Ovaj rad prikazuje jedno od rješenja problema sortiranja podataka u jednodimenzionalnom polju (nizu) elemenata. U praksi se često pojavljuje potreba za sortiranjem podataka te se zbog toga traži što efikasniji i brži algoritam. U ovom radu detaljno je prikazan
jedan od najboljih - merge-sort algoritam. Napravljene su i praktične izvedbe algoritama za sortiranje koje su testirane na različitim skupovima podataka.In this paper one solution of the problem of sorting
an one-dimensional vector (array) of data is shown in this paper. A
need for data sorting very often arises in the practice and therefore we are constantly searching for more efficient and faster sorting
algorithms. One of the best sorting algorithms -merge-sort is
shown in this paper in detail. We made two of sorting
algorithms and tested them on different types of data

A. Baumgartner

S. Poljak

Ovaj rad prikazuje jedno od rješenja problema sortiranja podataka u jednodimenzionalnom polju (nizu) elemenata. U praksi se često pojavljuje potreba za sortiranjem podataka te se zbog toga traži što efikasniji i brži algoritam. U ovom radu detaljno je prikazan

jedan od najboljih - merge-sort algoritam. Napravljene su i praktične izvedbe algoritama za sortiranje koje su testirane na različitim skupovima podataka.In this paper one solution of the problem of sorting

an one-dimensional vector (array) of data is shown in this paper. A

need for data sorting very often arises in the practice and therefore we are constantly searching for more efficient and faster sorting

algorithms. One of the best sorting algorithms -merge-sort is

shown in this paper in detail. We made two of sorting

algorithms and tested them on different types of data

Baumgartner, A.

Poljak, S.

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Osjecˇki matematicˇki list 5(2005), 21–28 21Sortiranje podatakaAlfonzo Baumgartner∗ Stjepan Poljak†STUDENTSKA RUBRIKASazˇetak. Ovaj rad prikazuje jedno od rjesˇenja problema sortiranjapodataka u jednodimenzionalnom polju (nizu) elemenata. U praksi secˇesto pojavljuje potreba za sortiranjem podataka te se zbog toga trazˇisˇto efikasniji i brzˇi algoritam. U ovom radu detaljno je prikazan jedanod najboljih – merge-sort algoritam. Napravljene su i prakticˇne izvedbealgoritama za sortiranje koje su testirane na razlicˇitim skupovima po-dataka.Kljucˇne rijecˇi: algoritmi za sortiranje, merge-sort, rekurzivni algo-ritmiData sortingAbstract. In this paper one solution of the problem of sortingan one-dimensional vector (array) of data is shown in this paper. Aneed for data sorting very often arises in the practice and therefore weare constantly searching for more efficient and faster sorting algorithms.One of the best sorting algorithms – merge-sort is shown in this paper indetail. We made two of sorting algorithms and tested them on differenttypes of data.Key words: sorting algorithms, merge-sort, recursive algorithms1. Uvod1.1. Nizovi kao strukture podatakaJednodimenzionalno polje (niz) je linearna struktura podataka u koju mozˇemo smje-stiti viˇse podataka istog tipa. Primjerice u programskom jeziku C, indeksiranje nizapocˇinje od 0, tj. prvi element u nizu je na mjestu 0, a zadnji na mjestu N − 1, gdjeje N duljina niza.∗Elektrotehnicˇki Fakultet, Sveucˇiliˇste u Osijeku, Kneza Trpimira 2b, HR-31 000 Osijek,e-mail: baumgart@etfos.hr†Odjel za matematiku, Sveucˇiliˇste u Osijeku, Gajev trg 6, HR-31 000 Osijek,e-mail: spoljak@hotmail.com22 Alfonzo Baumgartner i Stjepan PoljakSlika 1. Shematski prikaz niza u programskom jeziku CAko zˇelimo koristiti niz, potrebna je i naredba deklaracije koja izgleda ovako:tip ime[N ];gdje su:tip – tip podataka niza, jednostavni (int, char, float...) ili izvedeni;ime – ime niza, zadaje se kao i ime obicˇne varijable (skalara);N – konstanta, tj. prirodni broj koji oznacˇava duljinu niza.Opc´enito, niz je potpuno definiran s gore navedenom trojkom: tipom, imenom isvojom duljinom.U ovom radu, niz je osnovna struktura podataka. Ako su elementi niza me-d¯usobno usporedivi, onda se takav niz elemenata mozˇe sortirati. Sortirati znacˇiporedati elemente niza od najmanjeg do najvec´eg, tj. “uzlazno” ili od najvec´eg donajmanjeg, tj. “silazno”. Dva spomenuta nacˇina sortiranja su dualni, a to znacˇi akorijesˇimo jedan problem, vrlo se lako dolazi i do rjesˇenja drugoga. Zato c´emo mi uovom radu promatrati samo problem “uzlaznog” sortiranja.1.2. Rekurzivne funkcijeKako bi objasnili jedan od najboljih algoritama za sortiranje danas, moramo se na-jprije upoznati s pojmom rekurzivnosti: Svaka funkcija koja unutar svoje definicijepoziva samu sebe naziva se rekurzivna funkcija. Kako ne bi dosˇlo do neogranicˇenogbroja poziva, tj. kopija takve funkcije u memoriji uvijek mora postojati i nekinerekurzivni put izlaska iz takve funkcije. Rekurzivnim stablom mozˇemo prikazatirad rekurzivne funkcije kako bi si laksˇe predocˇili kako jedan rekurzivni algoritamzapravo funkcionira. Vec´ina programskih jezika, pa tako i primjerice C, podrzˇavarekurzije kod funkcija. Dan je i primjer jedne vrlo jednostavne rekurzivne funkcije.Primjer 1. Napisati rekurzivnu C funkciju koja c´e ispisati niz od N cjelobrojnihpodataka.Rjesˇenje:vo id I s p i s ( i n t V [ ] , i n t i , i n t N){i f ( i>=N | | i <0) r e t u r n ;p r i n t f ( ”%d\n” , V[ i ] ) ;I s p i s ( V , i +1, N ) ;}Ova funkcija sastoji se od tri naredbe. Prva naredba predstavlja nerekurzivniizlazak iz funkcije i osigurava ispravan rad. Druga naredba ispisuje i-ti element nizaSortiranje podataka 23na ekran, dok je trec´a naredba rekurzivni poziv iste te funkcije i zbog toga je Ispisrekurzivna funkcija.Zadatak za vjezˇbu: sˇto se mijenja u radu ove funkcije ako zamijenimo mjestadrugoj i trec´oj naredbi?2. Algoritmi za sortiranjeU znanosti je problem sortiranja josˇ uvijek aktualan i trazˇe se bilo kakve moguc´nostiubrzanja, tako da se nedavno dosˇlo do otkric´a algoritma “intro-sort” koji je kombi-nacija dvaju vec´ poznatih algoritma za sortiranje, a sam je brzˇi od svakog pojedi-nacˇno. U najnizˇu klasu spadaju najjednostavniji, ali i najsporiji algoritmi kao sˇtosu to primjerice algoritami “bubble-sort” ili “selection-sort”, dok u najviˇsu klasuspadaju algoritmi poput “quick-sort” i “merge-sort”. Cilj ovog rada jest ukazati narazlike ovih dviju klasa algoritama.Kod svih ovih algoritama ulazni parametar je isti – niz V od N elemenata, aproblem je sortirati elemente niza “uzlazno”.2.1. Selection-sort algoritamIdeja jednog od najjednostavnijih algoritama “selection-sort” se sastoji u sljedec´em:u zadanom nizu pronac´i svaki element koji je manji od onog koji se nalazi na prvommjestu i ako je manji zamijeniti ga s tim elementom koji je na prvom mjestu.Tako c´emo na kraju dobiti najmanji element na prvom mjestu. Postupak se takodalje ponavlja za preostale elemente od drugog do zadnjeg mjesta. Znacˇi dobivamoporedan niz od najmanjeg elementa na prvom mjestu, dok c´e na zadnjem mjestuostati najvec´i element.Vro je jednostavno ostvariti ovakav algoritam u bilo kojem programskom jeziku.Evo jednog rjesˇenja u programskom jeziku C:f o r ( i =0; i<N−1; i++)f o r ( j=i +1; j<N; j++)i f (V [ i ]>V[ j ] ) { t=V[ i ] ; V [ i ]=V[ j ] ; V [ j ]= t ; }Primjedba: lako je dobiti i algoritam koji sortira “silazno”, dovoljno bi bilo u trec´emretku znak ‘>’ prebaciti u ‘<’.Analiza rada: Sada trebamo odrediti slozˇenost ovoga algoritma, tj. nac´i neka-kvu mjeru njegove brzine i odrediti o cˇemu ta brzina ovisi. Jasno je da duljina nizaN ima presudan znacˇaj. Manji znacˇaj ima i tip elemenata niza, jer za neke slozˇenijetipove podataka usporedba je puno kompliciranija nego za neke jednostavnije tipovepodataka. Nadalje, u ovoj jednostavnoj analizi, gledat c´emo samo utjecaj duljineniza N .U prvoj iteraciji vanjske petlje po brojacˇu i, imamo N−1 ponavljanja unutarnjepetlje po brojacˇu j. Svaki sljedec´i put imamo jedno ponavljanje manje. Sada laganomozˇemo izracˇunati broj ponavljanja Us:Us = (N − 1) + (N − 2) + · · ·+ 3 + 2 + 1 = (N − 1)N2 =N2 −N2.24 Alfonzo Baumgartner i Stjepan PoljakOvu jednakost je lako dokazati ako zbrajamo prvi cˇlan sume sa zadnjim, drugi spredzadnjim itd.Ne smijemo nikako zanemariti onaj N2 koji smo dobili u brojniku rezultata.Vidjet c´emo i na prakticˇnim primjerima na kraju ovog rada kakav je znacˇaj togakvadrata na brzinu izvod¯enja sortiranja. Naposlijetku, zakljucˇimo da je algoritam“selection-sort” tzv. “kvadratne slozˇenosti”, tj. nazovimo tako ovu klasu sporijihalgoritama za sortiranje. Vidjet c´emo da ni to sˇto se od tih N2 oduzima N i to svedijeli s dva ne pomazˇe puno, tj. i dalje imamo ‘dosta spor’ algoritam.2.2. Merge-sort algoritamUpotrijebljena je dobro poznata ideja “podijeli pa vladaj” na sljedec´i nacˇin: NizV se podijeli na lijevi i desni dio otprilike po polovici, nakon toga se rekurzivnosortira posebno lijevi i posebno desni dio, te se nakon toga niz ponovno spaja ujedan sortirani niz. Spajanje (engl. merge) je sada jednostavno jer je lijevi i desnidio vec´ sortiran. Rad algoritma se mozˇe opisati ovako: niz se prepolovi, pa se nakontoga i te polovice prepolove, sve dok se ne dod¯e do niza duljine 1. Polovice duljine1 se dalje ne raspolavljaju jer one vec´ jesu sortirani nizovi, postupak spajanja c´enapraviti ostatak posla.Osnovna ideja se mozˇe malo detaljnije opisati sljedec´im algoritmom:Sort(V ,d,g)• ako je g − d <= 1 kraj• s = d+g2 • Formiraj V L = {Vd, . . . , Vs}• Formiraj V D = {Vs+1, . . . , Vg}• Sort(VL,d,s)• Sort(VD,s+1,g)• V=Merge(VL,VD)Sort je rekurzivna funkcija koja sortira niz V sa zadanom donjom granicomd i gornjom granicom g. Prvu tocˇku mozˇemo opisati kao nerekurzivni izlazak izfunkcije, od druge do cˇetvrte tocˇke imamo razdvajanje niza V na lijevi V L i desniV D dio. U petoj i sˇestoj tocˇki imamo dva rekurzivna poziva iste funkcije samo smalo drugacˇijim parametrima. U sedmoj tocˇki funkcije Sort nije detaljno opisanpostupak spajanja lijevog i desnog dijela niza koji su vec´ sortirani natrag u V .Postupak spajanja detaljno je opisan u sljedec´em primjeru izvedbe “merge-sort”algoritma u programskom jeziku C:vo id MergeSort ( t i ppod V [ ] , i n t d , i n t g ){i f ( d==g ) r e t u r n ; // Ne r e k u r z i v n i i z l a z a k i z f u n k c i j ei n t s = (g−d )/2 ;i n t n1=s+1, n2 , i ;i f ( ( g−d)%2==1) n2=n1 ; e l s e n2=n1−1;Sortiranje podataka 25t i ppod ∗VL = new t i ppod [ n1 ] ;t i ppod ∗VD = new t i ppod [ n2 ] ;// Ra s t a v i n i z V na l i j e v i i d e s n i d i o VL i VDf o r ( i =0; i<n1 ; i++) VL [ i ] = V[ d+i ] ;f o r ( i =0; i<n2 ; i++) VD[ i ] = V[ d+i+s +1] ;MergeSort ( VL , 0 , n1−1 ) ; // R e ku r z i v n i po z i v ( S o r t i r a j l i j e v i d i o )MergeSort ( VD, 0 , n2−1 ) ; // R e ku r z i v n i po z i v ( S o r t i r a j d e s n i d i o )// Spo j i VL i VD u j edan V. (Merge )i =0;i n t k , i 1 =0, i 2 =0;f o r ( k=0; k<n1+n2 ; k++){i f ( i1<n1 && i2<n2 ) {i f (VL [ i 1 ]<VD[ i 2 ] ) V [ dg+i++]=VL [ i 1 ++];e l s e V[ dg+i++]=VD[ i 2 ++];}e l s e {i f ( i1<n1 ) V[ dg+i++]=VL [ i 1 ++];e l s e V[ dg+i++]=VD[ i 2 ++];}}de l e t e [ ] VL ;de l e t e [ ] VD;}Analiza rada: Pokusˇajmo sada opet u terminima duljine niza N odreditislozˇenost, tj. brzinu rada ovakvog algoritma. Najprije moramo rec´i da dio kojispaja (merge) lijevi i desni dio ukupne duljine M napravi to u tocˇno M ponavlja-nja. To se ocˇigledno mozˇe vidjeti iz gore navedenog primjera u C-u gdje se petljaponavlja tocˇno n1+n2 puta, gdje su n1 i n2 redom duljine lijevog i desnog dijela bilokojeg podniza zadanog niza V . Med¯utim, kako odrediti ukupni broj ponavljanjakada imamo rekurzivnu funkciju?! To je opc´enito tezˇi problem, ali u ovom slucˇajudosta c´e nam pomoc´i rekurzivno stablo prikazano na Slici 2.Slika 2. Prikaz rekurzivnog stabla koje generira rekurzivna funkcija MergeSortprilikom izvod¯enjaRekurzivno stablo nam pomazˇe tako sˇto mozˇemo utvrditi da se na svakom nivoustabla uvijek nalazi ukupno N elemenata niza bez obzira da li je niz V razbijen na2 ili viˇse dijelova, pa sve do zadnjeg nivoa gdje se mogu nac´i samo nizovi duljine 1.26 Alfonzo Baumgartner i Stjepan PoljakVec´ smo rekli da se svaka dva dijela moraju spajati u jedan vec´i i koliko to traje.To znacˇi da po svakom nivou imamo najviˇse N ponavljanja jer svi podnizovi skupaimaju najviˇse N elemenata po nivou. Broj nivoa oznacˇen je s L, pa imamo ukupnibroj ponavljanja Um za “merge-sort” algoritam odUm = N · L.Ostaje nam josˇ samo utvrditi ovisi li L o ukupnom broju elemenata u nizu N . Lakose pokazˇe da ovisi i egzaktno se mozˇe izracˇunati da je uvijek L = log2N, pa takodobivamo konacˇnoUm = N · log2N.Ova analiza rada je tocˇna za svakiN koji je potencija broja 2. Za ostaleN analiza jemalo kompliciranija, ali se dobije isti rezultat. Ovakvu klasu algoritama nazovimo“N logN”.Usporedimo sada ukupne brojeve ponavljanja za merge sort Um i za selectionsort Us. Lako se vidi da su oni slicˇnog reda velicˇine samo za dosta male duljinenizova N , med¯utim, za sve vec´e vrijednosti broja N (tj. za sve dulje nizove), razlikapostaje sve vec´a u korist Um (tj. merge sort je brzˇi). Odnos ovih dviju velicˇinanajbolje pokazuje Slika 3.Slika 3. Ovisnost ukupnog broja ponavljanja o duljini niza NSa Slike 3 jasno je vidljivo da su opisana dva algoritma usporediva samo za vrlomale vrijednosti N . Znacˇi, teorijski rezultat jest da za svaki vec´i N uvijek trebamokoristiti “merge-sort” algoritam, jer je viˇsestruko brzˇi.3. Eksperimentalni rezultatiNa razlicˇitim tipovima podataka testirani su algoritmi “selection-sort” i “merge-sort”. Mjereno je vrijeme1 izvod¯enja za razlicˇite duljine nizova N i dobiveni surezultati prikazani u Tablicama 1 i 2.1Testiranje je izvedeno na racˇunalu s procesorom Intel Pentium 4, 2.40GHz i RAM memorijomod 256MB.Sortiranje podataka 27N 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000 200000 500000tselection [ms] 16 47 219 922 3672 22656 86094 299297 1425812tmerge [ms] < 1 < 1 15 15 31 78 171 344 922Tablica 1. Rezultati sortiranja realnih brojeva tipa floatN 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000 200000 500000tselection [ms] 31 125 719 2453 8391 50297 189140 686500 4286922tmerge [ms] < 1 15 15 16 32 109 234 516 1469Tablica 2. Rezultati sortiranja nizova znakova (rijecˇi)Na Slici 4 prikazani su dobiveni rezultati za sortiranje realnih brojeva (Tablica 1)graficˇki. Vidljivo je da ovi eksperimentalni rezultati odgovaraju teorijskim koji suanalizirani u prethodnoj tocˇki s prikazom na Slici 3.Slika 4. Izmjereni rezultati izvrsˇavanja algoritama za sortiranje na nizovimarealnih brojeva razlicˇite duljine4. ZakljucˇakIako je “selection-sort” algoritam naizgled puno jednostavniji, “merge-sort” je punoefikasniji sˇto je pokazano u ovom radu i teorijski i eksperimentalno. No, ipak tre-bamo naposlijetku utvrditi da “merge-sort” ipak ima malo uvec´ane memorijskezahtjeve za razliku od “selection-sort” koji koristi samo zadani niz V . Algoritam“merge-sort” osim zbog svoje rekurzivnosti (sjetimo se da svaki rekurzivni pozivstvara novu kopiju te funkcije u memoriji sa svim njenim internim varijablama)unutar same funkcije stvara josˇ jedan niz osim onog koji je dosˇao kao parametar.Taj uvec´ani memorijski zahtjev ipak nije toliko znacˇajan kolika je razlika u brziniizvod¯enja sˇto se dobro vidi iz eksperimentalnih rezultata pogotovu za vec´e duljineniza N .Ova dva algoritma nisu jedini koriˇsteni u praksi algoritmi za sortiranje, ali sujako reprezentativni, jer svi ostali zapravo spadaju u jednu od dvije klase slozˇenostiovdje prezentirane (“kvadratna” i “N logN” slozˇenost) ili im je brzina negdje“izmed¯u”. Med¯u ostalima, tu su josˇ od poznatijih “bubble-sort”, “quick-sort”,“heap-sort”, “insert-sort”.28 Alfonzo Baumgartner i Stjepan PoljakNajbrzˇi danas koriˇsten algoritam za sortiranje je “introspective-sort”. Taj hi-bridni algoritam zapravo je kombinacija dvaju vec´ poznatih “quick-sort” i “heap-sort”. Naime, kada program detektira da se nekoliko puta za redom nailazi na losˇraspored elemenata za “quick-sort” i da bi u tom slucˇaju dosˇlo do “kvadratnog”ocˇekivanog vremena izvod¯enja, on se prebacuje na “heap-sort” koji je tada bitnobolji. Viˇse o tome i sam algoritam mozˇe se pogledati u [2].Naposlijetku, spomenimo da podaci ne moraju biti uvijek smjesˇteni u nizovimalinearno u memoriji (znacˇi jedan iza drugoga) vec´ mogu biti smjesˇteni i u tzv.vezanim listama, a basˇ o tome nacˇinu smjesˇtanja podataka takod¯er ovisi odabirnajboljeg algoritma za sortiranje. Ovdje navedeni “merge-sort” algoritam zapravopostizˇe josˇ bolje rezultate kada su podaci smjesˇteni u vezanim listama, a ne unizovima (jednodimenzionalnim poljima). Sˇto su vezane liste i kako se podacismjesˇtaju u njih nadilazi tematiku ovoga rada pa ih nec´emo detaljnije objasˇnjavati.Literatura[1] T.H.Cormen, C. E. Leiserson, R. L.Rivest, C. Stein, Introduction toAlgorithms, 2nd edition, MIT Press, Massachusetts, 2001, 123–164.[2] D.R.Musser, Introspective Sorting and Selection Algorithms, Software –Practice and Experience (8)(1997), 983–993.[3] D.Knuth, The Art of Computer Programming, Sorting and Searching, SecondEdition, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1998.

Data sorting

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia