Najosnovnije naredbe za manipuliranje izrazima u Maple

Tvrtko Tadić

Tadić, Tvrtko

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

 Osnovno manipuliranje izrazima u MapleuTvrtko Tadic´Mnogi matematicˇari koriste pomagala pri racˇunanju od kalkulatora pa do racˇunalnih pro-grama koji znaju i kompliciranije operacije. Jedan takav program je Maple. U ovom cˇlanku c´emonavesti najosnovnije naredbe u Mapleu. Uglavnom c´e biti rijecˇ o manipuliranju izrazima.Naredba factorPrvo c´emo pocˇeti s obicˇnom faktorizacijom izraza. Najcˇesˇc´e zˇelimo nesˇto faktorizirati. Tonam se jako cˇesto dogada kad imamo neki zadatak ili jednostavno moramo dobiti neki uvjet nazadatku. Faktoriziranje je cˇesto dosadan i zamoran posao. Koliko smo samo puta u njemu pogrijesˇili!No, pomoc´u Maplea to nas viˇse nebi trebalo sputavati u nasˇem poslu. Zasˇto bi netko zbog svojenespretnosti morao dobiti krivi rezultat?Primjer 1. Faktoriziraj izraz(x + 2)3 − (x2 + x + 2)2 .Rjesˇenje:[> A:=(x+2)ˆ3-(xˆ2+x+2)ˆ2;A := (x + 2)3 − (x2 + x + 2)2[> factor(A);− (x− 2) (x3 + 3 x2 + 5 x + 2)Time smo rijesˇili zadatak koji, priznajmo, nitko ne bi volio rucˇno raditi.Primjer 2. Dokazˇi da za pozitivne brojeve a, b i c vrijedi nejednakosta + b2≤√a2 + b22.Rjesˇenje:[> A:=(a+b)/2;K:=sqrt((aˆ2+bˆ2)/2);A :=12a +12bK :=12√2 a2 + 2 b2Sada c´emo kvadrirati obje strane i odnosno napraviti A2 −K2.[> factor(Aˆ2-Kˆ2);−12(a− b)2Time smo dokazali nasˇu nejednakost, jer se ovaj postupak samo obrne. Mozˇda se na ovom konkret-nom primjeru i ne vidi velika primjenjivost u prakticˇne svrhe, ali na nekim vec´im izrazima ova c´enaredba svakako dobro doc´i.20Naredba expandMozˇemo rec´i da ova naredba prosˇiruje algebarske izraze. Sva ona predavanja o kubu i kvadratuzbroja i razlike su sadrzˇana u ovoj naredbi.Primjer 3. Raspiˇsi izraz (a + b + c)3.Rjesˇenje:[> expand((a+b+c)ˆ3);a3 + 3 a2b + 3 a2c + 3 ab2 + 6 abc + 3 ac2 + b3 + 3 b2c + 3 bc2 + c3Primjer 4. Raspiˇsi izraz ((a− b)2 − (d + c)2)3.Rjesˇenje:Svaka cˇast onome tko bi imao zˇivaca (i papira) da ovo izracˇuna, no zato jednim pritiskom na ”enter”sav trud koji bi smo ulozˇili svodi se na manje od jedne sekunde.[>expand(((a+b)ˆ2-(c+d)ˆ2)ˆ3);12 a2cd3 − 12 a3bc2 − 18 a2b2d2 − 18 a2b2c2 + 12 a2c3d + 18 a2c2d2 − 12 a3bd2 + 12 b2cd3 − 6 b4cd +12 b2c3d+18 b2c2d2−12 ab3d2−12 ab3c2 +6 abd4+6 abc4+24 abc3d+36 abc2d2−36 a2b2cd−6 a4cd−24 a3bcd− d6 +a6 +24 abcd3− 24 ab3cd+ b6− c6 +3 b2c4 +3 a2c4 +15 a2b4 +6 a5b+3 a2d4− 3 a4c2 +15 a4b2 +20 a3b3− 3 a4d2 +6 ab5 +3 b2d4− 15 c4d2− 3 b4d2− 3 b4c2− 20 c3d3− 6 c5d− 15 c2d4− 6 cd5Naredba simplifyCˇesto nam se dogodi da ne znamo kako bismo pocˇeli rjesˇavati zadatak, a potrebno je samoponiˇstiti ili smanjiti broj istih izraza. Za to nam u Mapleu sluzˇi naredba simplify koja pojednostav-ljuje izraze i u kombinaciji s naredbom expand mozˇe biti vrlo korisna.Primjer 5. Prosˇiri i pojednostavi sljedec´i izraz(x3 + 1)2 − (x2 + 1)3.Rjesˇenje:[>simplify((xˆ3+1)ˆ2-(xˆ2+1)ˆ3);2x3 − 3x4 − 3x2Jasno da ovaj izraz nije basˇ osobito tezˇak. Naredba simplify vrlo je korisna da pojednostavi izraz,no ona dolazi do izrazˇaja tek kada znamo nesˇto o nasˇem izrazu. U tome c´e nam pomoc´i sljedec´anaredba.Naredba assumeProblem s Mapleom je u tome sˇto on ne zna kakva je nepoznanica x. Tako na primjer on sljedec´iizraz ne zna pojednostaviti.[> simplify(sqrt(xˆ2)); √x2S obzirom na to da on niˇsta ne zna o nasˇem broju, potrebno je iznijeti pretpostavku. Neka je nasˇapretpostavka da je x ∈ R.[> simplify(sqrt(xˆ2), assume=real);|x|21Pretpostavimo da je x ∈ R+.[> simplify(sqrt(xˆ2), assume=positive);xPretpostavimo da je x ∈ R−.[> simplify(sqrt(xˆ2), assume=negative);−xDakle ponekad moramo dodati uvjete racˇunalu da bi ono znalo rijesˇiti nasˇ problem. Naredba assumemozˇe stajati sama, ali onda c´e ona vrijediti u cijelom programu sve dok je ne izmjenimo. Naprimjernapiˇsemo li tu naredbu neke stvari c´e se odmah pojednostavniti.[> assume(x>0); sqrt(xˆ2);x ∼S naznakom da nam tilda (∼) oznacˇava da na x postoji neka pretpostavka.Naredba subsCˇesto nam se dogada da nesˇto moramo supstituirati u neki izraz, pa on postane na neki nacˇinjednostavniji. Tu se u Mapleu koristi naredba subs.Primjer 6. Dokazˇi ako je a + b + c = 0 da vrijedia3 + b3 + c3 − 3abc = 0.Rjesˇenje:[> simplify(subs(a=-b-c,aˆ3+bˆ3+cˆ3-3*a*b*c));0Primjer 7. Ako je x + y + z = 0, pojednostavnite izrazx7 + y7 + z7xyz(x4 + y4 + z4).(Zˇupanijsko natjecanje za 1. razred, 2001.g.)Rjesˇenje:[> simplify(subs(x=-y-z,(xˆ7+yˆ7+zˆ7)/x/y/z/(xˆ4+yˆ4+zˆ4)));72Nadam se da sada svi vide korisnost programa, jer onima koji su sudjelovali te godine na zˇupanijskomnatjecanju taj zadatak nije bio nimalo lak za rijesˇiti zbog svoje tehnicˇke prirode.ZakljucˇakKao sˇto vidimo neke jednostavne racˇunice jako tesˇko mozˇemo izracˇunati standardnim postup-kom. Uvijek mozˇemo pogrijesˇiti negdje. To samo sputava matematiku i druge znanosti koje suovisne o racˇunima. Programi kao sˇto su Maple, Mathematica, Mathlab i sl. dobro c´e doc´i svimakojima treba matematicˇki alat u struci. Inacˇe, Maple se mozˇe nabaviti posjetom na internet adresuwww.maplesoft.com.22

Osnovno manipuliranje izrazima u Mapleu

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia