U radu je riješeno nekoliko netipičnih trigonometrijski jednadžbi, koje osim trigonometrije zahtijevaju i neka druga matematička znanja. Takav tip jednadžbi često se susreće na matematičkim
natjecanjima kao i na klasifikacijskim ispitima za upis na fakultet.Several untypical trigonometric equations have been solved in the paper, which, in addition to trigonometry, demand a knowledge of some other mathematical branches. Such type of equations is often present at various mathematics competitions as well as entrance exams selecting students for admission to faculties

V. Marjanović

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals

Osječka matematička škola 4(2004), 11–13 11Nekoliko netipičnihtrigonometrijskih jednadžbiVlado Marjanović∗Sažetak.U radu je riješeno nekoliko netipičnih trigonometrijski jed-nadžbi, koje osim trigonometrije zahtijevaju i neka druga matematičkaznanja. Takav tip jednadžbi često se susreće na matematičkim natjecan-jima kao i na klasifikacijskim ispitima za upis na fakultet.Ključne riječi: jednadžbe, trigonometrijaSeveral untypical trigonometric equationsAbstract. Several untypical trigonometric equations have beensolved in the paper, which, in addition to trigonometry, demand a knowl-edge of some other mathematical branches. Such type of equations isoften present at various mathematics competitions as well as entranceexams selecting students for admission to faculties.Key words: equations, trigonometryPremda se trigonometrijske jednadžbe obrad̄uju u programima gimnazija te nekihstrukovnih škola, prvenstveno imam na umu tehničke škole, rijetko se pojavljujuzadaci koji zahtijevaju primjenu i nekih drugih znanja iz matematike osim samihtrigonometrijskih funkcija i ponešto algebre. U članku će biti prezentirano nekolikotakvih netipičnih jednadžbi za koje vjerujem da će dobro poslužiti tijekom pripremaza natjecanja ili prijamne ispite za upise na fakultete.Primjer 1. Riješite jednadžbu logsin x(1 + cosx) = 2.Rješenje. Uvjeti pod kojima postoje rješenja su:1 + cosx > 0 (1)0 < sin x < 1. (2)Antilogaritmiranjem jednadžbe dobivamo1 + cosx = sin2 x,što, korǐstenjem identiteta sin2 x = 1− cos2 x i sred̄ivanjem daje cos2 x + cosx = 0,tj.cosx(cos x + 1) = 0.∗Svetog Roka 67, HR – 31000 Osijek, e-mail: marjanovic@inet.hr12 Vlado MarjanovićGornje vrijedi kada je cosx = −1 ili kada je cosx = 0. Prvo ne zadovoljava (1), adrugo ne zadovoljava uvjet (2) pa prema tome jednadžba nema rješenje.Zadatak 1. Riješite jednadžbe:a) logcos x sinx + logsin x cosx = 2,b) 2 logsin x tg x + logtg x sinx = 3.Primjer 2. Riješite jednadžbu 2cos 2x = 3 · 2cos2 x − 4.Rješenje. Prebacivanjem članova s lijeve strane na desnu i korǐstenjem iden-titeta cos 2x = cos2 x − sin2 x dobivamo 2cos2 x−sin2 x − 3 · 2cos2 x + 4 = 0 te zbogsin2 x = 1 − cos2 x12· 22 cos2 x − 3 · 2cos2 x + 4 = 0.Supstitucija 2cos2 x = t i sred̄ivanje vodi na kvadratnu jednadžbu t2 − 6t + 8 = 0čija su rješenja t1 = 4 i t2 = 2. Imamo:1) t1 = 4 ⇒ 2cos2 x = 4 ⇒ cos2 x = 2 ⇒ cosx = ±√2 što je nemoguće;2) t2 = 2 ⇒ 2cos2 x = 2 ⇒ cos2 x = 1 ⇒ cosx = ±1, tj. x = kπ, k ∈ Z.Dakle, rješenja jednadžbe su brojevi oblika x = kπ, k ∈ Z.Zadatak 2. Riješite jednadžbu 3sin 2x+2 cos2 x + 31−sin 2x+2 sin2 x = 28.Primjer 3. Riješite jednadžbu (tg x)sin x = (ctg x)cos xRješenje. Kako je ctg x = 1tg x , mora biti (tg x)sin x = 1(tg x)cos x , tj.(tg x)sin x · (tg x)cos x = 1.Uz uvjet da je x takav da su (tg x)sin x i (tg x)cos x definirani, vrijedi:(tg x)sin x+cos x = 1.Logaritmiranjem dobivamo(sin x + cosx) · log(tg x) = 0.Imamo:1) sin x + cosx = 0 ⇒ tg x = −1 ⇒ x = −π4 + kπ, k ∈ Z;2) log(tg x) = 0 ⇒ tg x = 1 ⇒ x = π4 + kπ, k ∈ Z.No, za x = −π4 su sinx = −√22 i tg x = −1, pa (tg x)sin x = (−1)−√22 nije definiranote brojevi oblika x = −π4 + kπ, k ∈ Z nisu rješenje jednadžbe. Dakle, rješenja subrojevi oblika:x =π4+ kπ, k ∈ Z.Zadatak 3. Riješite jednadžbe:a) (tg x)cos2 x = ctg xNekoliko netipičnih trigonometrijskih jednadžbi 13b) (sin x)− sin x − 1 = ctg 2xc) (cos x)sin2 x− 32 sin x+ 12 = 1Primjer 4. Riješite jednadžbu sin(π · lnx) + cos(π · lnx) = 1.Rješenje. Rješenja postoje pod uvjetom x > 0. Koristimo tzv. univerzalnususptituciju tg α2 = t. Iz tgπ·lnx2 = t slijedi sin(π · lnx) = 2t1+t2 i cos(π · lnx) = 1−t21+t2 ,što, uvrštavanjem u jednadžbu i sred̄ivanjem, daje t(t − 1) = 0. Sada imamo:1) t = 0 ⇒ tg π·ln x2 = 0 ⇒ π·lnx2 = kπ, k ∈ Z ⇒ lnx = 2k, k ∈ Z⇒ x = e2k, k ∈ Z2) t = 1 ⇒ tg π·ln x2 = 1 ⇒ π·lnx2 = π4 + kπ, k ∈ Z ⇒ lnx = 12 + 2k, k ∈ Z⇒ x = e 12+2k, k ∈ Z.Rješenja jednadžbe su brojevi oblikax1 = e2k, k ∈ Z,x2 = e12+2k, k ∈ ZZadatak 4. Riješite jednadžbu sin(π cosx) = cos(π sinx).Literatura[1] A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepčević, Matematička natjecanjaučenika srednjih škola, HMD i Element, Zagreb, 1996[2] N. Elezović, Odabrani zadaci elementarne matematike, Element, Zagreb, 1992[3] B. Pavković, D. Svrtan, D. Veljan, Matematika 3, Zbirka zadataka s up-utama i rješenjima, Školska knjiga, Zagreb, 1991[4] B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb,1995

Croatian

Several untypical trigonometric equations

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Osjecˇka matematicˇka sˇkola 4(2004), 11–13 11Nekoliko netipicˇnihtrigonometrijskih jednadzˇbiVlado Marjanovic´∗Sazˇetak.U radu je rijesˇeno nekoliko netipicˇnih trigonometrijski jed-nadzˇbi, koje osim trigonometrije zahtijevaju i neka druga matematicˇkaznanja. Takav tip jednadzˇbi cˇesto se susrec´e na matematicˇkim natjecan-jima kao i na klasifikacijskim ispitima za upis na fakultet.Kljucˇne rijecˇi: jednadzˇbe, trigonometrijaSeveral untypical trigonometric equationsAbstract. Several untypical trigonometric equations have beensolved in the paper, which, in addition to trigonometry, demand a knowl-edge of some other mathematical branches. Such type of equations isoften present at various mathematics competitions as well as entranceexams selecting students for admission to faculties.Key words: equations, trigonometryPremda se trigonometrijske jednadzˇbe obrad¯uju u programima gimnazija te nekihstrukovnih sˇkola, prvenstveno imam na umu tehnicˇke sˇkole, rijetko se pojavljujuzadaci koji zahtijevaju primjenu i nekih drugih znanja iz matematike osim samihtrigonometrijskih funkcija i ponesˇto algebre. U cˇlanku c´e biti prezentirano nekolikotakvih netipicˇnih jednadzˇbi za koje vjerujem da c´e dobro posluzˇiti tijekom pripremaza natjecanja ili prijamne ispite za upise na fakultete.Primjer 1. Rijesˇite jednadzˇbu logsin x(1 + cosx) = 2.Rjesˇenje. Uvjeti pod kojima postoje rjesˇenja su:1 + cosx > 0 (1)0 < sinx < 1. (2)Antilogaritmiranjem jednadzˇbe dobivamo1 + cosx = sin2 x,sˇto, koriˇstenjem identiteta sin2 x = 1− cos2 x i sred¯ivanjem daje cos2 x+ cosx = 0,tj.cosx(cos x+ 1) = 0.∗Svetog Roka 67, HR – 31000 Osijek, e-mail: marjanovic@inet.hr12 Vlado Marjanovic´Gornje vrijedi kada je cosx = −1 ili kada je cosx = 0. Prvo ne zadovoljava (1), adrugo ne zadovoljava uvjet (2) pa prema tome jednadzˇba nema rjesˇenje.Zadatak 1. Rijesˇite jednadzˇbe:a) logcosx sinx+ logsin x cosx = 2,b) 2 logsin x tg x+ logtg x sinx = 3.Primjer 2. Rijesˇite jednadzˇbu 2cos 2x = 3 · 2cos2 x − 4.Rjesˇenje. Prebacivanjem cˇlanova s lijeve strane na desnu i koriˇstenjem iden-titeta cos 2x = cos2 x − sin2 x dobivamo 2cos2 x−sin2 x − 3 · 2cos2 x + 4 = 0 te zbogsin2 x = 1− cos2 x12· 22 cos2 x − 3 · 2cos2 x + 4 = 0.Supstitucija 2cos2 x = t i sred¯ivanje vodi na kvadratnu jednadzˇbu t2 − 6t + 8 = 0cˇija su rjesˇenja t1 = 4 i t2 = 2. Imamo:1) t1 = 4⇒ 2cos2 x = 4 ⇒ cos2 x = 2 ⇒ cosx = ±√2 sˇto je nemoguc´e;2) t2 = 2⇒ 2cos2 x = 2 ⇒ cos2 x = 1 ⇒ cosx = ±1, tj. x = kπ, k ∈ Z.Dakle, rjesˇenja jednadzˇbe su brojevi oblika x = kπ, k ∈ Z.Zadatak 2. Rijesˇite jednadzˇbu 3sin 2x+2 cos2 x + 31−sin 2x+2 sin2 x = 28.Primjer 3. Rijesˇite jednadzˇbu (tg x)sin x = (ctg x)cos xRjesˇenje. Kako je ctg x = 1tg x , mora biti (tg x)sin x = 1(tg x)cos x , tj.(tg x)sin x · (tg x)cos x = 1.Uz uvjet da je x takav da su (tg x)sin x i (tg x)cos x definirani, vrijedi:(tg x)sin x+cosx = 1.Logaritmiranjem dobivamo(sinx+ cosx) · log(tg x) = 0.Imamo:1) sinx+ cosx = 0 ⇒ tg x = −1 ⇒ x = −π4 + kπ, k ∈ Z;2) log(tg x) = 0 ⇒ tg x = 1 ⇒ x = π4 + kπ, k ∈ Z.No, za x = −π4 su sinx = −√22 i tg x = −1, pa (tg x)sin x = (−1)−√22 nije definiranote brojevi oblika x = −π4 + kπ, k ∈ Z nisu rjesˇenje jednadzˇbe. Dakle, rjesˇenja subrojevi oblika:x =π4+ kπ, k ∈ Z.Zadatak 3. Rijesˇite jednadzˇbe:a) (tg x)cos2 x = ctg xNekoliko netipicˇnih trigonometrijskih jednadzˇbi 13b) (sinx)− sin x − 1 = ctg 2xc) (cosx)sin2 x− 32 sin x+ 12 = 1Primjer 4. Rijesˇite jednadzˇbu sin(π · lnx) + cos(π · lnx) = 1.Rjesˇenje. Rjesˇenja postoje pod uvjetom x > 0. Koristimo tzv. univerzalnususptituciju tg α2 = t. Iz tgπ·lnx2 = t slijedi sin(π · lnx) = 2t1+t2 i cos(π · lnx) = 1−t21+t2 ,sˇto, uvrsˇtavanjem u jednadzˇbu i sred¯ivanjem, daje t(t− 1) = 0. Sada imamo:1) t = 0⇒ tg π·ln x2 = 0⇒ π·lnx2 = kπ, k ∈ Z ⇒ lnx = 2k, k ∈ Z⇒ x = e2k, k ∈ Z2) t = 1⇒ tg π·ln x2 = 1⇒ π·lnx2 = π4 + kπ, k ∈ Z ⇒ lnx = 12 + 2k, k ∈ Z⇒ x = e 12+2k, k ∈ Z.Rjesˇenja jednadzˇbe su brojevi oblikax1 = e2k, k ∈ Z,x2 = e12+2k, k ∈ ZZadatak 4. Rijesˇite jednadzˇbu sin(π cosx) = cos(π sinx).Literatura[1] A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepcˇevic´, Matematicˇka natjecanjaucˇenika srednjih sˇkola, HMD i Element, Zagreb, 1996[2] N. Elezovic´, Odabrani zadaci elementarne matematike, Element, Zagreb, 1992[3] B. Pavkovic´, D. Svrtan, D. Veljan, Matematika 3, Zbirka zadataka s up-utama i rjesˇenjima, Sˇkolska knjiga, Zagreb, 1991[4] B. Pavkovic´, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Sˇkolska knjiga, Zagreb,1995

Several untypical trigonometric equations

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia