♦,♥,♠,♣}. Općenito, konačan skup A ima n elemenata ako možemo naći bijek-ciju s {1, 2, . . . , n} na A. Slično bismo vidjeli da bilo koja dva konačna skupa imajujednako mnogo elemenata točno ako možemo naći bijekciju med̄u njima. Stoga sekao definicija jednakobrojnosti (ekvipotentnosti) za bilo koje skupove uzima iduća:dva skupa A i B su jednakobrojna (ekvipotentna) ako postoji (bar jedna) bijekcijas A na B; kažemo i da A i B imaju isti kardinalni broj. Cantor je koristio upravo tudefiniciju u svojim dokazima iz 1873., iako ju je izrekao mnogo kasnije. Primijetimoda je neki skup jednakobrojan s N točno ako se njegove elemente može poredati uniz.Da su N i Z jednakobrojni vidi se bijekcijomJednakobrojnost N i Q slijedi iz jednakobrojnosti N i Q+, a ona se pokazuje takoda pozitivne racionalne brojeve poredamo u niz pomoću idućeg dijagrama (duplikatise ignoriraju):Skupovi koji imaju jednako mnogo elemenata kao i N zovu se prebrojivi; i tajpojam je Cantor uveo tek kasnije, a pripadni kardinalni broj označio je s ℵ0 (alef-nula, alef je prvo slovo hebrejske abecede). Danas stoga kažemo: N, Z i Q imajuℵ0 elemenata.Zadatak: Pokažite da su skup svih parnih prirodnih brojeva i skup svih prirodnihGeorg Cantor 51brojeva koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 2 prebrojivi.Prirodno pitanje koje si je Cantor postavio je: ima li i realnih brojeva jednakomnogo kao prirodnih tj. je li i skup R prebrojiv? Da je odgovor “ne” dokazao je uprosincu 1873. i opisao ga u pismu Dedekindu. Taj dokaz smatra se rod̄endanomteorije skupova: otkriveno je da postoje beskonačni skupovi koji nemaju jednakomnogo elemenata. Dokaz je objavio u vrlo uglednom časopisu Crelle’s Journal1874. Objavljivanju se protivio jedan od urednika časopisa, Leopold Kronecker, teje članak objavljen tek nakon što su se Weirerstrass i Dedekind založili za njegovo ob-javljivanje. Razlog Kroneckerovog protivljenja bio je filozofske prirode: Kroneckerje pripadao struji konstruktivista, matematičara koji priznaju samo onaj dokazpostojanja nekog matematičkog objekta koji daje način konstrukcije tog objekta.Cantorovi dokazi iz teorije skupova su pak bitno nekonstruktivistički. Zanimljivostovog Cantorovog članka je i da je kao jednostavnu posljedicu neprebrojivosti skupaR dobio da postoji beskonačno1 mnogo transendentnih2 brojeva (Cantor i Dedekindsu već ranije dokazali da je skup algebarskih brojeva prebrojiv). To je bilo osobitosenzacionalno uzevši u obzir da je tek 1851. Joseph Liouville dokazao da takvi bro-jevi postoje.Nakon gornjeg dokaza, Cantor je pokušao dokazati nešto što je (samo) naiz-gled očito: da dužina i kvadrat nisu jednakobrojni. No, 1877. dokazao je upravosuprotno: ne samo da dužina i kvadrat imaju jednako mnogo točaka, nego i kockaima isto toliko. Općenito: svi skupovi Rn su jednakobrojni! Tom je prilikom Cantorrekao: Vidim, ali ne vjerujem! Taj je rezultat takod̄er objavio, ponovno uz velikKroneckerov otpor, u Crelle’s Journal-u, no nakon toga vǐse nije objavljivao u tomčasopisu. Kasnije se Cantor pokušao pomiriti s Kroneckerom te ga je pozvao na prvisastanak Deutsche Mathematische Vereinigung (Njemačkog matematičkog društva)1891. No, Kronecker nije mogao doći na taj sastanak zbog smrti supruge, a ubrzozatim je i sam umro.Najznamenitiji Cantorov teorem je tzv. Osnovni Cantorov teorem teorijeskupova: Svaki skup S ima strogo manje elemenata nego njegov partitivni skup3.Taj je teorem dokazao dijagonalnim argumentom, kojim se može dokazati ineprebrojivost skupa R. U slučaju da dokazujemo da je R neprebrojiv ili, što jeekvivalentno4, s 〈0, 1〉, pretpostavimo suprotno: neka je I prebrojiv tj. svi brojeviiz I se mogu zapisati kao niz x1, x2, x3, . . .. Tada se svaki od brojeva xi možezapisati5 u obliku 0, ai1ai2ai3 . . . (dakle, aij je j-ta znamenka iza decimalnog zareza ui-tom broju). Sad gledamo sve “dijagonalne znamenke” (tj. aii: i-ta znamenka i-togbroja - prva od prvog, druga od drugog itd.) i pogledamo broj y = 0, y1y2y3 . . .kojem je i-ta znamenka različita od aii. Tada se y ∈ I bar na i-toj znamenki razlikujeod svakog xi pa je različit od svih xi, pa smo suprotno pretpostavci našli broj iz I1Beskonačan skup koji nije prebrojiv zove se neprebrojiv. Skup R i skup transcendentnihbrojeva su primjeri neprebrojivih skupova.2Realan broj je transcendentan ako ne postoji polinomijalna jednadžba s cjelobrojnim koefici-jentima kojoj je on rješenje. U suprotnom je broj algebarski.3Partitivni skup od S je skup P(S) svih podskupova od S.4Skup R je ekvipotentan s I = 〈0,1〉; bijekcija je npr. f : 〈0,1〉 → R definirane s f(x) =tg(π · (x − 0,5)).5Taj zapis nije jedinstven i upravo zbog ove nepreciznosti opisani dokaz je pojednostavljenaverzija potpunog dokaza.52 Franka Miriam Brücklerkoji nije med̄u nabrojanima - imamo kontradikciju s pretpostavkom da smo ih svemogli nabrojati.Jednostavna posljedica osnovnog Cantorovog teorema teorije skupova je da pos-toji beskonačno mnogo beskonačnih kardinalnih brojeva: za kardinalni broj nekogskupa A, od njega je veći kardinalni broj od B = P(A), od tog je pak veći kardinalnibroj od C = P(B) itd.Najveći Cantorov doprinos je u otkriću načina za precizno baratanje pojmombeskonačnosti. No, Cantor je bitno doprinio i razvoju nekih drugih matematičkihdisciplina osim teorije skupova, ponajvǐse topologije i matematičke analize.Cantor se oženio sestrinom prijateljicom 1874. Tokom 1880-ih je počeo patiti oddepresija; prvi zabilježeni napad doživio je 1884. Popularno se govori da je uzrokCantorovih depresija Kroneckerov otpor njegovim idejama, no prema suvremenimsaznanjima o bolesti depresije to je ipak vjerojatno bio samo povod izbijanja bolesti.S vremenom su se napadi sve češće pojavljivali i počeo se sve ekscentričnije ponašati.Tako je u svojim “mračnim” fazama bio skloniji baviti se filozofijom i teorijom daje Roger Bacon napisao Shakespeareove drame, nego matematikom. Objavio je iradove o toj teoriji, a kad je 1911. bio kao ugledan znanstvenik pozvan na petstotuobljetnicu St. Andrews sveučilǐsta u Škotskoj, govorio je uglavnom o Shakespeare-Bacon teoriji. Iako je i u tom kasnijem razdoblju imao značajnih matematičkihrezultata, oni nikad nisu dosegli razinu prije 1880. Godine 1896. umrla mu jemajka, a 1899. mlad̄i brat i najmlad̄i sin. Nakon što je u razdoblju 1900.-1910.često zbog boravaka u sanatorijima bio odsutan s posla, povukao se u mirovinu1913. Posljednje godine života proveo je slabo ishranjen zbog ratnih uvjeta, a umroje od srčanog udaru u sanatoriju u Halleu, 6. siječnja 1918.Literatura[1] A. D. Aczel, Die Natur der Unendlichkeit, Rowohlt, Hamburg, 2002.[2] P. Basieux, Abenteuer Mathematik - Brücken zwischen Wirklichkeit und Fik-tion, Rowohlt, Hamburg, 1999.[3] E. Kasner, J. Newman, Mathematics and the Imagination, Dover Publica-tions, Mineola, 2001.[4] MacTutor History of Mathematics Archives: Cantor biography,http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cantor.html[5] Wikipedia: Georg Cantor, http://en.wikipedia.org/wiki/Georg Cantor

Georg Cantor (1845.–1918.)

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals